Problèue. £tan/ donnés a, r, I, trouver setn

L'équation [6] donne immédiatement la valeur de s. Quant à celle de n, on la tire de Téquation [5] en prenant les logarithmes des deux membres. On trouve ainsi

log/=loga+(n-l)logr, d'où n=== l + l5^j=l^.

5G3. M. PoiNSOTapubliéy dans le dixième volume du /oumaf de Mathématiques de M. Liouville, un Mémoire très-remarquable sur la théorie des nombres y et duquel nous allons extraire plusieurs propositions que cet habile géomètre a démontrées avec une simplicité qui permet de les faire entrer dans un cours d'arithmétique. Ces propositions formeront ainsi le complément de notre chapitre III.

Il résulte du principe du n"* 81 que si plusieurs nombres sont premiers avec un autre nombre N, leur produit est prmiier avec ce nombre N. La démonstration est la même que celle donnée au no 83.

564. Si N et P sont deux nombres premiers entre euXy les restes que Von trouvera, en divisant par N les produits obtenue en multipliant par P tov^ les nombres 1, a, b, c,..., (N — 1) in^férieurs et premiers à N, seront, dans un autre ordre^ ces marnes nombres 1, a, b, c,..., (N — 1).

D'abord, tous les produits P. 1, P.a, P. 6, P.c,..., P.(N— 1) seront premiers avec N (505}, et par conséquent tous les restes que Ton trouvera jouiront de la même propriété; car tout facteur commun au diviseur et au reste d*une division est aussi commun au diviseur et au dividende (démonstration du n'^Të). En second lieu, si deux restes étaient égaux, la différence des produits correspondants, tels que P.& etP.d, serait divisible parNi et cette différence P.d — P.6=P.(d— ft) est un de nos produits; ainsi les restes que l'on trouvera, étant premiers avec Ny différents, et en môme nombre que les quantités 1 , a, 6y 6,...9 (N — 1), seront, dans un certain ordre, ces mêmes quantités 1, a, 6, c,..., (N — 1).

568. Si n marqvs combien il y a de nombres inférieurs et premiers avec N, et que P soit un nombre premier avec N, P" — 1 est divisible par N.

Soient 1, a, &, c,...,(N— 1) lesn nombres inférieurs et premiers à N : multipliez tous ces nombres par P, vous obtiendrez n produits qui, divisés par N, donneront pour restes, dans un certain ordre, tous les nombres l,a,6,c,..., (N— 1), d'après ce

quiprécède(3C4); par conséquentle produit PM.a.6.c....(N — 1) desnombresP.l,P.a, P.6, P.c,..., P.(N — 1} est un multiple de N, augmenté du produit l . a.b.c. . . . (N — 1) de ces restes* (7 1 ).

* n est évident que si l'on considère nos deux premiers produits P.l et P.a, chacun d'eux peut être regardé comme un multiple de N augmenté du reste de la division de ce nombre par N ; de sorte qu*en multipliant ces derx produits entre eux, le résultat sera composé de quatre parties, dont trois seront des multiples de N, et dont la quatrième sera le produit des deux restes (démonstration du n" 71), c'est-à-dire qu'il sera un multiple de N augmenté de ce produit des deux restes. En multipliant ce produit par notre troisième produit P.&, on obtiendra de môme un multiple de N augmenté du produit des trois premiers restes, et ainsi de suite.

Donc la différence entre P'.l.a.&.c....(N — l)ell.a.6.(?,..(N— 1), c'est-à-dire (P* — l)Xl.a.6.c....(N — 1), est divisible parN; mais N est premier avec le second facteur l.a.ft.c... (N— 1); donc il doit diviser le premier P*" — 1 ; ce qu*il fallait démontrer.

866« 5» N est un nombre premier absolu^ auquel cas il est nécessairement premier avec P, n=N — 1, car tous les nombres qui sont inférieurs à N sont premiers avec lui; et on voit alors que P*^ — 1 est divisible par N. Donc, si ¥( est un ruombre premier qui ne divise pas P, P*"' — 1 est divisibkpar N. Tel est le fameux théorème de Fermât.

567. Le carré du produit de tous les nombres inférieurs et premiers à un nombre entier quelconque N, étant diminué de Vunitéf est toujours divisible par N.

Soient 1, afi^c^...y (N — 1) les n nombres inférieurs à N et premiers avec lui : si vous divisez leur produit successivement par chacun d'eux, vous obtiendrez n quotients différents entre eux et tous premiers avec N (36^; et si vous divisez chacun de ces quotients par N, vous retrouverez pour restes, dans un certain ordre, lesn nombres l,a,ft,(j,..., (N — 1). Car ces restes sont premiers avec N (démonstration du n"" 3Gtt), et de plus ils sont tous différents. En effet, s'il y en avait deux qui fussent égaux, la différence des quotients qui, divisés par N, auraient donné ces deux restes égaux, serait divisible par N, ce qui ne se peut; car, d'après leur formation, ces quotients ont (n^2) facteurs communs et deux facteurs inégaux, de sorte que leur différence est de la foi me l,c.d..,.(N— l)X(& — a); et si N, qui est premier avec le facteur l.c.d....(N— 1), divisait ce produit, il devrait diviser l'autre facteur 6— a, ce qui est impossible, puisque fr et a sont <N. Donc les n restes que Ton obtiendra seront les n nombres l,a,6,c,..., (N — 1).

Donc le produit de ces n quotients est un multiple de N augmenté du produit l.a.ô.c,... (N— 1), que, pour abréger, nous

désignerons par A ; donc la différence T- r* "j • • • k i — A >

c'est-à-dire -j— A ou A*~* — A, est un multiple de N ; donc le

produit A* — A* de cette différence par A en est aussi un. Or, en vertu du théorème démontré au n* 508, A* — 1 est pareillement un multiple de N ; donc la différence A' — 1 entre A*— A* et A* — 1 est divisible par N; ce qu'il fallait démontrer.

568. Comme A* — 1 est le produit de A + 1 par A — 1 , il s'ensuit que si N est un nombre premier, l'un de ces facteurs doit être divisible par N. M. Poinsot a montré, par des considérations qui ne sauraient trouver place ici, que c'est le premier qui jouit de cette propriété ; d'où cette conséquence : le produit de toiùs les nombres consécutifs 1, 2, 3, 4, 5,...., (N — 1), augmenté de funitéf est divisible par N, lorsque N est un nombre premier. C'est là l'énoncé d'un théorème dû à Wilson , et que Lagrange a démontré le premier.

560. Problème. Combien y a-t-il de nombres inférieurs à un nombre donné N et qui soient premiers avec lui?

Supposons le nombre N décomposé en ses facteurs premiers,

et soit ^ = a^b^cr Si de la suite naturelle des nombres

1, S, 3, 4, 5, ... jusqu'à N, on ôte tous les multiples de a, que dés nombres restants on ôte tous les multiples de 6, et ainsi de suite, il est clair qu'on aura ôté tous les nombres qui peuvent avoir avec N quelque commun diviseur. Ainsi les nombres restants, qui ne peuvent contenir aucun des facteurs simples de N, seront nécessairement premiers avec N. Il s'agit donc de trouver combien il doit rester successivement de ces nombres à mesure qu'on reti*anchèra de la suite

1, ia, ôf 4, ô,...., Si

tous les multiples de a, et du reste tous les multiples de 6, et du nouveau reste tous les multiples de ç, et ainsi de suite.

Or, si p est un nombre premier avec a et qui divise n, il est facile de voir que les termes de la progression par différence

•f ot • 2a . 3a . 4a • 5at.. . .na

que p divise, sont

«.p, 2«.p, 3a.Py ...y ^.a.py

de sorte que ces termes sont en nombre marqué par t- ; en

effet, le plus petit multiple de a et de p est a^ (95), et si deui termes de celte progression sont divisibles par p, leur différence doit rétre aussi, de sorte que celte difiërence ne peut pas ôlre moindre que «p.

Cela posé, on voit que la suite

étant une progression par différence, dont la raison est égale

au premier terme, le principe que nous venons d'établir pourra

s'y appliquer, et qu'en conséquence le nombre des multiples

N de a qu'elle renferme est -. On aura donc, pour le nombre N'

N des termes restants, quand on ôte les - multiples de a.

Actuellement de ces N' nombres il faut ôter les multiples

N' de b ; or, je dis qu'il y en a -r-. En effet, je puis considérer ces

N' termes comme composés de la suite des N premiers moins la suite des multiples de a qu'on a soustraits. Or, dans la pre-

mière suite, il y a r multiples de 6, de môme qu'il y a- multiples de a; et dans la seconde, qui est aussi une progression arithmétique ^ a. 2a. 3a. 4a,... Aa=N*, il y a pareillement -r multiples de b; donc, dans les N' termes qui restent, après la

♦ On a représenté, pour abréger, - par A, et on désignera -r ParB.

et

première opération, il se trouve — è=^^^^ = ~ • termes

divisibles par h ; donc on a, comme plus haut, en* appelant N" le nombre des termes qui restent après la suppression des multiples de &,

N.= N.NW..(,-i)=N.(-l).(.').

Maintenant, de ces nombres restants il faut ôler tous les

multiples de c; or je dis que dans ces N*' termes il y en a—

qui sont divisibles par c. Car je puis regarder ces N" termes

N' comme composés des N' précédents, moins Ics-r- multiples de

b qui y sont contenus. Mais de môme que Ton a démontré que,

N' dans la suitedcs N' nombres, il y en a ^ divisibles par &, de

N' même on prouvera qu'il y en a — qui sont des multiples

N' dec; d'un autre cMé, dans la suite des r'= B multiples de &, il y

en a - qui sont divisibles par c (car cette suite n*est autre chose

que les multiples de h pris dans N, moins les multiples de h pris

N dans les - multiples de a); donc, dans les N'^ termes, il y en a

= =-— divisibles parc; donc, en olant les mul-

tiples de c, on aura pour le nombre N* de ceux qui restent N..=N.-l'=N..(.-i)=N.(,l). (-■).(.-!).

d*après ce qui précède, et ainsi de suite ; donc

Ce théorème est dû à Eukr.

STO.Sil'OQ observe quel — - = -^, i— -=:p ^ etc., il

Tiendra, en remplaçant N par sa valeur a'b''tfd:..,

Or, n Von décompost N en facteurs quelconques P, (},... premiersentre eusr, le nov^e n, qui marque combien il y a de nombres inférieurs et premiers à N, est égal au produit de ceux qui Tnarquent combien ilya de nmnbres inférieurs et premiers à chacun des facteurs respectifs 9, Q..., de N. En effet, si, par exemple, P=fl'6« et Û=(f(C, il y a

a^*.(o— l).ô*-*.(6— 1) et c-^.Cc— l).d-».Cd— 1)

nombres inférieurs et premiers respeclivcmeat à P et Q ; or le produil de ces nombres est évidemment n.