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108 GONYEIiSlON DES FRa\:TIONS ORDLNAIRES

On voit que le reste de la seconde division partielle est le numérateur même de la fraction proposée; et, comme on devra écrire à sa droite un zéro, le troisième dividende partiel sera le môme que le premier : nous retrouverons donc pour troisième quotient et pour troisième reste le premier quotient • et le premier reste, ce qui entraînera le retour du second dividende partiel , et par conséquent dû second quotient et du second reste, et ainsi de suite indéfiniment. On voit donc que les chiffres 4 et 5 reviendront périodiquement et à l'infini dans l'expression de la fraction décimale équivalente à la fraction W; et, comme le premier chiffre de cette expression

est de l'ordre des dixièmes, on aura •î^=r 0,45454545

Donc la fraction ^ n'est pas exactement réductible en décimales. ^

185. Us fractions décimales telles que 0,45454545..., dans lesquelles les mimes chiffres reviennent périodiquement et à l'infini , se nomment fractions décimales périodiques. Dans l'exemple précédent, ]a période est 45.

Il arrive souvent que la période ne commence qu'après quelques chi/Tres irréguliers. Pour distinguer ces fractions de celles dont nous venons de parler, nous les appellerons fractions périodiques mixtes^ par opposition aux autres, que nous nommerons fractions périodiques pures ou simples.

0,3454545.... est une fraction périodique mixte dans laquelle la période est encore 45, et dont la partie irrégulière est 3.

* 186. Nous venons de voir que certaines fractions ordinaires pouvaient être converties exactement en fractions décimales, tandis qu'il y en a d'autres qui ne sont pas susceptibles d'une pareille réduction. Nous allons examiner à quoi tient celte différence, et pour cela nous chercherons quelles sont les conditions NÉCESSAIRES et SUFFISANTES pour qu'une fraction ordinaire soit exactement réductible en décimales.

Sous avons vu (184) que, pour convertir une fraction ordi-

naire en décimales, il fallait écrire un certain nombre de zéros à la droite de sou numérateur et diviser ensuite le numérateur ainsi préparé parle dénominateur : donc, pour qu'une fraction soit exactement réductible en décimales, il faut et il suffit que le produit de son numérateur par l'unité suivie d'un certain nombre de zéros soit exactement divisible parle dénominateur. Mais nous savons (87) que, pour qu'un nombre soit divisible par un autre, il est nécessaire qu'il renferme tous les facteurs premiers de cet autre : or, en multipliant le numérateur par l'unité suivie de plusieurs zéros, nous n'avons introduit dans ce numérateur que les facteurs premiers 2 et 5 (88), car l'unité suivie de plusieurs zéros, étant une puissance parfaite de 10 (42), n'a pas d'autres facteurs premiers que 2 et 5 : donc, pour que la division puisse réussir, il faut que le numérateur primitif renferme tous les facteurs premiers du dénominateur autres que 2 et b. Je dis maintenant que cette condition est suffisante : car, puisqu'en écrivant un zéro à la droite du numérateur on le multiplie par 10, pour chaque zéro qu'on écrira à sa droite on introduira dans ce numérateur un facteur 2 et un facteur 5 : donc on pourra y introduire tous les facteurs 2 et 5 du déno minateur, de sorte qu'alors le nouveau numérateur contiendra fous les facteurs premiers du dénominateur, et sera par conséquent divisible par ce dénominateur» *

* iS7. Concluons donc, 1* que pour qu'une fraction soit riductible en décimales^ U faut et il suffit que son numéraUur contienne tous les facteurs premiers autres que ^ et h qui se trouvent dans son dénominateur : d'oii il suit que si la fraction proposée est réduite à sa plus simplô expression^ on ne pourra la convertir exactement en décimales, qu'autant que son dénominateur ne contimdra pas d^autres facteurs premiers que 2 et 5, puisque ces autres facteurs ne pourraient se trouver dans le numérateur. Alors V expression décimale de la fraction proposée contiendra autant de chiffres décimaux quHl y a alunites dans le plus haut exposant des facteurs 2 et 5 du dénominateur.

En effet, si Ton écrit à la droite du numérateur autant de

110 CONVERSIOH DES FHAGTIONS ORDINAIRES^ ETC.

zéros qu'il y a d'unités dans le plus haut exposant des facteurs 2 et 5 du dénominateur, on aura introduit dans ce numérateur tous les facteurs premiers 2 et 5 qui se trouvent au dénominateur : par conséquent la division sera devenue possible ; mais, comme on aura multiplié la fraction proposée par Tunité suivie d'un certain nombre de zéros, il faudra diviser le quotient trouvé par ce multiplicateur, ce qui se fera en séparant sur sa droite autant de décimales que l'on a écrit de zéros à la droite du numérateur, c'est-à-dire autant qu'il y a d'unités dans le plus haut exposant des facteurs 2 et 5 du dénominateur.

Exemple. La fraction {^==0^01^, et, en effet, son dénominateur 40=2*.5 : donc son expression en décimales devait contenir trois chiffres.

2° Que si le numérateur ne contient pas tous les facteurs premiers du dénominateur autres que 2 e< 5, la fraction ne pourra pas être convertie exactement en décimales. Or je dis que, dans ce cas, la fraction décimale à laquelle conduira le calcul sera ni^ cessairement périodique.

En effet, puisque le reste d'une division est nécessairement moindre que le diviseur, il est évident que la division du numérateur suivi d'un nombre indéfini de zéros parle dénominateur ne pourra pas donner plus de restes partiels différents qu'il y a d'unités moins une dans ce dénominateur. Par consé- ' quen», après un nombre de divisions au plus égal au dénominateur diminué d'une unité, on retombera sur un des restes obtenus précédemment ; et, comme on devra écrire un zéro à sa droite, on retrouvera l'un des dividendes partiels précédents, ce qui entraînera le retour périodique des mêmes quotients et des mêmes restes. La fraction décimale sera donc périodique, et la période ne contiendra pas plus de chiffres qu'il y a d'unités moins une dans le dénominateur de la fraction ordinaire proposée.