CONVERSION DES FRACTIONS DECIMALES EN FRACTIONS ORDINAIRES

188. Pour convertir une fraction décimale en fraction ordinaire, on prend pour numérateur la partie décimale, abstraction faite de la virgule, et pour dénominateur Vunité suivie d'autant de 'xim qu*il y a de chiffras décimaux.

En effet, en faisant abstraction de la virgule dans la fraction décimale proposée, on multiplie cette fraction par l'unité suivie fautant de zépos qu'il y a de chiffres décimaux dans cette fracfion : d'où il suit que, pour obtenir la valeur de celte fraction, 3 fiiut diviser le résultat par l'unité suivie de ce môme nombre de zéros.

On verra ainsi queO,2304=t^^=J^*.

iBO. On sent que cette méthode serait impraticable si la fraction proposée était périodique, puisque alors les deux termes de la fraction ordinaire équivalente devraient être composés

* L*applicatioii de cetie règle conduit à une nouvelle démonstration de celles données aux n*** 137^ 130 et 140. Veut-on, par exemple, diviser 215,889 par 4,7 : on observera que cela revient à diviser ^o^f^ par |^, ce q(bi donne 8;gggj^ ^ (12*), ou, en simplifiant, Vol^^? - Mais, pour effeetaer 4a division de 215889 par 100.47, on peut d'abord diviser le dividende Pftr 100, puis le quotient de cette division par 47 (52) : donc on devra en défiidtive diviMT 2158,89 par 47, c'est-à-dire appliquer la règle du n» 140.

114 CONVERSION DES FRAGTlOIfS DÉCIMALES

Donc, pour convertir une fraction périodique mixte m fnA Hon ordinaire^ il faut prendre pour numérateur la différmtU deux nombres entiers que fon obtient en portant la virgule sucai'l sivement à la droite et à la gauche de la première période^ etfm\ dénominateur un nombre composé éfautarU de 9 qu'U yaâtàèf\ fres dans la période, suivis d'autarU de zéros qu'il y a de cUfÊ] irréguliers.

Exemple. Réduire la fraction 0,09702702702. . en fraction ordinaire. En portant la virgule successiveroeolkl droite et à gauche de la première période, on trouve les doiB' bres entiers 9702 et 9 : donc la fraction proposée est égaie l{

»702-9 9fl9? 359

9^00 — 999UU — 37 uu •

161. Il suit de cette règle que te numérateur d^une fracSml ordinaire équivalente à une fraction périodique mixte ne f0i\ pas être terminé par un zéro : car, pour que cela fût, il faudra que le dernier chiffre de la période fût le même que ledeniiff des chiffres irréguliers; mais alors ce dernier chiffre serait bl premier de la période, de sorte que Ton n'aurait pas faitcoa-| mencer cette période là où elle commence réellement o. \^].^

*1G2. Il suit du n« 187 que, lorsque le dénonainatétùr ^ine fracQon irréductible renferme d'autres facteui*s premiers qœl et 5, cette fraction ne peut pas être convertie exactement CD décimales, et nous avons vu qu'alors elle donnait lieu à me fraction périodique : or on peut se demander si cette fractioi sera pure ou mixte.

Toute fraction irréductible dont le dénominateur ne renfèrm aucun des facteurs premiers 2 et b est équivalente à une fraeim périodique pure.

En eCTel, si la fraction décimale équivalente à la fraction proposée n'est pas une. fraction périodique pure, elle sera une frafr \ion périodique mixte, et en convertissant celle-ci en fraction ordinaire, le résultat devra être équivalent à la fraction génératrice : il faudra donc qu'en réduisant cette fraction résultante i sa plus simple expression, tous les facteurs 2 et 5 qui se troa-

dans son dénominateur (160) disparaissent, et pour cela

lut qu'il y ait autant de zéros à la droite du numérateur qu*à

le du dénominateur. Or on a vu (161) que le numérateur

le fraction ordinaire équivalente à une fraction périodique

ne peut pas être terminé même par un seul zéro : donc

l-cst pas possible qu'en réduisant en décimales une fraction

luctible dont le dénominateur ne renferme aucun des fac-

2 et 5, on puisse trouver une fraction périodique mixte ;

icon trouvera une fraction périodique pure.

* 165, Si le dénominateur d*une fraction irréductible renferme

r-tifw des facteurs premiers 2 et b y la fraction décimale

éoalente sera une fraction périodique mixte, dans laquelle il

autant de chiffres irréguliers qu'il y a d'unités dans le

haut exposant des facteurs 2 et b qui se trouvent dans son

iruUeur.

effet, si la fraction décimale équivalente à la fraction pro- D'est pas une fraction périodique mixte, elle sera une tioo périodique pure, et, en convertissant celle-ci en fracordinaire, le résultat devra être une fraction équivalente à ifraction génératrice. Or cela est impossible, puisque le délinateur de cette fraction résultante, étant exprimé par un in nombre de chiffres 9 (139), ne renfermera aucun des teurs 2 et 5 ; et par conséquent, en réduisant cette fraction à sa ûmple expression, on ne pourra pas retoml)er sur la fracgénératrice, dont le dénominateur est supposé contenir quelques-uns de ces facteurs. Donc la fraction décimale équivatthl» A la proposée doit être périodique mixte.

Gela posé, si on convertit cette fraction décimale en fraction ordinaire, on obtiendra une fraction dont le dénominateur sera léràiiné par autant de zéros qu'il y a de chiCTres dans la partie iu>ii périodique (160). Or, en la réduisant à sa plus simple expression, il restera nécessairement dans le dénominateur tous I^B facteurs 2 ou tous les facteurs 5 qui s'y trouvent, puisque te numérateur n'est pas divisible à la fois par 2 et par 5 (161), inais on retombera ainsi sur la fraclion géncralrice : donc le plus

116 CONIfERSlON DES FRACTIONS DËCIMALES

fiaut exposant des facteurs ^eth contenus dans le dénaminatemàl cette fraction est précisément égal au nombre des chiffres irrégulm\ de la fraction périodique mixte équivalente.

164. Si Ton applique la règle du n"* 189 à la fraction 0^9999.^1 on trouvera qu'elle est équivalente à f = i, résultat qui absurde au premier abord. Mais si Ton considère que

la fraction 0,9 difTère de l'unité de 0,1

etc.,

on concevra qu'en prenant dans l'expression de la fraction pè* riodique 0,999.... un nombre suffisant de chiffres, la fraction décimale que l'on obtiendra pourra différer de l'unité d'aussi peu que l'on voudra. L'unité est donc une limite dont la frac* tion décimale 0,999... différera d'autant moins qu'on la composera d'un plus grand nombre de chiffres, et qu'elle atteindra seulement quand le nombre de ses chiffres sera infini; alorsoa aura rigoureuse^ncnl 0,999....=: 1.

168. Pour approcher de la valeur d'un nombre décimal i moins d'une demi-unité d'un ordre décimal donnée il faut svsp^ primer tous les chiffres qui suivent celui de Cordre dont il s'agit en ayant soin de forcer runiié sur le dernier de ceux que Fan conserve lorsque le premier des chiffres que l'on néglige surpasse 5, on est un 5 suivi d autres chiffres.

Supposons, pour fixer les idées, que l'on demande la valeur d'un nombre décimal à moins d'tzn demi-centièine^ et considérons l'expression 0,235. Celte fraction diffère évidemment d'un demi-centième de chacun des deux nombres 0,23 et 0,24; donc en prenant chacun d'eux pour valeur delà fraction 0,235, on commettra sur cette fraction une errenr d'un demi^ccn* tième*

EN Fj\AGT10NS ORDINAIRES. 117

Si maintenant on considère un nombre décimal dont le troisième chiflre soit moindre que 5, par exemple 0,234678, ce nombre sera évidemment compris entre 0,23 et 0,235, et comme CCS deux-ci diffèrent d'un demi-centième, on en conclut qu'en prenant 0,23 pour valeur de la fraction 0,234678 on n*aura pas commis sur cette fraction une erreur d*un demicentième.

Supposons au contraire que le troisième chiffre du nombre proposé soit un 5 suivi d'autres chiffres, ou soit plus grand que 5 : considérons par exemple le nombre 0,23758423. Ce nombre sera évidemment compris entre 0,235 et 0,24; et comme ces deux nombres diffèrent d'un demi-^eruiètnef on voit que 0,24 est sa valeur à moins d'un demi- centième.