ET PAR QUOTIENT
586. Si Ton convient de représenter en général par a, r, /, net 5 respectivement le premier terme^ la raison, le dernier terme, le nombre et la somme des termes d'une progression par tliiïérence, les règles que nous avons établies aux n®* 2G7 et fi71 donneront
/=a+(n^l)r [1], et 5=^î±^ [2].
On a donc ainsi deux équations entre les cinq quantités a, r, /, n et s\ de sorte que, si Toîi donne trois quelconques de ces quantités, il sera facile, àFaide des principes élémentaires de l'algèbre, de calculer les deux autres. Or comme avec ces cinq quaiitités prises deux à deux pour inconnues on peut former les dix combinaisons
a et r, a et/, aet n, aet5, ret/, r etn,ret 5, /et n, / et s, net*, on voit qu'il y a ainsi dix problèmes à résoudre sur les progressions par différence. Nous ne nous occuperons que du huitième.
Problème. Étant donnés a, r et s, on demande 1 et n. On remplacera dans [2] / par sa valeur donnée par [l], et il viendra
,= ll2±Çîiz2)lÎ2[3], d'où n'+^ii=I>î-?^=o
Ainsi, en résolvant cette équation, on obtiendra la valeur de n, et, en la substituant dans la formule [1], on aura celle de /.
n étant un nombre entier positif, il faudra, pour que le problème soit possible, que les racines de Téqualion [4j soient réelles, et qu'il y en ait au moins une qui soit positive et entière. Si r et s sont de signes contraires, il faudra, pour que
les racines de Téquation [4] soient réelles et positives, que
Ton ait
(2a — r)*+ar«>0- et 2a — r<0;
et si, de plus, les deux racines de l'équation [4] sont entières» le problème aura deux solutions.
Si r et 5 sont de. mêmes signes, le dernier terme — —'de
l'équation [4] sera négatif, et les deux racines seront réelles et de signes contraires; de sorte que, si la racine positive est entière, le problème aura une solution.
557. Si la racine négative est aussi entière^ on pourra se pro* poser (fen trouver V interprétation.
Pour y parvenir, on changera n en — n dans la formule [3], ce qui donnera
l2a+(-n-l)r)(-n) , {-2a+(n+l)r}n 5— 5 , ou s — ^—. ,
en changeant les signes des deux facteurs du numérateur, ce qui n'altère pas sa valeur. Ainsi il faudra, en se reportant à la formule [2], que — 2a+ (n+ l)r représente la sommedes deux extrêmes de la progression. Hais si l'on désigne par x le premier de ces termes, cette somme aura pour expression 2a« -j- (n— l)r ; donc on devra avoir
2a?+(n— l)r=— 2a-f-(n+l)r, d'où a?=^(a— r);
de sorte qu'il faudra faire commencer Ja progression pnr
388. Pour les progressions géométriques, la traduction algébrique des règles que nous avons posées aux n<^ 275 et 27(> donnera les deux équations
|=af--*[5] et 9 = j^ [6];
en conséquence, on pourra se proposer, sur les progressions géométriques, dix problèmes analogues à ceux que nous avons indiqués (556) sur les progressions arithmétiques.
La résolution du deuxième, du quatrième, du septième et du neuvième ne présente aucune difâculté; le premier et le cinquième dépendent d'équations d'un degré supérieur au second si n> 3 ; quant aux quatre suivants, ils présentent une application du calcul des logarithmes.
559. Problème. Étant donnés r, 1, s, calculer a et n. De l'équation [6] on tire immédiatement
a=:lr'^s{r — 1);
substituant dans Téquation [5], on trouvera
/=j/r— «{r— l)tr"-S
d'où, en prenant les logarithmes des deux membres (281 et 283),
log/=logMr— 5(r— l)j + (n-.l)logr,
et, par suite,
, , log/— logeur— 5(r—l )}
' logr
3C0. Problème. Étant donnés a, 1 et s, trouver retn. • On tire de l'équation [6]
mettant celte valeur de r dans [5], il viendra
, fs—ay'
d'où, en prenant les logarithmes (281, 282 et 285),
log{=loga+(n— l){log(«— a)— log(5— OU
et partant
n— 1 I log^— lo^g
"^ log (s— a) — log («—/)*
SOI. Problèue. Étant donnés a, r, s, calculer 1 et n. L'équation [6] donne
Je substitue cette valeur de l dans Téquation [5] et je trouve successivement
ïog la+(r— 1)5{ — logr=:loga-}-(n— l)logr, log {a+(r— l)^j =loga+nlogr, log|fl-f (r — 1)^}— logg
