SIMPLIFICATION DU CALCUL DE LA RACINE CARRÉE

320. Lorsqu'on aura trouvé plus de la moitié des chiffres entiers de la racine carrée d'un nombre^ on obtiendra tous les aïk*

très en divisant le reste par le double de la racine trouvée^ et Von ne commettra pas ainsi une erreur d'une unité.

Représentons par n le nombre proposé, par a la valeur de la partie trouvée de ta radne, et par b la partie complémentaire de cette radne, de sorte que

n=(a+fc)*=srf+2a, b+b\

Gela posé, désignons par q le quotient et par r le reste de la division de n^-^a^ par 2a ; on aura

€f, en vertu du principe du n® 2.47,

suivant que g est < ou >ft.

Or, si b renferme m chiffres entiers, son carré 6* en renferme 2m au plus, car 6'<10*"; mais la valeur de a est exprimée par un nombre de (2m-f- 1) chiffres au moins, puisqu'on suppose que Ton a trouvé plus de la moitié des chiffres entiers de

la racine; donc — est moindre qu'une unité. D'ailleurs r-<l ;

donc— 7 — <l, et^ <|; et comme &— g ou q—b est

Terreur que Ton commet en prenant a-f-9 ^aiicu dea-)-&,

selon que 9<b ou >fr, on voit que cette erreur est moindre

qu'une unité si la racine est obtenue par défaut^ et moindre

qu'une demi-unité si on l'a par excès.

Or, si la racine est exacte, b est un nombre entier, donc 6=g, et partant r= 6*= g*; si g<16, il faudra que r soit>6* et à fortiori >9*; mais si 9>&, il faudra au contraire que r soit <16* et à fortiori <g* ; donc :

La racine sera exacte^ ou approchée par défaut et à moins d'une unité f ou approchée par excès et à m^ins d'une demi-^nité^ lorsque

le retU de la division sera égal au carré du quotient de cette divi^ siony ouplu^s grand que ce carri^ ou plus petit.

U est bon de remarquer que si le premier chiffre à gauche de la racine n'est pas moindre que 5, il suffira de calculer directement la moitié des chiffres entiers de la racine, etl'on pourra obtenir tous les autres par la division, cari)' sera alors <2a.

Exemple : Extraire la racine carrée de 6784539647895234&. La racine devant contenir neuf chifinres, on calculera d'abord les cinq premiers d'après la méthode ordinaire, et Ton trouvera pour la valeur de cette première partie de la racine 26047000Q et pour reste correspondant 775578952345, qu'il faudra ainsi diviser par 520940000, ce qui revient à diviser 77557895,2345 par 52094 ; le quotient est 1488, et le reste 420232345, quan* tité plus grande que le carré de 1488, car ce carré contiendra au plus huit chiffres (3tt) : donc la racine demandée est 260471488, valeur approchée par défaut à moins d'une unité»

SUR LA LIMITE DU NOMBRE DES DIVISIONS A FAIRE POUR TROUVER LE PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR DE DEUX NOMBRES.

550. Si l'on divise deux nombres par leur plus grand commun diviseur d, et que l'on cherche le plus grand commun diviseur des deux quotients ainsi obtenus, les restes que l'on trouvera dans cette seconde série d*opérations seront respectivement égaux à ceux de la première divisés par d (80) ; donc> dans la recherche d'une limite du nombre des divisions à effectuer pour trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres, on peut supposer que ce plus grand commun diviseur soit l'unité.

Gela posé, soient D, E, F, 6,... plusieurs diviseurs consécutifs, et admettons que, conformément à la simplification que nous avons indiquée au n* 02, chacun de ces nombres soit inférieur à la moitié du précédent. Si la division de E par F a été faite par défaut, on a

E=ou>2P-|-G:

et, si elle a été faite par excès»

E=ou>3P— G.

Or, F étant plus grand que le double de G, on voit que 3F — G, qui est égal à 2F 4-F— G, est plus grand que 2P+ G, et qu'en conséquence, quel que soit le mode de division que l'on ait employé, on aura toujours

E=ou>2F+G; donc K>5G,

puisque F>2G; par suite, .D>10G,

car D>>2E. Ainsi, en comptant les restes dans l'ordre où ils se succèdent à partir du dernier, on pourra dire qu'ion reste quel" conque est plus grand que 10 fois celui qui vient trois rangs avant ce reste; or le dernier reste est 1, comme nous l'avons supposé; donc

le reste qui occupe le (3+ 1)'*"* rang surpasse 10 ;

par suite,

le resle qui occupe le (3+1+3) = (3.2+1)'*"* rang surpasse 10' ;

(3.2+l+3)=(3.3+iy*'»« rang surpasselO» ;

• .,..•... (3.3+l+3)=(3.4+iy*«'« rang surpasse 10*;

et, en général, le reste du rang (3n+ 1) surpasse 10*.

Mais (3n+l) est précisément le nombre des divisions que l'on a effectuées, si Ton prend ce reste pour premier diviseur ; d'ailleurs 10*^ contient n + 1 chiffres; donc, pour que l'on effectue plus de 3n divisions, il faut que le plus petit nombre contienne plus de-n chiffres, ou autrement, le nombre des dû visions ne peut excéder le triple du nombre des chiffres du plus petU nombre.

Cette démonstration est extraite d'un article très-intéressant que H. Lionnet a inséré dans le quatrième volume des Nouvelles Annales de mathémaiiques.

280 APP£N01€fi.

531. Les puissances successives d^un nombre plus grand que VunUé sont de plus en plus grandes, et croissent indéfiniment.

Il suit de la définition même de la multiplication que, si le multiplicateur surpasse l'unité, le produit est plus grand que le multiplicande : donc, les puissances successives éCune quantité plus grande que V unité sont de plus en pliu grandes.

Maintenant, représentons par a une quantité plus grande que Vuniié, et appelons b l'excès de a sur l'unité, de sorte que

Nous aurons évidemment a.{a — 1)>5, c'est-à-dire

car, pour répéter (a— 1) fois a, il suffit de le répéter a fois, et de retrancher a du produit "^^ A plus forte raison aurons-nous

Or, il est clair que la somme des premiers membres des m remuons [l], [2], [3]...., [m] est plus grande que celle des seconds ; mais celle-ci est m fois b ou b.m, et l'autre se réduit

à a" — 1 : car c'hacune des puissances a, a*, a\ a**"* est

alternativement additive et soustractive ; donc

tf" — l>5.tn.

Si donc on veut que a* soit plus grand qu'une quantité quelconque c, il n'y aura qu'à donner à m une valeur telle que Ton ait