Soustraction. Si les deux nombres étaient erronés
dans le même sens, les erreurs se compenseraient en partie
par la soustraction^ de soi^te qu'il suffirait que chaque nom-
1 • bre fût exact à moins de r pour qu'il en fût de même du
reste.
Mais si les deux nombres sont erronés en sens contraire, les
erreurs s'ajouteront, et par conséquent il faudra calculer cha-
1* cun d'eux à moius de ^ •
842. Multiplication. 1* Si un seul des facteurs est incùm-mensurable^ il faudra que l'erreur commise sur ce facteur, multipliée par le produit P de tous les autres, soit plus petite
que T ; donc ce facteur doit être exact à moins de pr.
Exemple I. Supposons que Von demande le plus grand nombre entier contenu dans le produit du nombre incommensurable «==3,141592653.... par 17. Il semble qu'on pourrait résoudre cette question en faisant en sorte que l'erreur commise sur w fût plus petite que -j^; et comme -^ est > 0,05, on prendrait 3, 1 pour valeur de w, car la partie négligée serait ainsi moindre que 0,05, et à plus forte raison que -ff. Le produit 3,1X17 = 52,7 est donc inférieur à 17^ de moins d'une unité. Or, on conçoit que si Ton prend 52 pour valeur de 17^,
d*où l'on tire^ en additionnanti
e+a'+e'<*-{A+B+C), ou '^^c<l'
6 "^ fi' I ^ g*
On prouvera de même que a 4-B-4-C ^C*
* V erreur relative d'une différence est moindre que la somme des erreurs absolues partielles des deux nombres à soustraire Vun de Vautre, divisée par la différence des valeurs approchées de ces quantités. On suppose le plus grand nombre approché par défaut^ et le plus petit par excès : Terreur est
ïtlB (A-e)-(B + er
288 APl'ENDIGfi.
l'erreur dont 52,7 est affecté, étant ainsi augmentée de 0,7, pourra très-bien surpasser une unité, et que par conséquent on n*est pas sûr que 52 soit le plus grand nombre entier contenu dans 17ir. M. Gvilmin^ a* donné la règle suivante pour lever celte difficulté* :
Si vous voulez le plus grand nombre entier contenu dans le pro^ duit du nombre commensurable m par le nombre incommensurable a, au Heu de prendre la valeur desi à moins de ^ près^ calculez- la à moins de y^9 de sorte que le produit correspondant ne sera pas trop faible de 0,1 \ si alors le premier chiffre décimal de ce produit est moindre que 9, sa partie entière répon* dra à la question, car elle ne sera pas inférieure d'une unité à m,a.
Mais si le premier chiffre décimal est un 9, vous prendrez une valeur de a exacte à moins de -jô^^ de sorte que le produit corres* pondant ne sera pas trop faible de 0,01; alors si la partie déci" mole de ce produit est moindre que 0,99, sa partie entière répondra à la question, car elle ne sera pas inférieure d'une unité à m.a^ et ainsi de suite.
En conséquence, nous allons calculer tc à moins de xhi Pi'és, et comme celle fraction est > 0,005, nous prendrons 3,14 pour valeur de «; le produit 3,14.17= 53,38 sera donc inférieur à 17ir de moins de 0,1 ; ainsi 53 est le plus grand nombre entier contenu dans I7ir.
Si Ton remarque qu'en ajoutant 0,1 à 53,38 on obtiendra un nombre > 17w et <53,5, on en conclura que 53 est la valeur de 177C à moins d'une demi-unité près.
Exemple II. Calculer le produit de tc par 4,729 à moins de ^ millième. Nous allons, conformément à ce qui précède, chercher quelle valeur on^doit donner à irpour que le produit ne soit pas fautif d'un dix-millième. 11 faudra, pour cela, que cette valeur ne soit pas en erreur de î;^YîrWoô=T7i^> 0,00002; ainsien prenant pour la valeur de ir,3, 141 6, quantité quin'est pas
Nouvelles Annales de mathématiques, V' volume.
trop grande de 0,00001, le produit 3,1415 X 4,7£9 =±= 14,8566264 ne sera pas trop grand d'un dix-millième. Donc, si on le diminue de 0,0001, le nombre résultant 14,8565264 sera plus petit que le véritable produit ; ce véritable produit surpasse donc 14,856 de plus de 5 dix-millièmes ; il est d'ailleurs inférieur à 149857 ; donc sa valeur est 14,857, à moins de { millième.
ExEBiPLE III. Veut-on le produit de 7^ par ^^2 à moins d'un demi-dixième près (ou^) ; on observera qu'en vertu du principe du n« 202, 7 f . v/2 = v^(7f)».2, ce qui nous ramène à la règle donnée au même numéro. On formera donc d'abord le cube de 7 f , ce qui donnera 4fF> on multipliera ce cube par 2, puis le résultat par 2(f; on extraira la racine cubique du produit 7023616, et Ton trouvera 191 : ainsi la racine demandée tombe entre A|y-=9,55 et ^=9,60; sa valeur est donc 9,6, à moins d'un demi-dixième *.
545. 2'' Soit un produit de m facteurs incommensurables. J'appelleA', BVG',....,K'les valeurs approchées, mais inconnues de ces facteurs, et e l'erreur que l'on doit commettre sur chacun d'eux. En prenant le produit A'.B'.G'....R' au lieu du véritable, on commettra une erreur c qui aura pour expression
or, si l'on développe le second membre de cette équation diaprés la règle donnée dans l'algèbre, il viendra
* L'erreur relative d'un produit dans lequel un setd (tuteur est incommensurable est égale à Verreur relative de ce facteur. Soient A' la râleur approchée du facteur incommeasurable, e Terreur absolue commise sur ce facteur; sa valeur exacte sera A = A.'+e; donc, en appelant P le produit de tous les autres facteurs exacts, on aura
Terreur relative sera donc
AP=A'P+eP, AP— A'P=cP;
AP---AT eP c (e„eur relative du facteur AQ.
Al' AP A
en désignant en général par S n la somme des produits différents n à n que Ton peut faire avec les m facteurs k\Wfi'f.... K' ; ou bien, en mettant e en facteur commun,
Or, siTon représente par9(e)leproduit(A'+e)(B'+e)(C'+e).-. (K' + e), ona
ç(e)=r+S'te"^* + - + S'.^2e* + S'«^6+Si»; donc
9'(6)=tne— *+(m— l)S'4e"-*+...+2S'«-,e+S'«-j.
Mais il est évident que le second membre de cette équation surpasse la quantité qui est comprise entre parenthèses dans le deuxième membre de Téquation [a] ; donc
Or, <p' (e) est la somme des produits (m— 1) à (m— 1) des facteurs proposés ; donc, si Ton appelle S".^ la somme des produits (m — 1) à (m — 1) de m facteurs quelconques, mais tous plus grands que ceux-là, Terreur c sera à fortiori plus petite
que cS*'«»-i ; donc, pour que t soit < -g, il suffira que Ton ait
6S'«^<i, tfoù e<^—^ [1>
Exemple. Veut-on, à moins de 0,1, le produit de w par log 2 et par ^5 ; on observera que «< 3,2, log 2< 1, \/ï<9;, et qu'ainsi 8*'.^^= 3,2.1 +3,2.2+ 1.2 = 3,2 + 6,4+ 2= 11,6 ; on devra donc prendre (542)
e<Th; or Tiïï<M08;
ainsi il suffira de calculer chaque facteur à moins d'un demicentième près. On trouvera de cette manière 3,14.0,30.1,71
* Verreur relative d'un produit de pluneun facteurs inc(mmeniwrable&
544. Puissances. Soit A*^ un nombre quelconque supérieur au facteur que Ton veut élever à la puissance m; il faudra que la valeur de ce facteur soit exacte à moins de
carS%-i = mA**^*.
Si Ton veut traiter cette question directement, on dira : soit A' la valeur approchée par défaut du nombre proposé ; en prenant A'" au lieu de (A' + e)~, on commettra une erreur e qui aura pour expression
8===(A'+e)~— A'«=e«+mA'e«-» +ïï^^^^^ A'*e«-»
ou, ce qui revient au même.
Mais on a évidemment
w (A' + e)*^* = me*^* + m (m — 1) A 'e*"-*
+ "'^"*- y^^^- ') A"e"-»+....+mA"-«;
donc l'erreur e est moindre que m(A' + e)"^*e et à fortiori moindre que mA""^*e, si A" > A' + e ; donc encore
mk
vm-i;j'
est plus petite que la somme des erreurs relatives de chaque facteur. Considérons d'abord deux facteurs, A et B ; soient e, e' leurs erreurs absolues. L'erreur absolue du produit sera
j^B— (A— 6) (B— cO=^^+Be— ce'; À
l'erreur relative du produit sera dcmc
Ae^-i-Bg— eg' e' . e eef e' e ^
AB ""b"^! AB b"*"!'
ce qu'il fallait démontrer. On en déduit fiwîileinent le cas d'un>ombre quelconque de facteurs.
* L'erreur relative de la m"* puissance d^un nombre est moindre que m fois Verreur relative de ce nombre.
545. Division. 1® Le diviseur est exact et le dividende est inconir mensurable. Soient A et B le dividende et le diviseur» et A — e la valeur approchée, par défaut, du dividende; le quotient
appro(;hé sera représenté par p , et, le véritable Tétant par iT, l'erreur commise sera ^ : donc
2* Le diviseur est incommensurable ^ mais le dividende est exact. Supposons que Ton prenne le diviseur par excès et représentons-le par (B-f-^)f le véritable étant désigné par B. L'erreur commise sur le quotient aura pour expression
A A __ Ae
de sorte qu*on devra avoir
Ae ^1
d'où l'on tire SAe<B*+B6, puis (SA— B)6<BS et enfin
Désignons par B' un nombre quelconque < B ; B" sera <B% et 8A — B' sera au contraire > 5A — B ; par conséquent, la
* V erreur relaa've du quottenl, longue U dividende seul est incommensurable, est égaie à V erreur rdalive du dividende. En .effet, Terreur absolue du quotient est ^^ le quotient exact est ^ ; l'erreur relative est donc
ê EL e
-:- = -, c'est-à-dire égale à Terreur relative du dividende.
fraction g. ^, sera < jrHR» ^^ ^^^^ qu*on devra prendre
^'^JTUff t^]» ^" P'^^ simplement «<gj [5],
car il esl évident que jr < ^. ^^.^ .
3® le dividende et le diviseur sont incommensurables. Je suppose (jue Ton prenne le dividende par défaut et le diviseur par excès ;
ainsi, le Yëritable quotient étant I?, le quotient approciié sera p"7 9 de sorlequeTerreur commise sera
A A— e (A-fB)6
ff B+e"*"B(B+e)' on posera donc
i^+^<l d'où - «'
Soient B' un nombre quelconque < B, B"' au contraire un nombre >B, et A* un nombre >A ; on aura évidemment B''<B», 8(A''+B'0 — B'>8(A+B)— B, de sorte que la fraction
B{A'+ ffO —^' ^^^^ ^^^^^^^ q^^ 8(A-f Bj— B ' P^^ conséquent la limite de l'erreur qu'on devra commettre sur le dividende et sur le diviseur sera donnée par la formule
^^SCA'^+B")— B' ^^'*
* L'erreur relative du quotient, lorsque le diviseur seul est ineommen' suràbUf est moindre que Verreur relative du diviseur. Nous TéDons de voir, ea effet, que Terreur absolue commise sur le quotient avait pour valeur
dans ce cas .p . > ; or le quotient exact est - ; Terreur relative est donc B (B + e} o
. ^ - • b~bT"' quantité plus petite que =, c'est-À-dire que l'erreur: e-
lative du diviseur.
OU plus simplement par
546. Dans la plupart des applications, le quotient que l'on substitue au véritable doit être évalué en décimales ; mais alors si Ton néglige dans ce quotient les chiffres qui sont d'un ordre inférieur à celui dont est l'unité décimale qu'on a prise pour limite de l'approximation, il pourra se faire que cette erreur, ajoutée à celle dont ce quotient est déjà affecté, soit plus grande que celle que l'on veut commettre. On évitera cet Inconvénient en appliquant encore ici la règle que nous avons donnée à la page 288 pour la multiplication, c'est-à-dire que l'on prendra pour e une valeur 10, ou 100, ou 1000 fois plus petite que celle donnée par les formules que nous venons d'établir.
Exemple. Calculer à moins d'un demi-centième près la valeur de la fraction ^^^, dans laquelle w représente le nombre
3,1415926535.... Pour appliquer ici la formule [7], nous poserons a=2000, B'=4, 1, B"=4,2, et A"=2,2, ce qui donnera c<5ïïoffc4=^4tFî or cette fraction étant plus grande qu'un millième, nous devons prendre la valeur de w à moins de 0,001, ce qui nous conduit à diviser 2,141 par 4,142, car nous sommes convenus de prendre le dividende par défaut et le diviseur par excès (348, 3°). Le quotient est 0,516.... Gomme son troisième chiffre décimal surpasse 4, il est évident qu'il est * plus près de 0,52 que de 0,51, de sorte que 0,52 est la réponse à la question.
* Verreur relative du quotient y lorsque le dividende et le diviseur sont incommensurables j est plus petite que la somme des erreurs rekUiyes du dividende et du diviseur. Soient, en eflfet, A— e le dividende approché par défaut, B + c' le diviseur approché par excès; Terreur absolue du quotient est
As'+Be c' e quantité moindre que — Tb"^^ fi"*" I » c'est-à-dire moindre que la somme
des erreurs relatives du dividende et du diviseur.
Si le troisième chiffre décimal eût été plus petit que 4, il est évident qu'en ajoutant au quotient une quantité moindre que 0,0005 on n'aurait pas obtenu 0,515, et qu'alors ce quotient eût été plus près de 0,51 que de 0,5S; donc on aurait dû prendre 0,51 pour sa valeur.
Si le troisième chiffre du quotient eût été 4, alors, en ajoutant à ce quotient une quantité inférieure à 0,0005, on aurait pu trouver un nombre plus petit ou plus grand que 0,515, de «orte qu'il n'y aurait pas eu de raison pour préférer 0,51 ou 0,52. Dans ce cas, il aurait fallu recommencer le calcul en prenant 0,0001 pour limite de e, et si le quatrième chiffre du nouveau quotient n'était pas un 9, il n'y aurait aucune incertitude, et l'on prendrait 0^51 ; mais si ce quatrième chiffre est un 9^, il faudra recommencer le calcul en prenant 0,00001 pour limite de e*.
