MM0OO

En examinant le tableau ci-dessus, on reconnaît : !• que unt unitéy une dizaine, une centaine sont des multiples de 7 augmentes respectivement d^une^ trois^ deux unités simples; 2* (jue un mille, une dizaine de mille, une centaine de mille donnent pour restes six, quatre, cinq unités, et qu'ainsi u/n mille, une dizaine de mille^ une cmtaine de mille sont des multiples de 7 diminués respectivement de une, trois, deux unités simples.Gomme les restes obtenus dans la division ci-dessus se reproduisent périodiquement à Tinfinî, la loi que nous venons de reconnatlre pour les unités, dizaines et centaines des deux premiers ordres d'unités ternaires se soutiendra pour celles des ordres suivants; par conséquent, si l'on partage le nombre proposé en tranches de trois chiffres, en allant de droite à gauche, on verra que l'une quelconque de ces tranches sera un multiple de 7 augmenté bu diminué , selon qu'elle sera de rang impair ou de rang pair, de une fois ses unités, trois fois ses dizaines et deux fois s^ centaines. Si donc on multiplie les unités, dizaines, centaines de chaque tranche respectivement par 1, 3, 2, le nombre proposé sera égal à un multiple de 7 augmenté de la somme des produits qui proviennent ainsi des tranches de rang impair, et diminué de la somme de ceux qui résultent des tranches de rang pair; ou, ce qui revient au même, augmenté ou diminué de la différence de ces deux sommes, selon que la première sera plus grande ou plus petite que la seconde. Donc, suivant que cette différence sera ou ne sera pas divisible par 7, le nombre lui-même sera ou ne sera pas divisible par 7.

Exemples. P Quel est le reste que l'on obtiendra en divisant

42876953246235 par 7? L'application de la règle précédente conduit aux calculs suivants :

Tranches de rang impair.

Tranches de rang pair.

Ainsi le nombre proposé est égal à un multiple de 7 augmenté de 68 unités et diminué de 65 unités, c'est-à-dire à un multiple de 7 augmenté de (68 — 65) =3 unités; donc le reste de la division est 3. ' ,

2» Quel est le reste de la division de 278245789321 par 7r

Tranches de rang impair.

Tranches de rang pair.

Ainsi le nombre proposé est égal à un multiple de 7 augmenté de 34 unités et diminué de 80 unités, c'est-à-dire à un multiple de 7 diminué de (80 — 34) = 46 unités.

Mais en appliquant la méthode au nombre 46, on trouve qu'il est égal à un multiple de 7 augmenté de 18 unités; que 18 est de même un multiple de 7 plus 1 1; et qu'enfin 1 1 est un multiple de 7 plus 4. Ainsi 46 se compose d'un multiple de 7, plus 4 : donc le nombre proposé est égal à un multiple de 7 diminué de 4 unités, ou bien à un multiple de 7 piw5 7 woirw 4,

c'est*à-dirc à un multiple de 7 plus 3 : donc le reste de la division sera 3.

* 69. Si l'on se rapporte au tableau de la division de lOOOO..., par 7 (page 46), on reconnaît que une unité, un mUle, un million, un billion, etc., donnent respectivement pour restes 1, 6, 1, 6, etc., unités; qu'ainsi toute unité ternaire de rang impair est un multiple de 7 augm^enté d'une unité simple ^ et toute unité ternaire de rang pair est un multiple de 7 diminué d'une unité simple. Par conséquent, si l'on conçoit le nombre proposé partagé en tranches de trois chiffres en allant de droite à gauche, chacune d'elles sera un multiple de 7, augmenté ou diminué de sa valeur absolue, selon qu'elle sera de rang Impair ou de rang pair : donc ce nombre est un multiple de 7, augmenté de la somme de ses tranches de rang impair, et diminué de la somme de ses tranches de rang pair; donc il sera divisible par 7, si la différence de ces deux sommes l'est aussi ; donc, pour qu'un nombre soit divisible par 7, il faut et il suffit que, si on le partage en tranches de trois chiffres en allant de droite à gauche, la différence entre la somme de ses tranches de rang impair et la somme de ses tranches de rang pair soit elle-même divisible par 7.

Celte seconde règle, beaucoup plus simple que la première,, n'est applicable cependant qu'à des nombres composés de plus de trois chiffres, de sorte qu'il faudra les appliquer successivement toutes les deux.

Reprenons les deux exemples traités dans le numéro précédent. Le premier conduit aux calculs suivants :

Tranches 1 • de rang impair.)

Tranches de rang pair, j ^^^

Ainsi le nombre proposé est un multiple de 7 augmenté de (1230—1122;= 108, ou, ce qui revient au même, du reste de

la division de 108 par 7, lequel est 3 d'après la première méthode ; donc le reste demandé est 3.

Calcul du second exemple.

Tranches ( 321

de rang impair. ( 245

Tranches de rang pair.

Ici le nombre proposé est un multiple de 7 augmenté de 566 et diminué de 1067, c'est-à-dire diminué de (1067 — 566) = 501, outlu reste de la division de 501 par 7, lequel est 4 : donc le reste demandé est 7 — 4 = 3.

*70. Les méthodes que nous venons de développer peuvent s'appliquer avec succès à tout autre diviseur que 7. En répétant sur cet autre diviseur tous les raisonnements qui précèdent, on parviendra toujours à des caractères de divisibilité qui seront plus ou moins simples. Ainsi, par exemple, on trouvera que, pour qu'un nombre soit divisible par 37, il faut et il suffit qui^ si on le partage en tranches composées alternativement de deux et d'un chiffre^ en allant de droite à gauche^ la différence entre la somme des tranches de deux chiffres et % produit par II de la somms de celles cTwn chiffre soit divisible par 37.

1. La facilité avec laquelle on trouve le reste.de la division 'd'un nombre par 9 fournit une méthode très-simple pour faire la preuve de la multiplication. Cette méthode, connue sous le nom de preuve par 9, est fondée sur le principe suivant :

Le reste que Von trouve en divisant par 9 le produit de deux nombres est égal à celui que Von obtient en divisant par 9 le produit des deux restes que donne la division des imÊfàmi^ proposés parce même diviseur 9 *.

* Remarquons que cette propriété n'est pas particulière au nombre 9, mais

tO PROPRIÉTÉS DES NOMBRES.

En effet, chacun des deux nombres proposés peut être considéré comme un multiple de 9 augmenté du reste de la division de ce nombre par 9 : si donc on multiplie ces deux nombres entre eux, ce qui se fera en multipliant chaque partie du multiplicande successivement par chacune de celles du multiplicateur, le produit que Ton trouvera sera composé de quatre parties^ dont trois seront des multiples de 9, et dont la quatrième sera le produit des restes que Ton aura trouvés en divisant les nombres proposés par 9. Donc le reste de la division du produit de ces nombres par 9 sera le même que celui que Ton obtiendra en divisant par 9 le produit de ces restes : il est d'ailleurs évident que, si ce dernier produit était moindre que 9, il serait lui-même le reste dont il s'agit.

Soient, par exemple, les nombres 43 et 35. En les divisant par 7, on trouve que 43 = 9.4 + 7, et que 35 = 9.3 + 8 : donc leur produit se compose de la somme

do^tles trois premières parties sont évidemment des multiples de 9; mais la quatrième, divisée par 9, donne pour quotient 6 et pour reste 2, de sorte qu'elle vaut 9.6+2 • donc le produit

donc le reste de la division de ce produit par 9 est 2.

Cela posé, pour faire la preuve de la multiplication^ addition^ mz successivement les chiffres du multiplicande^ considérés comme représentant des unités simples^ et diminuez chaque somme partielle de 9 quand la chose sera possible : vous obtiendrez ainsi le reste que donnerait la division de ce rwiUîplicande par 9 (64). Opérez de la même manière sur le multiplicateur; multipliez entre

que tout atutre nombre en jouit également : aussi fait-on quelquefois la preuve par U, à cause de la facilité avec laquelle on peut calculer le reste de la division d'un nombre par 11 (67).

PnOPKlÉTÉS DES NOMBRES. 51

€ux les deux restes ainsi obtenus, et cherchez semblablement le reste de la division de leur produit par 9. Si la multiplication a été bien faite j le reste que vous trouverez ainsi devra être le même que celui (jue vous obtiendrez &n opérant sur le produit comme vous l'avez fait sur ses facteurs.

Veut-on vérifier le produit 40612376 des nombres 8764 et 4634? en opérant sur le multiplicande conformément à cette règle, nous dirons : 8 et 7, 15; moins9, 6; et 6, 12; moins 9, 3; et 4, 7. On trouvera de même que la division du multiplicateur par 9 donnera 8 pour reste ; on multipliera 7 par 8 ; le produit est 56, dont la somme^des chiffres surpasse 9 de 2. Il faudra donc qu'en divisant le produit 40612376 par 9, on trouve aussi S pour reste; et c'est en effet ce qui a lieu. On en conclut que la multiplication a été bien faite.

Remarquons cependant que cette preuve pourrait réussir, bien que la multiplication qu'elle doit vérifier fût fautive. Il suffirait pour cela que l'on eût commis quelque part deux erreurs, l'une en plus, l'autre en mmns, du même nombre d'unités; ou bien que Ton eût mis un 9 au lieu d'uû 0, et réciproquement, etc.

('^72. Pour faire la preuve par 9 de ta division, retranchez le reste du dividende, et, le nombre résultant étant le produit du diviseur par le quotient, voils pourrez le vérifier par la méthode précédente.

Exemple. La division de 40615624 par 8764 a donné pour quotient 4634, et pour reste 3248. Pour la vérifier je retranche 3248 de 40615624, ce qui donne pour reste 40612376, nombre qui est ainsi le produit de 8764 par 4634. J'applique donc à la vérification de ce produit la règle du n« 71. Les facteurs divisés par 9 donnent respectivement pour restes 7 et 8, dont le produit est 56. La somme de ses chiffres surpasse 9 de 2 unités : ainsi il faut que le reste de la division de 40612376 par 9^oit 2, et c'est effectivement ce qui arrive; donc la division a été bien faite.

S n. NOMBRES PREMIERS.

5. On appelle nombre premier un nombre qui n'est divisible que par lui-même et par V unité : tel est le nombre 7.

Il suit de cette défmilion qu'on sera sûr qu'un nombre est premier, lorsqu'on aura essayé de le diviser par tous les nombres plus petits que sa moitié sans pouvoir y parvenir (813).

• aue

74. Proposons-nous de découvrir quels sont^ dans la suite naturelle des nombres, ceux qui sont premiers.

De toutes les méthodes données pour résoudre ce problème, la suivante, due à Èratosthene^ est la plus expéditive. Ce géomètre grec observa que les nombres pairs, à l'exception de 2, ne pouvant être des nombres premiers, il ne fallait chercher ceux-ci que parmi les nombres impairs; en conséquence, il écrivit les uns à la suite des autres, et dans leur ordre naturel, tous les nombres impairs jusqu'à la limite qu'il s'était fixée *y et remarqua que, si, à partir de 3 exclusivement, on comptait de trois en trois, tous les nombres sur lesquels on tomberait ainsi seraient seuls divisibles par 3.

En effet, chaque nombre impair diffère du précédent de deux unités : donc il diffère de celui qui le précède de trois rangs, de six unités : donc le nombre qui vient trois rangs après un nombre divisible par 3 est lui-même divisible par 3 (58); donc aussi le nombre qui vient trois rangs après un nombre qui n'est pas divisible par 3, ne l'est pas non plus, car il se compose d'une partie qui est divisible par 3, et d'une autre qui ne l'est pas; donc, si, à partir du nombre 3, on compte de trois en trois, les nombres sur lesquels on tombera seront divisibles par 3, et il

* La suiU des nombre» premiers est ijlimitée ; car supposons, s'il est possible, que n soit le plus grand de ces nombres: formons le produit 2.3.5 7....n de tous les nombres premiers; le nombre l + 2.3.5.7....n est premier, sans quoi il serait divisible par un nombre premier, et il est clair que le reste de sa division par Tun de ces nombres est Tunité.

PROPRIÉTÉS DES NOUBRES. 53

n*y ea aura pas d'autres qui jouiront de cette propriété. Une raison semblable conduisit Ëratosthène à pointer tous les nombres sur lesquels il tomba en comptant de cinq en cinq, à partir de 5 ; de sept en sept, à partir de 7 ; de onze en onze, à partir de 11, etc.; de cette manière, il parvint à exclure tous les nombres divisibles respectivement par 3, 5, 7, 11, etc.; de sorte qu'il ne resta plus que les nombres premiers. Cette méthode porte le nom de cribk cFÉratosthène (voy. 215).

75r On appelle plus grand commun diviseur de plusieurs nombres le plv^ grand de tous les nombres qui les divisent exactemèht.

Proposons-nous d'abord de trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres, et supposons, pour fixer les idées, que ces nombres soient 56 et 21. Le plus grand commun diviseur de 56 et de 21 ne peut pas être plus grand que 21, puisqu'il doit le diviser : donc 21 serait le plus grand commun diviseur demandé, s'il divisait 56. Divisons donc 56 par 21 : le quotient est 2, et le reste 14 ; ainsi, 21 n'est pas le plus grand commun diviseur demandé. Mais je dis que ce plus grand commun diviseur est le même que celui des nombres 21 et 14. Nous le démontrerons évidemment en prouvant que tous les diviseurs communs à 56 et à 21 sont aussi des diviseurs communs " à 21 et à 14, et réciproquement.

Or, tout diviseur commun à 56 et à 21 divise 21, et partant son multiple 2 fois 21 (50) ; mais il divise aussi 56 : donc il divise leur différence 14 (60) ; donc il divise à la fois 21 et 14.

Actuellementi tout diviseur communà21 et à 14 divise21, et partant son multiple 2 fois 21; mais il divise aussi 14: donc il divise leur somme 56 (S8) ; donc il divise à la fois 56 et 21.

Donc tous les diviseurs communs à 56 et à 21 sont aussi des divise jrs communs à 21 et à 14, et réciproquement; donc le plus grand commun diviseur de 56 et de 21 est celui même de 21 et (le 14 ; donc le plus grand commun diviseur de deux nom* bres e^tle même que celui qui existe entre le plv^ petit de ces nom^ brcs et le reste de leur division.

La question est donc ramenée à trouver le plus grand commun diviseur de 21 et de 14. En raisonnant sur ces deux nombres comme on Ta fait sur 56 et 21, on sera conduit à diviser 21 par 14 ; on trouvera 1 pour quotient et 7 pour reste, ce qui montre que 14 n*est pas le plus grand commun diviseur demandé. Mais en vertu du principe que nous venons de dé*montrer, ce plus grand commun diviseur est le môme que celui des nombres 14 et 7 ; nous diviserons donc 14 par 7; et comme 7 divise exactement 14, nous en conclurons que 7 est le plus grand commun diviseur demandé.

76. Donc, pour trouver le plus grand commun divisevr de; deux nombres, divisez le plus grand par le plus petit. Si la ditnsion s'effectue exactement^ le plus petit des deux nombres est le plus grand commun diviseur demandé. Si cela n'a pas lieu, vous diviserez le plus petit nombre par le reste; et si la seconde^ division réussit, ce premier reste sera le plus grand commun divi-seur; dans le cas contraire, on divisera le reste de la première division par celui de la seconde, celui-ci par le reste de la troi-sième, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on parvienne à un quotient exact : le dernier diviseur sera le plus grand commun diviseur demandé*

Si, dans le courant des opérations, on trouve pour reste un nombre premier, il faudra encore diviser le reste précédent par celui-ci. Si Vopération s'effectue exactement, ce nombre premier sera le plus grand commun diviseur demandé. Si elle ne réussit pas, il est inutile de pousser plus loin le calcul, car on est certain de trouver l'unité pour plus grand commun diviseur. En effet, puigqu'en vertu du principe établi au n* 75, le plus grand commun diviseur doit diviser tous les restes, il doit diviser noire nombre premier ; mais un nombre premier n'est divisible que par lui-même ou par Tunité : donc le plus grand commun di- •viseur ne peut être que ce nombre premier ou l'unité : donc si le nombre premier n'est pas le plus grand commun diviseur^ ce sera l'unité qui sera ce plus grand commun diviseur. On dispose les calculs de la manière suivante :

PAOPAIÉTÉS DES NOMBRES.

Le nombre des divisions ne pourra pas surpasser la moitié du plm petit nombre; car les (Jeux derniers diviseurs sont les seuls restes consécutifs qui puissent différer d'une unité seulement, puisque la division de deux pareils nombres donne évidemment pour reste l'unité ; de sorte que deux autres restes consécutifs quelconques diffèrent au moins de 2 unités, et qu'ainsi il ne peut pas y avoir plus de restes différents que 2 n'est contenu de fois dans le plus petit nombre.

77. On appelle nombres premiers entre eux des nombres qui n'ont que Vunité pour diviseur commun.

Il suit de là que, si l'on appliciue la méthode du plus grand commun diviseur à deux nombres premiers entre eux, on trouvera l'unité pour plus grand commun diviseur, sans quoi ces deux nombres ne seraient pas premiers entre eux.

*78. Tout nombre qui en divise deux autres divise leur plus grand commun diviseur.

En effet, tout nombre qui divise le dividende et le diviseii* d'une division doit diviser le reste de cette division, car il divi* sera le dividende et le produit du diviseur parle quotient (80) ; donc il doit diviser leur différence (60)^ c'est-à-dire le reste de la division.

Cela posé, si l'on applique à deux nombres la méthode da plus grand commun diviseur, on voit que tout nombre qui divisera les deux nombres proposés divisera le reste de la pre^ mière division. Mais ce reste devient diviseur dans la second^ : donc le nombre dont il s'agit divisera le dividende et le diviseur de la seconde division, et par conséquent le reste de cette divi* sion, et ainsi de suite ; donc il divisera tous les restes successifs^

et par conséquent le plus grand commun diviseur, qui est le dernier de ces restes.

*70. Ce principe va nous donner le moyen de trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres. Soient, en effet, les nombres 60, 48, 30 et 15. Je cherche le plus grand commun diviseur des deux premiers, il est 12; le plus grand commun diviseur de 12 et de 30, il est 6; le plus grand commun diviseur entre 6 et 15, il est 3. Je dis que 3 est le plus grand commun diviseur demandé. En effet, le plus grand commun diviseur des nombres 60, 48, 30 et 15 divise 60 et 48, et par conséquent leur plus grand commun diviseur 12 (78). Or il divise aussi 30 : donc il doit diviser 6, plus grand commun diviseur de 12 et de 30. Mais il divise aussi 15 : donc il doit diviser 3, plus grand commun diviseur des nombres 6 et 15 ; donc il n'est pas plus çrand que 3. Donc, si je puis prouver que 3 divise à la fois les nombres proposés, j'en conclurai que 3 est leur plus grand commun diviseur*

Or 3 divise les nombres 6 et 15, car il est leur plus grand commun diviseur : donc il divise 12 et 30, multiples de 6; donc il divise 60 et 48, multiples de 12; donc il divise à la fois les quatre nombres 15, 30, 48 et 60; donc il est leur plus grand commun diviseur.

Donc, pour trouver le plus grand commun diviseur de pluskurs nombreSy on cherchera le plus grand commun diviseur des deux plus petits y car le plus grand commun diviseur demandé ne saurait les surpasser ; puis le plus grand commun diviseur de ce plus grand commun diviseur et du plus petit des nombres restants; puis le plus grand commun diviseur de ce second plus grand commun diviseur et du plus petit des nombres restants^ et air^si de suite : le dernier plus grand commun diviseur trouvé sera celui même des nombres proposés,

* 80. Tou^ nombre qui divise un produit de deux facteurs^ et qui est premiei' avec Vun d^eux, divise nécessairement Vautre fadeur.

^^ Soitflun nombre supposé premier avecTun des deux facteurs

betc d'un produit » le facteur b par exemple : je dis que, si a divise le produit 6. c, il divisera nécessairement le facteur c. En effet, a et 6 étant deux nombres premiers entre eux, leur plus grand commun diviseur est l'unité (77). Or, si l'on multiplie ces deux nombres chacun par c, et que l'on cherche le plus grand commun diviseur des produits a.c et b*c, les restes que l'on trouvera dans cette seconde série d'opérations seront respectivement égaux à ceux de là première multipliés par c. En effet, lorsqu'on multiplie le dividende et le diviseur d'une division par un même nombre , le reste est multiplié parce nombre (55) ; donc, puisque nous avons multiplié le dividende et le diviseur de la première division par c, le premier reste aura aussi été multiplié par c. Mais ce premier reste devient le diviseur de la seconde division : donc, puisque le dividende et le diviseur de cette seconde division ont été multipliés par c, le second reste le sera aussi, et ainsi de suite. Donc, puisque le dernier reste de la première série d'opérations est l'unité, le dernier resfe de la seconde sera c. Donc c est le plus grand commun diviseur des deux produits a.c et 6. c. Or a divise le premier de ces produits, car il en est un des facteurs; il divise aussi le second par hypothèse : donc il divise leur plus graud commun diviseur c (78) ; ce qu'il fallait démontrer.

* 81. Tout nombre premier qui divise un produit de plusieurs facteurs divise nécessairement Vun d*eux.

Je dis que si p est un nombre premier qui divise le produit a.b,c.d,\\ divisera nécessairement l'un des facteurs de ce produit.

En effet, si p divise d, le principe est démontré; s'il ne le divise pas, ces deux nombres sont premiers entre eux, car ils ne peuvent avoir d'autre commun diviseur que p ou Tunité. Mais on peut regarder le produit a.b.c.d comme résultant de la multiplication du prodr.it a.b.c par d. Donc, puisque p est premier avec le facteur d, il faut nécessairement qu'il divise l'autre facteur a.bx (80) . Si p divise c, le principe est démontré ;

58 PROPRIÉTÉS DES NOMBKES.

s'il ne le divise pas, ces deux nombres sont premiers entre eux : par conséquent, puisqu'on peut regarder le produit a,b.c comme résultant de la multiplication du produit a. & parc, il ne pourra diviser ce produit qu'autant qu'il divisera l'autre facteur a.b. Si p divise 6, le principe est démontré; s*il ne le divise pas, ces deux nombres sont premiers entre eux , et par conséquent, pour que p divise le produit a. 5, il faudra qu'il divise le facteur a : donc p divise nécessairement l'un des facteurs du produit a.b.cd.

*82. Il suit de là que, lorsqu'un nombre premier divise une puissance d'un nombre, il doit diviser ce nombre : car une puissance d'un nombre n'est autre chose que le produit de plusieurs facteurs égaux à ce nombre (41), et nous venons dé prouver que, lorsqu'un nombre premier divise un produit de plusieurs facteurs, il divise nécessairement l'un d'eux.

*85. Lorsque deux nombres sont premiers entre eux, leurs puissances sont premières entre elles.

Soient, en effet, a et 6 deux nombres premiers entre eux j je dis que leurs pui^ances a* et 6" sont aussi premières entre elles. En effet, si ces deux puissances avaient un facteur premier commun , ce facteur premier devrait diviser a et 6 (82) , ce qui est contraire à l'hypothèse : donc a* et 6* ne peuvent pas avoir de facteur premier commun, et n'ont par conséquent aucun facteur commun : donc ces deux quantités sont premières entre elles.

*84. Lorsqu'un nombre est divisible par plusieurs nombres premiers entre eux deux à deux, il l'est aussi par leur produit.

Soit n un nombre divisible par les nombres a, 6, c, d, que je suppose premiers entre eux deux à deux : je dis qu'il est divisible par leur produit.

En effet, puisque n est divisible par a, si nous appelons q le quotient de la division, nous aurons n=a.q. Or b divise n; mais il est premier avec le facteur a : donc il doit diviser l'autre

facteur g (80). Si Ton appelle q' le quotient de cette division, on aura q=ib.q\ et par conséquent n=a.b.q' (58), ce qui prouve déjà que n est divisible par le produit des deux premiers nom-bres a el b. Or c divise n; donc, puisqu'il est premier avec le facteur a, il doit diviser l'autre facteur q (nous avons vu que n=:-a.q). Maïs c est aussi premier avec le facteur b : donc il doit diviser l'autre facteur çf (nous avons vu que 9 = 6. g'); donc en appelant q" le quotient de celte division, nous aurons q'=^c.çf; et par conséquent n, qui est égal à a. 6. g', le sera aussi ka.b.c.^\ ce qui prouve que n est divisible par le produit des trois premiers nombres a, b, c; et ainsi de suite.

— *^S. Il suit encore du n* 81 qu'un nombre ne peut être décomposé que dans un seul système de facteurs premiers.

Supposons, en effet, que l'on puisse avoir en môme temps n=:Â.6.G, et n = a.b.c; A,B, C, a, &, c étant des nombres premiei^s. Puisque le nombre premier c divise n, il doit diviser l'un de ses facteurs À, B, G; mais, comme ils sont premiers, il faut qu'il soit égal à l'un d'eux. Supposons c = G ; les deux produits A.B.C et a.&.c étant égaux, si on les divise respectivement par Cet c, les quotients A. B et a.b devront être égaux. Or b divise le second : donc il divise aussi le premier, et par conséquent Tun de ses facteurs A et B, ce qui ne peut être, à moins qu'il ne soit égal à l'un d'eux, à B par exemple; d'où il suit que a est aussi égal à A, puisque A.B = a. 6, ce qui démontre le principe énoncé.

Remarquons que cette démonstration n'exige pas que les fao* teurs premiers du nombre proposé soient Ums inégaux; de sorte que si, dans l'une des expressions du nombre n, un facteur entre plusieurs fois , il entrera aussi le môme nombre de fois dans l'autre.

'^86. Pour qu'un nombre en divise un autre ^ il faut qu*il ne contienne pas d'autres facteurs premiers que cet autre ^ et qu'il ne contienne pas les facteurs premiers de ce nombre plus de fois que celui-ci m les contient lui-même : sans quoi on pour-

rait décomposer un même nombre de deux manières différentes en facteurs premiers.

*87. Pour qu'un nombre soit divisible par un autre y il faut qu*U contienne toxAS les facteurs premiers de cet autre ^ et quHl contienne chacun d'eux au moins autant de fois que celui-ci les contient (85).