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on déduira, par exemple,

En effet, nous obtiendrons eetteproportîon en multipliât^ la première deux fois par dle-^mème, et nous venons de protrver que les produits seraient en proportion..

196 nAPPOUTS ET PROPORTIONS.

265. Les racines carrées^ cubiques^ et en général les racines semblables de quatre quantités en proportion sont aussi en proportion.

Soit, en effet, la proportion

je dis qu'on aura, par exemple,

En effet, on tire la proportion énoncée (249)

Mnts nous avons vu que la racine cubique d'un produit s'obtient en extrayant séparément les racines cubiques de chncun de ses focteurs (22») et en multipliant ces racines entre elles; nous aurons donc, d'après cela,

V^T6x'6=v^T2Xv^,

ce qui prouve que, dans la proportion à démontrer, le produit des extrêmes est ^gaî au produit des moyens, et que par conséquent celte proportion est vraie (252).

Si Von divise deux proportions terme à terme^ les quotients formeront une proportion.

C'esl-à-dire que des deux proportions

Oïl tirera f:*^:: IrH-

En effet, le produit des extrêmes de la proportion à démontrer est une fraction ^ qui a pour numérateur le produit des extrêmes de la première des proportions proposées, et pour dénotninateurle produit des extrêmes de la seconde. Le produit des mc^ensde ccHe môme proportion est une fraction ^^' qui a

pour numérateur le produit des moyens de la première» et pour dénominaleur le produit des moyens de la seconde; mais dans chacune des proportions énoncées le produit des extrêmes est égal à celui des moyens : donc les deux fractions 1^ et ^^y qui expriment le produit des extrêmes et le produit des moyens de la proportion à démontrer, ou des numérateurs égaux et des dénominateurs aussi égaux î donc elles sont égales, donc cette proportion est vraie.

264. Quoique les principes que nous venons d*établir Taient élé en considérant des quantités commensurables, ils n'en sont pas moins applicables à des quantités incommensurables. Il suHity pour s*en convaincre, de bien définir ce qu'on entend par le rapport de deux grandeurs irrationnelles. Or, puisqu*un peut toujours assigner une quantité commensurable qui diiTère d*aussi peu que Ton veut d*une quantité incommensurable donnée, on regarde le rapport des deux qua7itUcs incommensu'^ râbles comme la limUe (236) vers laquelle tendent les rapports successifs que Von obtient en remplaçant ces quantités incom* mensurables par des valeurs commensurables qui en approclicni de plus enplus. Donc les propriétés dont jouissent les rapports de quantités commensurables conviennent également aux rap* ports de quantités incommensurables; car les limites vers. lesquelles tendent deux grandeurs, qui sont constamment égales dans tous les étals de grandeur par lesquels elles passent, sont aussi égales (257).

265. Nous avons dit qu*on appelait rapport par quotient le résultat de la comparaison de deux quantités» faite dans le but de savoir combien de fois l'une contient l'autre. Si la première quantité contient la seconde un nombre exact d& fois, le rapport de ces deux quantités est évidemment ce nombre luimême, c'est-à-dire le quotient de leur division ; ainsi 18 contient 3 fois 6 ; le rapport de 18 à 6 est 3=-^. Si la piemièrn quantité ne contient pas exactement la seconde^ on les compare toutes les deux à une troisième quantité prise* pour commune mesure; soient, par exemple, les deuimuanlitésl8et 7;

ruDité est contenue 18 fois dans ia première, et 7 fois dans la seconde : donc la première quantité vaut 18 fois la septième partie ou les 4^ de la seconde; c'esl-è^dîre qae leur rapport est une fraction dont les deux termes sont les nombres de mesures communes contenues dans les deux quantités que Ton a comparées. Or une fraction exprime le quotient de son numérateur par son dénominateur (94) ; on voit donc que les expressions fraction^ qtuHierU, rapport^ peurent être considérées comme signifiant la même chose, et les mots numérateur , dinùminateur^ comme synonymes A^antécédmt et de conséquent.

En considérant les rapports sous ce nouveau point de vue, rien ne sera plus facile que d'arriver aux propriétés démontrées aux n** 240 et suivants. Ainsi, la proposition fondamentale du n* 249 se démontrera immédiatement en réduisant les deux rapporis considérés au même dénominateur. Le principe important du n« 259 se démontre avec la même facilité : soient, en effet, les rapports égaux

5 — ^/— ^//> etc.;

on a évidemment :

d'où Ton tire, en ajoutant ces égalités membre à membre : et par suite

C'est d'ailleurs le même principe que nous avions déjà démontré au .n"" iOtt.