Il suit de cette définition que

le 2« terme est égal au 1" multiplié par la raison ;

le3« au 1* multiplié par la raison et encore par

la raison, c'est-à-dire est égal an !•' multiplié par la seconde ^UMsance de la raison ;

le 4« au 1* uraltiplié paor la seconde ptrrssance

de la raison, et encore par la raison, c'est-à-dire est égal au l" muhipHé par la troisième puissance de la raison;

le 5« ^u 1* multiplié par la troisième puissance

de la raison, et encore par la raison, (fesl4l-dire est égal au 1^ multiplié par la quatrième puissance de la raison;

etc.

Donc, en général, un terme quelconque (Tune progression par quotient est égal au premier multiplié par la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des termes qui le précèdent.

Exemple. Calculer le onzième terme de la progression

f5 6: 18: 54: 162; etc.,

dont la raison est 3.

On élèvera la raison 3 à la dixième puissance, ce qui donnera 59049 : on multipliera ce nombre par le premier terme 6, et l'on trouvera que le terme demandé est 354294.

274. Insérer des nwyens proportionnels entre deux nombres donnés^ c'est trouver des nombres qui forment une progression par quotient dont les deux nombres donnés soient les deux extrimes.

Proposons-nous d*insérer entre deux nombres donnés un certain nombre de moyens proportionnels.

Si Ton connaissait la raison de la progression dont ces moyens doivent faire partie, il suffirait de multiplier le plus petit nombre par cette raison pour avoir le premier moyen ; de multiplier ce premier moyen par la raison pour obtenir le second, et ainsi de suite. Cherchons donc celte raison.

Il suit du numéro précédent que le plus grand des deux nombres donnés est égal au plus petit multiplié par la raison élevée ^ une puissance marquée par le nombre des moyens à insérer plus un, car c'est précisément là le nombre des termes qui précèdent le plus grand des deux nombres : donc, si Ton divise le plus ^and nombre par le plus petit, le quotient qu'on obtiendra sera égal à la raison élevée à une puissance marquée par le nombre des moyens à insérer plus un ; donc, pour obtenir la raison de la progression demandée^ il faut diviser le plits grand nombre par 1$ plus petit, et extraire du quotient une racine d'un degré égal au nombre des moyens à insérerplus un.

Exemple. Insérer deux moyens proportionnels entre 2 et 54. On divisera 54 par 2^ ce qui donnera pour quotient 27; on ex-

traira la racine froisiëme (ou cubique) de ce quotient, et on trouvera 3 pour la raison de la progression, qui sera ainsi

Les deux moyens sont donc 6 et 18.

Puisque nous ne savons extraire que des racines dont l'indice n'a pas d'autres facteurs prenoiers que 2 et 3 (255), il semble que le problème de l'insertion des moyens proportionnels n'est possible que dans certains cas particuliers; mais nous donnerons bientôt la méthode à suivre pour extraire d'une quantité donnée une racine d'un degré quelconque (284).

278. Si entre tous les termes cTune progression par qttotîmt on insère le mime nombre de moyens proportionnels y toutes les progressions partielles ainsi formées composeront une seule et même progression,

La démonstration est la même que celle du n"* 209..

276. Proposons-nous maintenant i9 calculer la somme des termes d^une progression par qitotient.

Nous supposerons d'abord que la progression soit croissante, et qu'elle soit, par exemple,

Si l'on multiplie chaque terme de la progression proposée par la raison, ce qui domiera

on reproduira tou3 les termes de cette progression, excepté le premier; mais on aura, de plus, le produit du dernier terme par la raison. Par conséquent, la différence entre la somme des termes de cette seconde progression et celle des termes de la première sera éo'ale à l'excès (486 x 3 — 6) du produit du dernier terme de la progression donnée par la raison sur son premier terme. Or, du produit de la somme des termes de la progression multipliée par la raison nous venons de retrancher

206 PR06RES»ÔMS«

cfiUe somme de termes : le reste sera ^onc encore égal a« produit de celte somme mullifiliée par l'excès (3 — i) de la.raison sur Tunilé*; donc, en divisant ce reste par cet excès, ce qui donnera ^i^, nous aurons la somme des termes de la progression donnée.

Donc, pour eàlcukr la somme des termes (Tune progression croissanU par quotietU, il faut mvitiplier son dernier terme pœt la raUim^ retrancher du produit le premier terme de la proçres" sion^ et diviser le reste par Vexcès de la raison sur runité.

Exemple. Galoiler la somme des onze premiers termes de la

progression k6: 18: 54: 162: etc. Nous avons vu (2J3) que

le onzième terme était 354294, dont le produit par la raison

est 1062882 : donc Texpression de la somme demandée sera

^Mjgfi-^ =r Xûftfft" =s 531438.

2T7^upposons maintenant que la progression soitdédroispt^^flÉ^-dire que la raison soit plus petite que l'unité, et ij|Îprêfi|QMur exemple la progression

Si^OTs multiplions chaque terme par la raison f , ce qui donnera

nous reproduirons tous les termes de la progression, excepté le premier; mais nous aurons de plus le produit du dernier terme par la raison. Donc, en retranchant la somme des termes de cette seconde progression de celle des termes de la première, on aura pour reste l'excès (25 — f|^x|) du premier terme de la progression donnée sur le produit de son dernier terme par la raison. Mais de la somme des termes delà progression noas venons de retrancher le produit de celte somme multipliée par

* Si la raison est un nombre entier, la chose est évidente; supposons qu'elle soU fractionnaife^ ^ par exemple; en multipliant la somme des termes par t^, nous en avons pris les ^ : aasi, des t^ de la somme de termes, nous ATcms retrancké cette somme, donc il nous en est resté les Jc est^dire le produit de cette samme par ^ , ou par Texcès de i^ sur

l'UDité. ^

la raison : donc le reste sera égal au produit de eette somme multipliée par l'excès (1 — |) de Ponltéflur la raison*; donc,

en divisant ce re^te par. cet excès, ce qui donnera j^l — h

nous aurons la somme des termes de la progression donnée. Donc, pour calcukr la somme des termes d'une progression décroissante par quotienty il faut du premier terme retrancher le produit du dernier multiplié par là raison, et dMser le reste par r excès de Vunité sur la raison.

* 278. D'après cela, si tious représentons le premier terme d'une progression décroissante par a, le dernier par /, la raison par r, la somme des termes par &, nous aurons pour expression de la somme des termes de cette progression :

Or, puisque la progression est décroissante, il est évident que le dernier terme sera d'autant plus petiè^qu'il sera plus éloigné du premier, c'est-à-dire que le nombre des termes sera plus considérable; et nous démontrerons plus loin qu'il tend vers zéro quand le nombre de ces termes augmente indéfiniment (535); donc, en prenant un nombre de termes suffisamment grand', la valeur de l et, à plus forte raison, celle du produit /.r (r est une fraction) sera asçez petite pour qiiela quantitéo-- Ir diffère de a d'aussi peu qu'on voudra; de sorte que la quantité

a—l''^ différera elle-même d'aussi peu qu'on voudra de la 1— r

quantité -A«» Cette denûèrequantité est donc une Kmltedont

la somme dos termes approche d'autant plus qu'on la compose

* En effet, en multipliant la sommé des termes par f , nous en avons pris les ^ : donc, en retranchant ces J de la somme des termes, il nous en est resté les^, c'estVdire le produit de cette somme par |, ou par Pexcès de Purité sur la raison J.

208 PUOG!\ESS10NS.

d*un plus graud nombre de termes (236), mais qu'elle ne peut atteindre qu'autant que la progression se prolonge à Tinfini : c*est alors seulement que son dernier terme / est nul, et que par conséquent le produit l.r devient aussi nul. Donc la limite de la somme des termes d*une progression décroissante à rinflni est ; donc, pour calculer la somme des ter--

mes d^une progression par quotient décroissante à Vinlini, il faut diviser son premier terme par Vexcès de l'unité sur la raison.

* 870. Considérons la fraction décimale périodique

elle est la somme des fractions partielles

etc.

Or on voit que chacune de ces fractions est cent fois plus j)etile que la précédente (134); de sorte que la fraction décimale périodique proposée n'est autre chose que la somme des termes d'une progression par quotient décroissante à l'infini, dont le premier terme est 0,25, et dont la raison est 0,01. Ainsi, pour calculer la valeur de cette fraction périodique, il faudra, conformément à ce que nous venons de voir, diviser son premier terme 0,25 par l'excès de 1 sur 0,01, c'est-à-dire par 0,99 : la valeur de cette fraction sera donc }{j}j, ou, en multipliant ses deux termes par 100, |f ; ce qui s'accorde avec la règle du n"" 18(1.