S IV. MULTIPLICATION DES FRACTIONS
115. Pour multiplier une fraction par un nombre entier^ multipliez son numérateur par ce nombre, en conservant le dénominateur (97, l*»); ou bien divisez son dénominateur par le nombre
■ entier j en conservant le numérateur (97, 3**).
La seconde méthode a sur la première l'avantage de donner un résultat plus simple; mais aussi la première est générale, tandis que la seconde n'est pas toujours applicable, car le dénominateur de la fraction multiplicande peut n'être pas divisible par le multiplicateur. On préférera donc celle-ci lorsqu'on pourra l'appliquer, et dans le cas contraire on aura recours à l'autre.
116. Pour multiplier deux fractions tune par l'autre, multipKez les numérateurs entre eux, et les dénominateurs aussi l'un par Fautre. Soit proposé, par exemple, de multiplier f par f . D'après la définition de la multiplication, le produit est composé avec le multiplicande de la même manière que le multiplicateur l'est avec l'unité (23); donc, puisqu'ici le multiplicateur est les } de l'unité, le produit devra être les | du multiplicande. Ainsi, multiplier f par |, c'est prendre les | de f . Si je connaissais le huitième de f , il n'y aurait qu'à multiplier ce huitième par 3, et le problème serait résolu. Mais prendre le huitième d'un nombre, c'est le diviser par 8 : donc le huitième
de f sera -gV (97, 4°). Par conséquent le produit demandé senj ^l-. Donc ^ X I = H» ce qu'il fallait démontrer.
117. On prouverait de la même manière que, pourmiM-l plier un nombre entier par une fraction^ il faut le mvitipM par le numérateur^ en conservant le dénominateur^ et qu'ainsi| 5X1 = ^=^ = 1}.
il8. Il suit de ces trois principes que Von peut ^ dans la mÀ tiplication des fractions^ intervertir tordre des fcuct&wrs mi altérer la valeur du produit. Car cela revient à intervertir de h même manière Tordre des facteurs dans les deux termes deU fraction-produit, ce qui n'altère pas la valeur de ces demi termes (37).
Ainsi les produits |.|.J et l.g.f sont égaux , car ilsk| sont l'un et l'autre à ^l.
Il suit de là que les principes n"" 58 et 59 sont égale-l ment vrais lorsque les quantités que l'on considère sont fnKlionnaires, car ils sont une conséquence immédiate du princifii du n"57.
110. Il pourra arriver que le multiplicande et le multipl cateur, ou seulement l'un d'eux, contiennent des nombres efrl tiers joints à des fractions. Alors on réduira chaque no entier et la fraction qui l'accompagne en une seule fraction, qui ramènera à un des cas que nous avons considérés pr< demment.
Pour réduire un nombre entier et la fraction qui Fcu^com en une seule fraction^ on multiplie ce nombre par le dénomi de la fraction, on ajoute le produit au numérateur, et Voa co, le dénominateur*
Soit, en effet, l'expression 4 f . J'observe qu'ici une vasi\ vaut f , et que par conséquent 4 unités valent 4 fois | ou ^i Donc 4 | = ^+f=H^^- Mais le numérateur a étéobteal en multipliant le nombre entier 4 par le dénominateur 5 etd ajoutant le produit au numérateur 3 : donc, pour réduire a nombre entier et la fraction qui l'accompagne en une seiik
FRACTIONS OP.DiNAlRES. 81
fraction» il faut multiplier ce nombre entier par le dénonnnateur, ajouter le produit au numérateur, et conserver le dénominateur.
ExnTttle, Multiplier 3 { par 5 ^. On trouvera :
120. Si Vun des facteurs était un nombre siuier et que Vautre fût composé d'un entier et d*une fraction , on ne réduirait pas celui-ci en une seule fraction : il serait plus simple de multiplier successivement ses deux parties par Vautre facteur j en comvun" çantpar la fraction, afin que, si le produit co7Ucnait des unités, on pût les extraire et les ajouter immédiatement au produit de la partie entière.
Exemple. Multiplier 4236 § par 24. Le produit de f par 24 est ijfi= 13 }= 13 i. Je retiens donc 13 unités, pour les ajouter au produit de 4236 par 2k , et je trouve ainsi que
4236 gX24= 101677 J.
121. Nous avons vu qu'une fraction exprime une partie ou la collection de plusieurs parties égales de l'unité : par conséquent| si nous concevons qu'une fraction soit partagée en plusieurs parties égales, une de ces parties ou la réurn'on de plusieurs d'entre elles sera une fraction d'une nouvelle espèce : nous rappellerons fraction de fraction.
On conçoit qu'il est possible de diviser de même ces nouvelles fractions en parties égales ; et en prenant une ou plusieurs de ces parties on formera une fraction de fraction de fraction, et ainsi de suite.
192. On peut toujours trouver une fraction ordinaire équivalente à une fraction de fraction. Il suffit pour cela de multiplier entre elles toutes les fractions dont il s*agit. Proposons-nous, en effet, de trouver une fraction ordinaire équivalente aux | des I de f . La première chose à faire pour obtenir la valeur de cette quantité, c'est de prendre les f de J, ce qui se fera en multipliant | par f (23). Ainsi les f de 5 sont égaux à § x J-.
Il ne reste plus qu*à prendre les } de ces f de f , ce qui sefB en les multipliant par |. Ainsi les ) des | de f sont égaux i
|x|xî=Htî("0)=l=è.
g V. DIVISION DES FRACTIONS.
123. On divise une fraction par un nombre entiôr de manières: P en multipliarU le dénominateur par le nombre et œnservant le numérateur (97, 4»);
2** En divisant le numérateur par le nombre entier^ et le dénominateur (97, 2«»).
Ce dernier procédé a sur le premier Tayantage de coi à un résultat' plus simple ; mais aussi il est moins général, il arrive très-souvent que le numérateur de la fraction dende n'est pas un multiple exact du diviseur. Ainsi on férera la seconde méthode toutes les fois qu'on pourra l'a] qucr; dans le cas contraire, on aura recours à la premi
124. Pour diviser une fraction par une flraaion, U faut plier la fraction dividende par la fraction diviseur renversée.
Soit proposé de diviser f par f . Le dividende est le p du quotient par le diviseur f . Or, multiplier le quotient par c'est en prendre les ^ (23) : donc le dividende { est les f quotient; par conséquent, en le divisant par ,^, on aura septième de ce quotient. Ce septième est donc ^ (87^ 4») : pour avoir le quotient, il suffira de multiplier ce septi par 7, ce qui donnera ^. Mais cette quantité est le p: de f par J (HO), et l est la fraction diviseur renversée : d pour diviser une fraction par une fraction, il faut molli la fraction dividende par ]a fraction diviseur renversée.
