Nous avons prouvé que dans toute équidiflérence la

somme des extrêmes est égale à celle des moyens. Réciproquement, lorsque quatre nombres sont tels que la somme des extrêmes est égale à celle des moyens^ ces quatre nombre forment um équidifférence.

Il suffît pour le démontrer de faire voir que, si quatre nom' bres ne forment pas une équidifférence, la somme des extrêmes n*est pas égale à celle des moyens.

Considérons, en effet, quatre nombres 15, 5, 12 et 3, tels que le rapport des deux premiers ne soit pas égal à celui des deux derniers : si à chaque conséquent on ajoute la raison du premier rapport, le premier conséquent deviendra égal à son antécédent; mais il n'en sera pas de même du second, puisque les raisons des deux rapports sont supposées différentes. Donc, après cette addition, la somme des extrêmes ne sera pas égale à celle des moyens, car elles auront une partie commune et une partie différente.

Mais, en ajoutant la raison du premier rapport à chaque conséquent, on a augmenté la somme des extrêmes et celle des moyens chacune de cette raison : donc, puisque après cette augmentation ces deux sommes sont ipégales, elles l'étaient nécessairement auparavant ; donc, lorsque quatre nombres ne forment pas une équidifférence, la somme des extrêmes n'est pas égale à celle des moyens ; donc, lorsque quatre nombres sont tels que la somme des extrêmes est égale à la somme des moyens, ces quatre nombres forment une équidifférence.

248. Il suit de là qu'on pourra toujours faire subir aux termes d'une équidifférence tous les changements qui n'aUérerorU pas Tégalité entre la somme des extrêmes et celle des moyens : ainsi on pourra intervertir Vordre des extrêmes ou celui des moyens^ mettre les moyens à la place des extrêmes et réciproquement^ augmenter ou diminuer d'une même quantité un extrême et un moyen.

RAPPORTS ET PUOPORTjaNS. 189