Il suit de la définition précédente que

le 2* terme est égal au 1*' plus ou moins la raison ;

le 3* au 1*» plus ou moins la raison , plus bu

moins la raison, c'est-à-dire est égal au 1*' plus ou moins 2 fois la raison;

le 4"^ au I** plusou moins 2 fois la raison, plus ou

moins la raison, c'est-à-dirè est égal au 1*^ plus ou moins 3 fois la raison;

le 5'. hu ï* plus ou moins 3 fois la raison, plus

ou moins la raison, c'est-à-dire est

égal au 1*' plus ou moins 4 fois la

raison ; ♦

etc. "

Donc, en général, un terme quelconque d^une progression par

SOO PROGRESSIONS.

différence est égal au premier augmenté ou diminué d^autant de fois la raison qu'il y a de termes avant lui.

Cette règle donne le moyen de calculer un terme quelconque d'une progression, sans qu'on soit obligé de former tous ceux qui le précèdent. Veut-on, par exemple, calculer le cent cinquantième terme de la progression -^2.5.8.11. etc.; on voif, à l'inspection de cette progression, que la raison est 3 et le premier terme 2 : ainsi, pour calculer le cent cinquantième terme, lequel en a par conséquent 149 avant lui, il faut multiplier 3 par 149, ce qui donne 447 ; et, en ajoutant 2 à ce produit, on trouve 449 pour valeur du cent cinquantième terme.

268, Insérer des moyens différentiels entre deux nommes donnés, c'est trouver des nombres qui forment une progression par différence dont les deva nombres donnés soient îes deux extrêmes.

Proposons-nous d'insérer entre deux nombres donnés un certain nombre de moyens différentiels. Il est clair que, si l'on connaissait la raison de la progression dont ces moyens doivent faire partie, il suffirait de l'ajouter au plus petit des deux nombres donnés pour avoir le premier moyen, de l'ajouter au premier moyen pour obtenir le second, et ainsi de suite. Cherchons donc à déterminer cette raison.

Or, il suit du numéro précédent que le plus grand des deux nombres donnés est égal au plus petit augmenté d'autant de fois la raison qu'il y a de moyens à insérer plus un : car c'est précisément là le nombre des termes qui précèdentle plus grand des deux nombres. Donc, si du plus grand nombre on retranche le plus petit, le reste sera égal à la raison multipliée par le nombre des moyens à insérer plus un ; donc, pour obtenir la raison de laprogression demandée^ il suffit de diviser ladifférence des deux nombres donnés par le nombre des moyens à insérer plus un.

Exemple. Insérer six moyens différentiels entre 2 et 23. Pour cela, je retranche 2 de 23, ce qui donne 21 pour reste; je divise ce reste paf le nombre des moyensà insérer plus un, c'està-dire par 7 ; le quotient 3 exprime la raison de la progression cherchée, qui est ainsi t2.5.8«11.14.17.£0.23.

269. Si entre tous les termes cTune progression par différence on insère le même nombre de moyens différentiels y toutes les progressions partielles ainsi formées composeront une seule et même progression.

En effet, le nombre des moyens inséré entre les différents termes de la progression étant le même, ainsi que la différence de deux termes consécutifs quelconques de cette progression, la raison sera la même dans toutes les progressions partielles (268) ; et comme d'ailleurs le dernier terme de la première est le premier de la seconde, que le dernier de la seconde est le premier de la troisième, et ainsi de suite, il est évident que toutes les progressions partielles formeront une seule et même progression.

270. Dans toute progression par différence^ la somme de deux termes èquidistants des extrêmes est égale à celle des extrêmes.

Considérons, en effet, deux termes moyens, également distants des deux extrêmes, et supposons, pour fixer les idées, que la progression soit croissante; le premier de ces deux moyens sera égal au premier terme de la progression, augmenté d'autant de fois la raison qu'il y a de termes intermédiaires plus un (267) : par conséquent, la différence qui existe entre le premier terme de la progression et le premier moyen sera égale à autant de fois la raison qu'il y a de termes intermédiaires plus un. De même, la différence du second moyen au dernier terme de la progression sera égale à autant de fois la raison qu'il y a de termes intermédiaires plus un : donc, puisque les deux moyens sont èquidistants des extrêmes, ces deux différences sont égales ; donc ces quatre termes forment une équidifférence, et par conséquent la somme des deux moyens est égale à celle des deux extrêmes (244) ; ce qu'il fallait démontrer.

271. Proposons- nous actuellement de calculer la somme des termes d'une progression par différence, et considérons, par exemple, la progression

a02 PROGRESSIONS.

Supposons qu'on écrive la progression sous elle-ménie^ en renversant Tordre de ses termes^ ce qui donnera

^2 . 5.8.il.l4.ï7.S0.i3.26 -J26.23.20.17. 14. 11. 8.5.2.

Il résultera de cette disposition que les termes qui S6 correspondront dans les deux progressions étaient équidistants des extrêmes dans la première; que, par conséquent, si Ton additionne ces deux progressions terme à terme, leur somme se composera d'autant de fois la somme des extrêmes (SI70) qu*il 7 a de ternies dans la progression primitive. Mais cette somme est évidemment le double de la somme cherchée : donc, pour avoir celle-ci, il faut diviser la somme trouvée par 2. Donc, la somme des termes d^une progression par différence est égale à la wMtié du produit qu'on obtient en multipliant la somme des deux extrêmes par le nombre des termu.

Exemple. Calculer la somme des n premiers termes de la progression formée par les nombres impairs 1, 3> 5, 7, etc^

Il faut d'abord calculer le n**^ terme : en observant que la Taison est 2, on trouvera pour sa valeur 1 + 2 (n — I) = 2n -^ i {267); donc la somme des deux extrème8est2» ; parconséquenl,

la somme demandée est — j- = n*, c'est-à-dire est égale au carré

du nombre des termes additionnés.

Ce résultat fournit le moyen de trouver deux carrés dont la somme soit elle-même un carré. Il suffit, en effet, pour cela, de prendre dans la progression '§'1.3.5.7.9. etc., un terme qui soit un carré parfait, et le carré du nombre des termes qui te précèdent; car leur somme sera égale au carré du nombre qui exprime le rang du terme carré que Ton a choisi. Ainsi, prenons 49, qui est le 25» terme ; ajoutons-y le carré de 24, et nous aurons le carré de 25"^.

* La formule qui résout ce problème est ( ^ "^ J -f a'=: [ "^ ^ ) * a représentant un nombre impair c|ttelconqtf#«

PftOGBESSiONS. toa

S H. FHOGasssiaNS par quotient.

272. On aj^pelle progression par quotient ou géométmique une suite de nombres tels que chacun (Tcux est égal à celui qui le précède multiplié par une quantité constante qu'on appelle raison de la progression.

Ainsi, chaque terme est moyen proportionnel entre celui qui le précède et celui qui le suit (242).

La progression est croissante ou décroissante, suivant que ia raison est plus grande ou plus petite que l'unité (25),

f56:i8:5^: 162:486:1458: etc.,

sont des progressions par quotient : Tune croissante, dont la raison est 3, l'autre décroissante, dont la raison est J. Ces progressions s'énoncent d'ailleurs comme les progressions par difiérence (266).