S I. PRINCIPES GÉNÉRAUX

4. Nous avons vu que, quand la division laisse un reste, le dividende est égal au produit du diviseur multiplié par le quotient qu'on a trouvé, plus ce reste (46) : ce quotient n'est donc pas le second facteur du dividende ; il en diffère, comme on voit, d'une quantité qui, multipliée parle diviseur, doit reproduire le reste, c'est-à-dire du quotient de la division de ce dernier reste par le diviseur. Ainsi, si Ton avait eu à diviser 19 par 8, on aurait trouvé pour quotient 2 et pour reste 3, de sorte que le véritable quotient eût élé 2+f . Or, 3 étant plus petit que 8, comment se former une idée précise du quotient de 3 divisé par 8? Pour cela, on conçoit l'unité partagée en autant de parties égales qu'il y a d'unités dans le diviseur, c'est-à-dire en 8 dans notre exemple; chacune de ces parties, qui exprime le quotient de 1 par 8, est un huitième de l'unité, et nous avons une idée parfaitement nette de la grandeur de cette quantité; mais le quotient de 3 unités divisées par 8 est évidemment 3 fois plus grand que celui d'une unité divisée par 8 : donc il vaut trois huitièmes de l'unité. Sous ce point de vue , la quantité I n'offre plus rien d*obscur, et le quotient de 19 par 8 se compose de deux unités et de trois huitièmes d'unité.

* Ainsi, comme l'a dit Lacroix dans son excellent Traité d'Arithmétique^ lorsque la division laisse un reste, le quotient se compose de deux parties : Tune est formée d'unités entières, tandis que l'autre ne peut s'obtenir qu'après qu'on a réellement effectué le partage des unités concrètes ou maté rielles du reste dans le nombre de parties marquées par le divi-

seur. Jusque-là on ne fait que l'indiquer , en disant qixHl faut concevoir Vunité du dividende partagée en autant de parties égales qu'il y a d'imités dans le diviseury et prendre autant de ces parties qu'U y a d^unités dans le reste^ pour compléter lé quolieîit cherché, 9

08. Cette quantité que Ton ajoute au quotient trouvé pour en compléter la valeur, se nomme une fraction. On dit donc qu'une fraction est une partie de Vunitéj ou la réunion de plusieurs parlies égales de Vunité, On emploie, pour l'exprimer, deux nombres que l'on sépare par un trait horizontal ; le nombre inférieur se nomme dénominateur j il indique en combien de parties égales Vunité est partagée; l'autre se nomme numérateur ^ et indique de combien départies de Vunité la fraction se compose.

Le numérateur et le dénominateur se nomment conjointement les deux fermes de la fraction.

^^96. Pour énoncer une fraction ^ on énonce d'abord le numérateur ^ puis le dénominateur ^ en ajoutant après celui-ci la tei^minaison ième. Il y a exception pour les fractions dont le dénominateur est 2y 3 ou k : alors, au lieu d'énoncer le dénominateur, on prononce demi^ tiers ou quart. ^

Ainsi f et I s'énoncent respectivement trois septièmes et trois quarts.

,^97, De la définition x[ue nous avons donnée des fractions (05) découlent immédiatement les quatre principes suivants : 10 Pour multiplier une fraction par un nombre entier, multipliez son numérateur par ce nombre, en conservant le dénominateur.

En effet, en multipliant le numérateur de la fraction proposée par 3, par exemple, on rend ce numérateur trois fois plus grand ; or le numérateur indique de combien de parties de l'unité la fraction se compose : donc un numérateur trois fois plus grand indiquera que la fraction se compose de 3 fois plus de parties. Mais, comme on a conservé le dénominateur, ces parties sont restées les mêmes : donc la nouvelle fraction étant composée de 3 fois plus de parties que la première et des

mêmes parties, est trois fois plus grande ; donc la fraction

proposée a bien été multipliée par 3 (23).

On verra, d'après cela, qne ik>-^'=^=^' 2» On prouverait de la môme manière que, pour diviser une

fraction par un nombre entier ^ H suffit de diviser le numérateur

parce nombrcy en conservant le dénominateur *.

Ainsii|:3 = A|^=A-

3» Pour multiplier une fraction par un nombre entier ^ on peut

encore diviser son dénominateur par ce nombre^ en conservant le

numérateur.

En effet, en divisant le dénominateur de la fraction proposée par 3, par exemple , on le rend trois fois plus petit ; mais le dénominateur indique en combien de parties égales l'unité est partagée : donc un dénominateur 3 fois plus petit indique que l'unité est partagée en trois fois moins de parties , et que par conséquent ces parties sont trois fois plus grandes. Or on conserve le même numérateur : donc la nouvelle fraction est toujours composée du même nombre de parties que la première; mais ces parties sont trois fois plus grandes : donc elle est trois fois plust grande ; donc la fraction proposée a bien été multipliée par 3.

Cfti verra, d'après cela, que ^ X 3 = 5^?^ =^.

Il suit du principe que nous venons d'établir, qu'en supprimarà le dénominateur d'une fraction, on la multiplie par ce nombre.

Ainsi 5 est 9 fois plus grand que |.

k* On démontrerait de la même manière que, pour diviser 'V/n>e fraction par un nombre entier, on peut encore multiplier son dénominateur par ce nombre, en conservant le numérateur.

Ainsi ^: 3=^-=^.

--^ Cette démonstration supposa que pour diviser un nombre quelconqite par un nombre entier, il suffit de le rendre ce même nombre de fois plus petit ; mais cela résulte de la définition même de la division (4:4) ; car le dividende étant le produit du quotient par le diviseur, est autant de fois plus grand que le quotient qu'il y a d'unités dans le diviseur : donc, réciproquement, le quotient est autant de fois plus petit que le dividende que le diviseur conti d'unités.

98. La multiplication de la fraction ^ par 3 nous a conduit à deux résultats, fî et •^, remarquables en ce que le numérateur de chacune de ces expressions surpasse le dénominateur. Or, puisque le dénominateur indique en combien de parties égales Tunité est partagée, il faut, pour former une unité^ prendre autant de ces parties qu'il est marqué par le dénominateur : donc, si le numérateur d'une fraction contient deux, trois, quatre, etc., fois le dénominateur, cette fraction contiendra deux, trois, quatre, etc., unités, et, en général, elle en ^renfermera autant que le dénominateur sera coQtenu de fois dans le numérateur : d'où il suit que, pour extraire les umiés entières contermes dans une expression fractionnairey il faut effec^ tuer la division du numérateur par lé dénominateur (94).

On verra ainsi que fj = 2^, et que -^ = 2|.

. On tire des principes établis au n* 97 les conséquences suivantes : 1" On ne change pas la valeur d*\me fraction en muU tipliant ses deux termes par un mêms nombre. En effet, en multipliant le numérateur d'une fraction par un certain nombre, on la rend ce nombre de fois plus grande.*La même opération effectuée sur le dénominateur rend la fraction ce même nombre de fois plus petite ; mais c'est après avoir rendu la fraction proposée un certain nombre de fois plus grande, qfii'on la rend le môme nombre de fois plus petite; donc elle n'a pas changé de valeur.

2* On prouverait de la même manière qu'en divisant les deux termes d'une fraction par un même nombre, on ne change pas sa

valeur.

Jt^-460. Ici se présente naturellement cette question : Altère-^ t-on la valeur d'une fraction en augmentant où en diminuant ses deux termes d'un même nombre?

Puisque, pour former une unité, il faut prendre autant de parties que Ton en conçoit dans cette unité , on voit que la différence d'une fraction i unité est une seconde fraction qui a le même dénominateur que la première, et qui a pour numérateur la différence des deux termes de cette première ;

ainsi la différence entre ^ et Tunité est ^^ = -f^. Si donc on ajoute un même nombre aux deux termes de la fraction proposée , la différence entre l'unité et la nouvelle fraction aura le même numérateur que la première différence ; mais elle aura un dénominateur plus grand : donc la fraction qu'on obtient en augmentant d'un même nombre les deux termes d'une fraction donnée , diffère moins de l'unité que celle-ci, donc elle est plus grande ; donc on augmente une fraction en augmentant ses deux termes d!un même nombre.

Il suit évidemment de là qu'on diminue une fraction en diminuant ses deux termes d'un même nombre. >•

En raisonnant comme tout à l'heure, on verrait qu'on diminue ou qu^on augmente une expression fractionnaire plus grande que Vunilè, en augmentant ou en diminuant ses deux termes d'un mime nombre.

iOi. Il suit du premier des deux principes du n* 99 que les fractions |, -Jfe, |?, -^, etc., sont toutes équivalentes à \ ; car elles proviennent de la multiplication des deux termes de celle-ci respectivement par 2, 5, 27, 437; mais, de toutes ces fractions, J est celle dont on apprécie le plus facilement la grandeur.

Cet avantage, joint à celui d'opérer sur des nombres plus petits, a fait sentir l'utilité de réduire une fraction à sa plus simple expression^ c*est-à-dire de trouver une fraction équivalente à la fraction proposée, et dont les deux termes soient les plus petits nombres possibles. On y parvient en divisant les deux termss de la fraction par leur plus grand commun diviseur.

* 102. Pour justifier cette règle, il faut démontrer que, lors-

que les deux termes d'une fraction sont premiers entre eux. elle est

^ a irréductible. Soient t une fraction dont les deux termes sont

a' premiers entre eux, et jr une autre fraction équivalente à

celle-ci , de sorte que l'on ait ? = r>.

Si l'on multiplie ces deux fractions par le dénominateur V de

la seconde, les produits ^(97, l») et a! (97, 3«) seront égaux.

Mais le second est un nombre entier : donc le premier doit en être aussi un ; donc il faut que le produit a.V soit divisible par b. Or h est premier avec le facteur a : donc il divise l'autre facteur V (80) ; donc V est un certain multiple de h ; donc o! est le

même multiple de a, sans quoi la fraction ^ ne serait pas égale à la fraction -r (99, 1*»). Ainsi les deux termes de toute

frcction équivalente à la fraction j-, dont le numérateur et le dé--

nominateur sont premiers entre eux y sont des équimuîtipks des deux termes de celle-ci. Donc toute fraction équivalente à une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont premiers entre eux, est exprimée en termes moins simples que celle-ci i donc cette dernière est in^éductible.

*103. Deu^ fractions irréductibles égales sont identiques, c'està-dire que leurs numérateurs sont égaux entre eux, ainsi que leurs dénominateurs.

En effet, puisque la première fraction est irréductible, ses deux termes sont premiers entre eux : donc la seconde ne pourra lui être égale qu'autant que ses deux termes seront des équimultiples de ceux de cette première (102) ; donc ils leur seront respectivement égaux, puisqu'ils doivent être aussi premiers entre eux.

104. Il n'est pas toujours nécessaire, pour réduire une fraction à sa plus simple expression, de recourir au plus graâd commun diviseur de ses deux termes; on peu#encore y par* venir de la manière suivante. Si les deux termes de la fraction proposée sont terminés par des zéros^ supprimez-en à la droite de tous les deux autant qu'il y en a à la droite de celui qui en contient le moins^ puis divisez les deux termes de la fraction résultante par 2, 5i to chose est possible; et poursuivez la même opération sur les deux termes de la nouvelle fraction , si vous le pouvez; et ainsi de suite, jusqu'à ce que vous trouviez une frac^

tion dont les deux termes ne soient pas divisibles par 2; Us ne le seront par conséquent non plus par aucun des multiples de 2^ sans quoi ils le seraient encore par 2 (59). Essayez de diviser par 3 ou par 9 les deux termes de cette dernière fraction y et si cette division réussit^ divisez encore les deux termes de la fraction rèsultarUe par 3 ou par 9, et ainsi de suite tarU que cela sera possible. Vous arriverez ainsi à une fraction dont les deux termes ne seront plus divisibles par 3 ni par aucun de ses multiples. Continuez de diviser ainsi les deux termes de la dernière fraction obtenue par le nombre premier consécutif à celui qui vient de vous servir de diviseur^ et autant de fois par ce nombre que cela se pourra. Vous vou^ arrêterez lorsque vous serez parvenu à essayer un diviseur plus grand que la moitié du plus petit des deux termes de la dernière fraction obtenus; et si d'ailleurs ce plus petit terme ne divise pas le plus grandj la fraction dont il s'agit aura évidemment ses deux termes premiers entre eux, et sera par conséquent irréductible (102).

Exemple. La fraction -^qusoo prend successivement les formes suivantes :

ra6 22 5 14 02R 4fl7R 035 .187 L7 1

lTB7T5îï> lV0»6O> G64 5U) 130 9U> 26T8» 238» Tî*

On a divisé successivement par 10, 9, 3, 5, 5, 11 et 17.

*105. Si Von a une suite de fractions égales entre elles^ la somme des numérateurs et celle des dénominateurs forment une fraction égale à chacune des fractions considérées.

Soient, en effet, plusieurs fractions supposées égales, ^, %

r^ ; soit ^ la fraction irréductible égale à l'une quelconque

d'entre elles; elle le sera aussi à toutes les autres. Donc les

a a' 61' deux termes de^hacune des fractions-, ^, tît sont des équi-

tnultiples des deux termes de la fraction - (102); c'est-à-dire

que l'on aura :

d'où Ton tire

ce qu'il fallait démontrer.