ET RELATIVES
836 Les quantités qui entrent dans un calcul sont souvent incommensurables ou ne sont connues qu'approximativement; il s'ensuit que le résultat de ce calcul n'est lui-môme qu'approché, et diffère plus ou moins du résultat exact que l'on
aurait obtenu en opérant sur les valeurs exactes des quantités données.
L'erreur commise sur une quantité peut être appréciée de deux manières : ou en elle*mème et d'une manière absolue, ou bien comme une partie de la quantité sur laquelle elle a été commise. Dans le 1" cas, l'erreur est dite absolue; ainsi, en mesurant une longueur, on a trouvé qu'elle était égale à 1250",73 : si l'on prend seulement pour cette longueur 1250",70, on commettra une erreur absolue de 3 centimètres. Dans le 2* cas, l'erreur est dite relative; ainsi, dans le même exemple, on a négligé 3 centimètres, c'est-à-dire 3 fois la 125073* partie de la valeur exacte; on a commis une erreur relative des j^gn ^® ^^^^^ valeur. Ainsi nous appellerons ERREUR ABSOLUE la différence entre la valeur exacte d*une quan^ titi et la vale/ur approchée qu'on lui substitue. Nous appellerons ERREUR RELATIVE U rapport de terreur absolue à la valeur exacte de la quantité considérée.
537. Soit A un nombre quelconque^ entier ou décimal, cornposé de m -^n chiffres; soit A! la valeur approchée de cenombre^ obtenue en remplaçant par des zéros les n chiffres à droite du m"»* chiffre significatif {dernier chiffre conservé à partir de la
gauche) : Verreur relative — j — commise sur la valeur appro^
chée A' sera moindre que ,. . .
En effet, le numérateur A— A', ou Terreur absolue, est un nombre de n chiffres nécessairement plus petit que l'unité suivie de n zéros, ou que I unité de l'ordre du m"»* chiffre du nombre A ; le dénominateur A est un nombre de m-f n chif* fres, plus grand que l'unité suivie de m+n— 1 zéros, ou que lO*-* unités de l'ordre du m»* chiffre du nombre A; donc
la fraction - ^ , c'est-à-dire l'erreur relative, est plus pe-
«te que y^.
Ainsi, soit A =1584372 169; je prends pour valeur appro-
chée A' = 1684372000; on a m=7, n==3; Terreur relative
Soit encore A= 1584,37216975; je prends pour valeur approchée A' = 1584,37216; on am=9, n=3; l'erreur rela- . 1584,37216975—1584,37216 0,00000975
158437216975* ^ ^^^^ ®^^ < ÏÔ^*
358. Si Verreur relative commise sur un nombre cherché est moindre que-r^ Verreur absolue sera moindre qu*une unité de
r ordre de son m"' chiffre à partir de la gauche.
Supposons, en effet, que Terreur relative — r — soit <77^;
on en déduit, pour la valeur de Terreur absolue, A — A' •<TJ^l;;•
Or A est plu>s petit que 10" unités de Tordre de son m"* chiffre ;
donc r^ et, à /brfiort. Terreur absolue est moindre qu'une
unité de cet ordre.
Il ne suffirait pas que Terreui relative fût moindre que ^
pour en conclure que Terreur absolue sera moindre qu'une
unité de Tordre du m"- chiffre. En effet, soit — j-îl<-.^;
on en déduit, pour Terreur absolue, A — A' < yôîti» ^^*s
comme A est plus grand que 10*-* unités de Tordre de son m"^ chiffre, on ne peut pas en conclure que Terreur absolue soit moindre qu'une unité de cet ordre.
559. Nous allons nous proposer de déterminer avec quel ' degré d'approximation il faut évaluer les quantités incommensurables qui entrent dans un calcul^ pour que Terreur absolue commise sur le résultat de ce calcul soit moindre qu'une gran-
286 APPENDlGIk
deur donnée r. Pour traiter cette question dans toute sa géné-
ra]ité% nous allons examiner successivement les six cas qui pourront se présenter, et nous conviendrons de représenter par e l'erreur absolue commune dont les quantités proposées devront être affectées pour que le résultat final ne soit pas
fautif de r.
Nous donnerons dans les notes correspondantes à chaque cas la valeur de l'erreur relative du résultat en fonction des erreurs relatives des données.
MO. Addition. L'erreur absolue totale ne peut pas évidemmeiit surpasser la somme des erreurs absolues partielles commises sur chacune des quantités à additionner; si donc la somme de m quantités incommensurables doit être erronée
d'une grandeur moindre que r, il suffira que chacune d'elles ne
le soit pas de — r
Une partie de cette théorie exige des notions d'algèbre. Verreur relative d*une somme est moindre que la somme des erreurs absolues partielles divisée par la somme des valeurs approchées des quantités considérées^ ces valeurs étant prises par défaut. Elle est comprise entre la plus grande et la plus petite des erreurs relatives partielles; ainsi, soient A, B, C les valeurs exactes ; e, ef, ef* les erreurs absolues partielles: Terreur relative de la somme et les erreurs relatires partielles sont
e 4- g^ + g^ e ef e^ A + Ii + G' V B* G*
on aura «=7 A,
«3'=|'b, d'où c^<^B, •"=^0, d'où «'<^C;
