U y a trois cas à considérer dans la division des noor

Ires décimaux : ou le diviseur est exprimé par Tunité suivie de plusieurs zéros, ou le diviseur est un nombre entier quelconque, ou enfin le diviseur est un nombre décimai. Examinons successivement ces trois cas.

!• Pour diviser wn nombre décimal par Vunitè suivie de plusieurs zéros , reculez la virgule dC autant de rangs vers la gauche qu^il y a de zéros à la suite de Vunité (134).

150. 2^ Pour diviser un nombre décimal par un nombre entier^ on fera la division sans s'occuper de la virgule et diaprés la règle du n* 49; seulementy quand on aura abaissé le chiffre des unités simples du dividende , on aura soin de placer une virgule à droite du chiffre correspondant du quotient. On conçoit, en effet, que les unités décimales étant assujetties à la même loi de composition que les unités entières, les raisonnements que nous avons faits au n* 49, quand le dividende était entier, s'appliqueront encore quand ce dividende sera décimal.

On pourrait encore dire pour justifier celte règle : Si Ton fait abstraction de la virgule dans le dividende, on le multipliera par Tunïté suivie d'autant de zéros qu'il renferme de chiffres décimaux : le quotient sera donc aussi multiplié par ce nombre, car pour qu'un produit soit multiplié par cent, par exemple, il faut nécessairement que, si l'un des facteurs ne change pas, l'autre soit multiplié par cent (59 et 118) ; on devra donc , pour lui rendre sa valeur, séparer sur sa droite, par une virgule, -autant de décimales qu'il y en avait dans le dividende.

Exemple. Diviser 2158^89 par 47. Le quotient est 45,93, et le reste est 0,18.

140. 3» Si le diviseur est un nombre décimal^ je supprime la virgule dans le diviseur y et Je l'avance dans le dividende d'autant de rangs sur la droite qu'il y a de décimales dans le diviseur ^ ce qui me ramène au cas précédent^ et cela sans altérer la valeur du quotient. Supposons, en effet, qu'il y ait deux décimales dans le diviseur : en supprimant la virgule dans ce nombre , nous Pavons multiplié par cent^ donc le quotient a été divisé par cent,

car si le dividende, qui est un produit, ne change pas et Tun de ses facteurs soit multiplié par cent, il faut n( ment que l'autre facteur soit divisé par cent (128). En ai çant ensuite la virgule de deux rangs sur la droite du divic on a multiplié ce nombre, et par conséquent le quotient, cent; mais c'est après avoir divisé le quotient par cent qu'ool multiplié par cent ; donc il n'a pas changé de valeur.

Exemples. !<" Diviser 215,889 par 4,7. Je supprime la dans le diviseur et je l'avance d'un rang sur la droite dai dende, ce qui me conduit à diviser 2158,89 par 47. Le est donc 45,93. Quant au reste, celui de la division de 211 par 47 est 0,18; mais en multipliant le dividende et le seur proposés par 10, on a multiplié le reste de leur diiiâ par 10; donc la vraie valeur de ce reste est ^4u^=O»018.

2» Diviser 215889 par 4,7. L'application de la règle coi à diviser 2158890 par 47, ce qui donne pour quotient 4! Le reste est 3,9.

141. Quand le diviseur est un nombre entier, U qi est exact à moins d*une unité de Vordre dont est le chiffre du dividende. Ainsi 45,93 exprime le quotient del division de 2158,89 par 47 à moins d'un cenlièoie (ex. n"" 159). En effet ce quotient est plus grand que 45^93 puis la division a donné un reste; d'un <iutre Côté, il est petit que 45,94 : car si l'on avait écrit un 4 au lieu d'un 3 quotient, k soustraction correspondante n'aurait pas pus'e fectuer. Donc le quotient demandé est compris entre 45,93i 45,94; et comme ces deux nombres diffèrent d*un centième,! s'ensuit que le quotient diffère de chacun d'eux de moins d*i centième.

142. Il suit de là que pour avoir le quotient de deux nomm à moins d^wne unité décimale dHun ordre donnée U faudra d'ohm faire en sorte que le diviseur soit entier, en appliquant la rM du n* 140; puis on écrira à la droite du dividende cnitant i\ zéros qu'il sera nécessaire pour que le dernier chi/fre de »

nombre soit de Vordre décimal dojit il s'agit ; ou ftten, on supprimeray sur la droite de ce dividende^ tous les chiffres qui représen^ tent des unités décimales d'un ordre inférieur à celui-là^ et Von effectuera ensuite la division (159).

l"Exemple. Calculer le quotient de 3215,47 par 42,7, à moins dfun millième. On supprimera d'abord la virgule dans le diviseur, et on l'avancera d*un rang dans le dividende, ce qui conduira à diviser 32154,7 par 427 ; et comme le dernier chiffre du dividende n'est que de l'ordre des dixièmes^ et qu'on veut des millièmes au quotient, on écrira deux zéros à sa droite, et il ne s'agira plus alors que de diviser 32154,700 par 427, ce qui donnera pour quotient 75,303, valeur exacte à moins d'un millième.

2« Exemple. Calculer le quotient de 32,1547 par 42,7 à moins d^un dixième. On ramènera d'abord celle division à celle de 321,547 par 427, puis cette dernière à celle de 321,5 par 427» ce qui donnera 0,7 pour le quotient demandé.

143. Les preuves de Faddition^ de la soustraction, de la multiplication et de la division des nombres décimaux, se font comme celles des mêmes opérations sur les nombres entiers.

Exemple. En divisant 215,889 par 4,7 on a trouvé (140) pour quotient 45,93, et pour reste 0,018 Comme en ajoutant 0,018 au produit de 45,93 par 4,7 on retrouve le dividende 215,889, on en conclut que l'opération a été bien faite.

S VI. ÉVALUATION D'UN PRODUIT OU D'UN QUOTIENT A MOINS D'UNE UNITÉ DÉCIMALE D'UN ORDRE DONNÉ. — MÉTHODE ABRÉGÉE POUR FAIRE LA MULTIPUCATION. — MÉTHODE DE LA DIVISION ORDONNÉE.

144. il arrive souvent que l'on a à multiplier ou à diviser Tune par l'autre deux quantités dont l'expression se compose d'un grand nombre de chiffres décimaux, et que cependant on n'a besoin de leur produit ou de leur quotient qu'à moins d'une

unité, OU d'un dixième, ou d'un centième, etc., de sorte qui surfirait d'obtenir ce produit ou ce quotient dans cette limite d'approximation. On y parvient au moyen des méthodes que nous allons exposer successivement.

145. Pour obtenir, à moins d'une unité décimale cTun ordn donnéy le produit de deux nombres donnés^ on écrit le muUiflir cande comme à f ordinaire ; puis on met le chiffre des tmitésà\ multiplicateur sous le chiffre du multiplicande qui représente àt\ unités cent fois plus petites que celle qui exprime le degré de Pcf-i proximation demandée ; on écrit ensuite les autres chiffres dumà\ tiplicateur dans leur ordre inverse^ c*est^dire les dizaines^ cenià-\ nés, etc., à droite du chiffre des unités, lesdixièmes^ les centièmes, ef?^ i à gauche de ce même chiffre.

On multiplie ensuite le multiplicande par chaque chiffre Al multiplicateur; on commence seulement chaque rntUtiplicaiim partielle au chiffre du multiplicande placé au dessus du chiflfl\ employé comme multiplicateur, en négligeant tous les chiffrai de droite. On écrit tous les produits partiels les uns au-dessous éal autres, de manière que les premiers chiffres à droite se «wropondent^ et on fait V addition. On sépare sur la droite de k\ somme deux décimales de plus qu'il n'y en a dans la fractiK] décimale qui marque l'approximation; on supprime les dM derniers chiffres à droite, et on augmente d*une unité le denàel chiffre conservé. Le résultat est le produit cherché,

146. Supposons, par exemple, que l'on demande le prodol de 43,5636278563 par 4,502038965, à moins d'un centième. Il est clair que si je puis calculer chacun des produits parlieb à moins de 1 millième, dans le cas même où tous ces produits seraient erronés précisément de 1 millième et tous dans le^ môme sens, l'erreur que je commettrai sera moindre que 10 millièmes ou qu'un centième, en supposant que le nombre de ces produits ne surpasse pas 10. Toute la difficulté consiste donc à calculer chacun des produits partiels à moins de 1 millième.

Je ferai d'abord observer que peu importe l'ordre dans lequel

FRACTIONS DËGIMALES. 95

on effectne les multiplications partielles du multiplicande par les différents chiffres du multiplicateur, pourvu que Ton dispose toujours les produits partiels les uns au-dessous des autres de manière que les unités de même ordre soient dans une même colonne. Ainsi on pourra renverser Tordre des chiffres du multiplicateur. Si de plus on écrit le multiplicateur ainsi renversé sous le multiplicande, de manière que le chiffre de ses unités soit sous les dix-millièmes du multiplicande, il résultera de cette disposition un avantage remarquable : c'est que le produit de chaque chiffre du multiplicande par le chiffre correspondant du multiplicateur sera de Tordredes dix-millièmes(remarquezavec soin que, dans le multiplicateur, les unités sont maintenant à droite de la virgule et les décimales à gauche); de sorte qu'il suffira de commencer la multiplication du multiplicande par chaque chiffre du multiplicateur au chiffre du multiplicande qui lui correspond, pour que le premier chiffre à droite de chaque produit partiel soit de Tordre des dix-millièmes. Or les produits ainsi obtenus pourront bien être erronés de plusieurs dix-millièmes, mais ils ne le seront pas d'un millième : en effet la partie négligée à droite du multiplicande dans chaque multtipîication partielle est moindre que 1 dix-millième; donc, dans le cas le plus défavorable, celui où le chiffre du multiplicateur serait un 9, le produit partiel correspondant serait fautif de moins de 9 dix-millièmes et par conséquent de moins d.e 1 millième. Donc la somme des produits partiels (supposés en nombre moindre que 10} ne sera pas fautive de 1 centième.