Lorsque les fractions que l'on veut additionner so

* Ceci suppose que les fractions proposées sont réduites à leur plus sim] expression. Ainsi le plus petit dénominateur commun auquel on peut rédui les fractions f, j^etf est 12; car 1 = -^^, 1^ = JLet5 = i^.

jointes à des nombres entiers, on calcule la somme de ces fractions, on en extrait les unités qu'elle peut contenir (98), et on les retient pour les additionner avec les nombres entiers qui accompagnent les fractions proposées.

Ainsi :4A+2A+5A=ll{f=12J

iiO. La méthode que nous ayons donnée au n<* 108 pour réduire plusieurs fractions au même dénominateur nous a conduit à résoudre cette question : Convertir une fraction en fraction d'une espèce donnée. La solution de ce problème était fort simple, parce que le dénominateur que devait avoir la fraction demandée était un multiple de celui delà fraction proposée. Mais comment faire lorsqu'il n'en sera pas ainsi? Gomment transformer, par exemple, f en trente-deuxièmes? Pour

& X 32 -i^ cela, j'observe que | ==^-55 — = -^- Or ^ tombe entre 26

et 27 : donc -^, c'est-à-dire f , tombe entre H et §| ; donc, puisque ces deux fractions diffèrent de ^, chacune d'elles sera la valeur de la fraction | à moins de 3^.

Ainsi, pour convertir une fraction en fraction d'une espèce donnée^ U suffit de la multiplier par le dénominateur que doit avoir la fraction demandée^ et d'extraire les unités entières contenues dans le produit. Le nombre entier ainsi trouvé sera le numérateur de la fraction cherchée^ laquelle différera de la fraction proposée dCune quantité moindre que Fv/ne des parties de V unité dont elle se compose,

* il 1. Il suit de là et du principe du n» 87 que,;?owr qu'une fraction soit exactement réductible en fraction d'une espèce donnée^ il faut et il suffit que son numérateur contienne tous les facteurs premiers de son dénominateur qui ne se trouvent pas dans celui que doit avoir la fraction demandée. Ce dénominateur sera donc un multiple de celui de cette fraction, si elle est irréductible {^0).

ii2. Le problème que nous venons de résoudre fournit le moyen de trouver le quotient de la division de deu

moins d'une unité fractionnaire donnée; car, une fraction exprimant la division du numérateur par le dénominateur (94), il ne s*agit, pour obtenir ce quotient, que de convertir une fraction en fraction d'une espèce donnée. On verra ainsi que, pour avoir le quotient de 326 par 9 à moins de -j^, il suffit de réduire la fraction ^^ on quinzièmes, ce qui donne ^= 36 ^= 36 1 pour sa valeur à moins de ^.

115. Pour soustraire une fraction (Pune autre, prenez la différence de leurs numérateurs^ si elles ont le même dénominateur ^ et donnez à cette différence pour dénominateur celui même des fractions proposées,

Ainsi^ — ifir = A-

Si les fractions dont on demande la différence n'ont pas le même dénominateur, on les y réduit (107 et t08), ce qui ramène au cas précédent,

114. Lorsqu'il y a des entiers joints aux fractions que Von veut soustraire, on prend d'abord la différence des deux fractions^ puis celle des deux nombres entiers, et ensuite on ajoute ces deux différences.

Mais si la fraction à soustraire surpasse Vautre, on ajoute à celle-ci une unité; ce qui revient à augmenter son numérateur du dénominateur commun : la soustraction est alors possible, et comme, en opérant ainsi, on a augmenté le reste d'une unité, il faut, pour lui restituer sa valeur ^ ajouter cette unité au nombre entier à soustraire.

Soit proposé, par exemple, de soustraire 2 U de 6 ^ : je réduis d'abord les deux fractions ii et 3% au même dénominateur, ce qui donne respectivement |J et fj. Dans l'impossibilité de soustraire la première de ces deux fractions de la seconde, j'ajoute à celle-ci une unité qui vaut fg, ce qui fait ainsi |§-f |J = |^. J'effectue actuellement la soustraction, et il reste |^; mais comme j'ai augmenté le reste demandé d'une

uniléi je retiens celte unité pour l'ajouter au nombre entier à soustraire, et je dis : 1 et 2 font 3 ; Até de 6, îl reste 3 : de sorte que la différence des deux nombres proposés est de 3 unités

Soit encore proposé de soustraire 2 { de 4 unités. Gomme il n'y a point de fraction dans le nombre dont on doit soustraire, on y ajoute une unité, qui vaut g; § Atés de |, il reste | ; mais comme j'ai augmenté d'une unité le nombre dont on soustrait, j'ajouterai une unité au nombre entier à soustraire, et je dirai : 8 et 1 font 3; Até de 4, il reste 1. Le reste demandé est donc 1 1.