II. ADDITION DES FRACTIONS

6. Pour (iddUionner plv^ieurs fractions qui ont le même dénominateur, faites la somme de leurs numérateurs, et donnez à cette somms pour dénominateur celui même des fractions pro^ posées.

Ainsi : i*î+A+^+iî=*^f^-!f =2 A (9Ô)-

Lorsque les fractions proposées n'ont pas le même dénominateur, on ne peut pas les additionner dans l'état où elles sont ; car on ne peut combiner que des quantités homogènes, et des fractions qui ont des dénominateurs différents expriment des collections de parties inégales de l'unité. Il faut donc^ pour rendre l'addition possible^ réduire les fractions proposées au même dénominateur, c^est-à-dire les transformer en d^ autres fractions équivalentes et qui aient toutes un mime déno^ minateur. Or il est clair qu'on atteindra ce but en multipliant les deux termes de chaque fraction par le produit des dénominateurs de toutes les autres. En effet, les nouvelles fractions que Ton obtiendra ainsi seront respectivement équivalentes aux premières, car on aura multiplié les deux termes de chacune par un même nombre (99, !•); de plus, elles auront le même dénominateur, car chaque dénominateur sera le produit de tous les dénominateurs primitifs t38), seulement multipliés dans un ordre différent, ce qui n'altère pas la valeur du produit (37).

Soient, par exemple, les fractions fj, ff , ^. On fera le calcul suivant :

* 108. Lorsque les dénominateurs des fractions que l'on se propose d'additionner ne sont pas tous premiers entre eux, il existe un dénominateur commun plus petit que celui auquel ,on parvient par la règle précédente. Pour le trouver, on cherche le plus petit nombre divisible par tous les dénominateurs des fractions proposées (05), et c'est là le plus petit dénominateur commun '^. Pour réduire les fractions proposées à ce dénomi* nateur commun, on le divisera successivement par tous les dénominateurs, et on multipliera les deux termes de chaque fraction par le quotient correspondant.

Reprenons l'exemple du numéro précédent. En décomposant les dénominateurs 40, 36 et 100 en leurs facteurs premiers, on trouve :

donc le plus petit dénominateur commun sera

On le divisera d'abord par 40 ; et comme ce nombre contient trois facteurs 2 et un facteur 5, le quotient ne contiendra que deux facteurs 3 et un facteur 5 : ainsi il sera 3'.5. On trouvera tie même que les quotients respectifs du plus petit dénominateur commun par 36 et 100 sont 2.5* et 2.3'. Ainsi on multipliera le numérateur de la 1" fraction par 3'.5=45,

celui de la 2* . . . . par 2.5*=50, celui de la 3« .... par 2.3*= 18; %i l'on aura par conséquent

40~36 I lOO — 2^.a3.5>

16flft+ 1 250-H98 311 3 3ll3 i 13ia

233X6» 3^35.5» îtuo — * 1800*