GONVEKSION DES FRACTIONS ORDINAIRES

On voit que le reste de la seconde division partielle estk numérateur même de la fraction proposée; et, comme w devra écrire à sa droite un zéro, le troisième dividende portid sera le même que le premier : nous retrouverons doncpov troisième quotient et pour troisième reste le premier quotiol et le premier reste, ce qui entraînera le retour du second M dende partiel, et par conséquent du second quotient etdi second reste, et ainsi de suite indéfiniment. On voie donc qoe les chiffres 4 et 5 reviendront périodiquement et à i'infin dans l'expression de la fraction décimale équivalente à k fraction tV; et , comme le premier chiffre de cette expression

est de Tordre des dixièmes, on aura -^=^0,45454545

Donc la fraction ^ n*est pas exactement réductible en déch-j maies.

185. Les fractions décimales telles que 0,45454545..., dm lesquelles les mêmes chiffres reviennent périodiquement et à Ptnfîni , se nomment fractions déciiiales périodiques. Dam l'exemple précédent, h période est 45.

Il arrive souvent que la période ne commence qu'après quelques chiffres irréguliers. Pour distinguer ces fractions de celles dont nous venons de parler, nous les appellerons fractions périodiques mixtes, par opposition aux autres, que nous nommerons fractions périodiques pures ou simples,

0^3454545.... est une fraction périodique mixte dans laquelle la période est encore 45, et dont la partie irrégulièrej est 3.

* li>G. Nous venons de voir que certaines fractions ordini pouvaient être converlics exactement en fractions décimales, tandis qu'il y en a d'autres qui ne sont pas susceptibles d'une pareille réduction. Nous allons examiner à quoi tient cette différence, et pour cela nous chercherons quelles sont les conditions NÉCESSAIRES €t SUFFISANTES pour qu'uHô fractUm ordinaire soU exactement réduclible en décimales.

Ijious avons vu (l^'S) que^ pour convertir une fraction ordi«

naire en décimales, il fallait écrire un certain nombre de zéros à h droite de son nuoriérateur et diviser ensuite le numérateur aiod préparé parle dénominateur : donc, pour qu*une fraction soit exactement réductible en décimales, il faut et il surGt que le produit de son numérateur par Tunité suivie d*un certain nombre de zéros soit exactement divisible parle dénominateur. Hais nous savons (87) que, pour qu'un nombre soit divisible par on antre, il est nécessaire qu'il renrerme tous les facteurs premiers de cet autre : or, en multipliant le numérateur par l'unité smvie de plusieurs zéros, nous n'avons introduit dans ce numérateur que les facteurs premiers 2 et 5 (8S), car l'unité suivie de plusieurs zéros, étant une puissance parfaite de 10 (42), n'a pa8 d'autres facteurs premiers que 2 et 5 : donc, pour que la division puisse réussir, U faut que le numérateur primitif renferme tous les facteurs premiers dii dénominateur autres que Set5. Je dis maintenant que cette condition est suffisante : car, ptûsçiQ'en écrivant on zéro à la droite du numérateur on le moltiplie par 10, pour chaque zéro qu'on écrira à sa droite on introduira dans ce numérateur un facteur 2 et un facteur 5 : donc on pourra y introduire tous les facteurs 2 et 5 du déno ndnateur, de sorte qu'alors le nouveau numérateur contiendra tous les facteurs premiers du dénominateur, et sera par consent divisible par ce dénominateur.

* 187. Concluons donc, !• que pour q:i*une fraction soit ri^ iuaible en décimakSf U faut et il suffit qus son numérateur contienne tous les facteurs premiers autres que 2etb qui se trouvent dans son dénominateur : d'où il suit que si la fraction proposée est ridtjcite à sa plus simple expression j on ne pourra la convertir exactement en décimales qu^autant que son dénominateur ne contiendra pas i autres facteurs premiers que 2 et 5, puisque ces outrée facteurs ne pourraient se trouver dans le numérateur. Alors rexpressUm décimale de la fraction proposée contiendra autant de M/free dédmaua quHl y a d^unités dans le plus haut exposant des facteurs 2 et b du dénominateur.

En effet, si Ton écrit à la droite du numérateur autant de