tn>c — l

car à plus forte raison aura-t-on a*— 1 >(?—!, et par consé-

* Si a est un nombre fractionnaire^ on imitera le raisonnement- fait dans la note du n* 290.

qaent or>c. Or, si Ton divise les deux membres de celte inégalité par h^ rinégalité subsistera toujours dans le même sens : donc on aura

Ainsi Ton pourra toujours assigner à m une valeur qui rende la vri^"^ puissance d'une quantité plus grande que l'unilé supérieure à toute grandeur donnée : donc , les puissances successives de cette quantité augmmterU indéfiniment ^ ou ont Vinfini

pour LIMITE.

«532. Les puissances successives d'une quantité moindre que Vunîté sont de plus en plus petites^ et ont zéro pour libute.

Il suit de la définition de la multiplication que, lorsque le multiplicateur est moindre que l'unité, le produit est plus petit que le multiplicande : donc, les puissances successives (Tune quanHté m^oindre que Vunité sonz de plus en plus petites.

Soit maintenant a une quantité moindre que Tunité : je désigne par a' le quotient de la division de 1 par a, de sorte que a,a' = l; or, pour élever un produit à une certaine puis» sance^ il suffit d*y élever ses facteurs (la démonstration est la même que celle donnée dans la note d u n* 202) ; donc a* . a'*= l ;

et par conséquent, d'après la définition de la division, a* =-7^.

Si donc on veut que a* soit moindre qu'une quantité quelconque - plus petite que l'unité, il faudra que l'on ait -^<-, et c a c

partant a'">c, inégalité à laquelle on pourra toujours satisfaire, comme nous l'avons vu tout à l'heure, puisque a'> 1. Donc, les puissances successives d^une quantité moindre que Vunilé ont zéro pour limite.

333. Le théorème que nous venons de démontrer prouve que, comme nous l'avons avancé au n" 27tt, le dernier terme d^une progression géométrique décroissante est d'autant plus petit quHl est plus éloigné du premier^ et a zéro pour limite^ lorsque la progression se prolonge indéfiniment : car, si l'on représente par

282 APKNIHCE.

n le nombre des termes de cette progression» on a (275) |=a.f*-*, et comme le facteur r*-* décroît indéfiniment, sin augmente jusqu'à l'infini, on voit que le produit a.r**^ décroît aussi jusqu'à devenir nul.

354. Nous avons dit (286) que H entre deux nombres quelcimques on imère un nombre infini de moyens proportionnels^ la suite de ces moyens présentera toutes les nuances de la grandeur comprise entre ces deux nombres. Soient, en effet, (m — 1) le nombre des moyens proportionnels que l'on veut insérer entre les deux nombres proposés, et q le quotient obtenu en divisant le plus grand par le plus petit; la raison de la progression formée

par ces moyens sera ^q; de sorte que si a représente un de

ces moyens, le suivant sera représenté par a. ^q Or je dis qu'on peut assigner à m une valeur «assez grande pour rendre

la difTérence (a.v^ — a) plus petite que toute quantité donnée $• En efiiet, pour qu'il en soit ainsi, il suffira que '^q-^l <-9

ou bien que 75<1H — > ^" ^^^^ encore que g<(l4""") •

Or nous avons vu (551) que les puissances d'un nombre plus grand que l'unité convergent vers l'infini en même temps que les exposants de ces puissances : donc on pourrd toujours donner à m une valeur assez grande pour que ( 1 -| — j >g, ou

pour que a."/^— »<^» Donc, en insérant un nombre de moyens suffisamment grand entre deux nombres quelconques, on pourra faire que ces moyens croissent par degrés moindres que toute grandeur donnée. D'où l'on devra conclure qu'ib crcitront dCune manière continue^ lorsque leur nombre sera infini^ sans quoi Ton passerait brusquement d'un moyen à un autre qui en différerait d'une quantité finie, ce qui est absurde, puisque la difl'érence de deux moyens consécutifs peut être rendue moindre que toute quantité assignable.