Il y a trois cas à considérer dans la division des nom

bres décimaux : ou le diviseur est exprimé par l'unité suivie de plusieurs zéros, ou le diviseur est un nombre entier quelconque, ou enfin le diviseur est un nombre décimal. Exami< nons successivement ces trois cas.

!• Pour diviser un nombre décimal par VunUè suivie de plusieurs zéros , reculez la virgule Sautant de rangs vers la gauche quHl y a de zéros à la suite de runité (154).

159. 2* Pour diviser un nombre décimal par un nombre entier j on fera la division sans s'occuper de la virgule et (f après la règle du n" 49; seulement y quand on aura abaissé le chiffre des unités simples du dividende, on aura soin de placer une virgule à droite du chiffre correspondant du quotient. On conçoit, en effet, que les unités décimales étant assujetties à la même loi de composition que les unités entières, les raisonnements que nous avons faits au n« 49, quand le dividende était entier, s'appliqueront encore quand ce dividende sera décimal.

On pourrait encore dire pour justifier cette règle : Si Ton fait abstraction de la virgule dans le dividende, on le multipliera par l'unité suivie d'autant de zéros qu'il renferme de chiffres décimaux : le quotient sera donc aussî*multiplié par ce nombre, car pour qu'un produit soit multiplié par cent, par exemple, il faut nécessairement que, si l'un des facteurs ne change pas, Tautre soit multiplié par cent (59 et 118) ; on devra donc , pour lui rendre sa valeur, séparer sur sa droite, par une virgule, autant de décimales qu'il y en avait dans le dividende.

Exemple. Diviser 2158,89 par 47. Le quotient est 45,93, et le reste est 0,18.

140. 3* Si le diviseur est un nombre décimal, je supprime la virgule dans le diviseur, et je V avance dans le dividende d* autant de rangs sur la droite qu'U y a de décimales dans le diviseur, ce qui me ramène au cas précédent, et cela sans altérer la valeur du quotient. Supposons, en effet, qu'il y ait deux décimales dans le diviseur : en supprimant la virgule dans ce nombre , nous J'avons multiplié par centi donc le quotient a été divisé par cent.

car si le dividende, qui est un produit, ne change pas et que l'un de ses facteurs soit multiplié par cent, il faut nécessairement que l'autre facteur soit divisé par cent (I2B). En avançant ensuite la virgule de deux rangs sur la droite du dividende on a multiplié ce nombre, et par conséquent le quotient, par cent; mais c'est après avoir divisé le quotient par cent qu'on Ta multiplié par cent ; donc il n'a pas changé de valeur.

Exemples, l* Diviser 215,889 par 4,7. Je supprime la virgule dans le diviseur et je l'avance d'un rang sur la droite du divi- -dende, ce qui me conduit à diviser 2158,89 par 47. Le quotient •est donc 45,93. Quant au reste, celui de la division de 2158,89 par 47 est 0,18; mais en multipliant le dividende et le diviseur proposés par 10, on a multiplié le reste de leur division par 10; donc la vraie valeur de ce resle est û^=o,018,

2'' Diviser 215889 par 4,7. L'application de la règle conduit à diviser 2158890 par 47, ce qui donne pour quolient 45933. Le reste est 3,9.

141. Quand le diviseur est un nombre entier, le quotient est exact à moins d'une unité de Vordre dont est le dernier chiffre du dividende. Ainsi 45,93 exprime le quotient de la division de 2158,89 par 47 à moins d'un centième (ex. du ii« 130). En effet ce quotient est plus grand que 45,93 puisque la division a donné un reste; d'un autre côlé, il est plus petit que 45,94 : car si Ton avait écrit un 4 au lieu d'un 3 au quotient, la soustraction correspondante n'aurait pas pu s'effectuer. Donc le quotient demandé est compris entre 45,93 et 45,94 ; et comme ces deux nombres diffèrent d'un centième, il s'ensuit que le quotient diffère de chacun d'eux de moins d'un centième.

142. Il suit de là que pour avoir le quotient de deux nombres à moins d'une unité décimale dun ordre donné, il faudra d'abord faire en sorte que le diviseur soit entier^ en appliquant la règle 4uw 140; puis on écnra à la droite du dividenk autant de zéros qu'il sera nécessaire pour que le dernier chiffre de ce

nombre spit de Vordre décimal dont il s'agit; ou hierty on supprimera^ sur la droite de ce dividende^ tous les chiffres qui représen-tent des unités décimales d'un ordre inférieur à celui-là, et Von effectuera ensuite la division (139).

1*' Exemple. Calculer le quotient de 3215,47 par 42 7 à moins d'un millième. On supprimera d'abord la virgule dans le diviseur, et on Tavancera d'un rang dans le dividende, ce qui conduira à diviser 32154,7 par 427 ; et comme le dernier chiffre du dividende n'est que de l'ordre des dixièmes, et qu'on veut des millièmes au quotient, on écrira deux zéros à sa droite, et il ne s'agira plus alors que de diviser 32154,700 par 427, ce qui donnera pour quotient 75,303, valeur exacte à moins d'un millième.

2« Exemple. Calculer le quotient de 32,1547 par 42,7 à moins d'un dixième. On ramènera d'abord cette division à celle de 321,547 par 427, puis cette dernière à celle de 321,5 par 427, ce qui donnera 0,7 pour le quotient demandé.

143. Les preuves de f addition, de la soustraction, de la multi-plication et de la division des nombres décimaux, se font comm& celles des mêmes opérations sur les nombres entiers.

Exemple. En divisant 215,889 par 4,7 on a trouvé (140) pour quotient 45,93, et pour reste 0,018 Comme en ajoutant 0,Oia au produit de 45,93 par 4,7 on retrouve le dividende 215,889^ on en conclut que l'opération a été bien faite.

S VI. ÉVALUATION D'UN PRODUIT OU D'UN QUOTIENT A MOINS D'UNE UNITÉ DÉCIMALE D'UN ORDReIdONNÉ. — MÉTHODE ABRÉGÉE POUR FAIRE LA MULTIPLICATION. — MÉTHODE DE LA DIVISION ORDONNÉE.

144. 11 arrive souvent que Ton a à multiplier ou à diviser l'une par l'autre deux quantités dont l'expression se compose d'uja' grand nombre de chiffres décimaux, et que cependant on n'a besoin de leur produit ou de leur quotient qu'à moins d'une

unité, ou d*un dixième, ou d'un centième, etc., de sorte qu'il sufflrait d'obtenir ce produit ou ce quotient dans cette limite d'approximation. On y parvient au moyen des méthodes que nous allons exposer successivement.

145. Pour obteniry à moins d'wM unité décimale d^un ordre donnée le produit de deux nombres donnés, on écrit le multiplicande comme à V ordinaire ; puis on met le chifffe des unités du multiplicateur sous le chiffre du multiplicande qui représente des unités cent fois plus petites que celle qui exprime le d^gré de Vapproximation demandée ; on écrit ensuite les autres chiffres du muttiplicateur dans leur ordre inverse, c^est-à-dire les dizaines, centaines^y etc.fàdroiteduchiffredesunitésjesdixièmesjlescentièmes, etc,^ à gauche de ce même chiffre.

On multiplie ensuite le multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur; on commence seulement chaque multiplication partielle au chiffre du multiplicande placé au dessus du chiffre employé comme multiplicateur^ en négligeant tous les chiffres de droite. On écrit tous les produits partiels les uns au-dessous des autres, de manière que les premiers chiffres à droite se corres^ pondent, et on fait l^addition. On sépare sur la droite de la somme deux décimales de plus qu'il n'y en a dans la fraction décimale qui marque {approximation; on supprime les deux derniers chiffres à droite, et on augmente d'une unité le dernier chiffre conservé. Le résultat est le produit cherché,

146. Supposons, par exemple, que l'on demande le produit de 43,5636278563 par 4,602038965, à moins d'un centième. Il est clair que si je puis calculer chacun des produits partiels à moins de 1 millième, dans le cas même où tous ces produits seraient erronés précisément de 1 millième et tous dans le même sens, l'erreur que je commettrai sera moindre que 10 millièmes ou qu'un centième, en supposant que le nombre de ces produits ne surpasse pas 10. Toute la difficulté consiste donc à calculer chacun des produits partiels à moins de 1 millième.

Je ferai d'abord observer que peu importe l'ordre dans lequel

FRACTIONS DËGIifALES. 95

on effectue les multiplications partielles du multiplicande par les différents chiffres du multiplicateur, pourvu que Ton dispose toujours les produits partiels les uns au-dessous des autres de manière que les unités de même ordre soient dans une même colonne. Ainsi on pourra renverser Tordre des chiffres du multiplicateur. Si de plus on écrit le multiplicateur ainsi renversé sous le multiplicande, de manière que le chiffre de ses unités soit sous les dix-millièmes du multiplicande, il résultera de cette disposition un avantage remarquable : c'est que le produit de chaque chi^lS!|ki multiplicande par le chiffre correspondant du multiplicateur sera de rordredesdix-millièmes(remarquezavec soin que, dans le multiplicateur, les unités sont maintenant à droite de la virgule et les décimales à gauche) ; de sorte qu'il suffira de commencer la multiplication du multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur au chiffre du multiplicande qui lui correspond, pour que le premier chiffre à droite de chaque produit partiel soit de l'ordre des dix-millièmes. Or les produits ainsi obtenus pourront bien être erronés de plusieurs dix-millièmes, mais ils ne le seront pas d'un millième : en effet la partie négligée à droite du multiplicande dans chaque multiplication partielle est moindre que 1 dix-millième; donc, dans le cas le plus défavorable, celui où le chiffre du multiplicateur serait un 9, le produit partiel correspondant serait fautif de moins de 9 dix-millièmes et par conséquent de moins de 1 millième. Donc la somme des produits partiels (supposés en nombre moindre que 10) ne sera pas fautive de 1 centième.