on aura

En effet, si chaque conséquent était égal à son antécédcnf, le principe serait évident de lui-môme : car le produit des extrêmes et celui des moyens seraient composés des mêmes facteurs. Or, si Ton multiplie chaque conséquent par la raison, chacun d'eux deviendra égal à son antécédent (245) : ainsi on aura

et alors le produit des extrêmes sera égal à celui des moyens. Mais, en multipliant chaque conséquent par la raison, nous avons multiplié le produit des extrêmes et celui des moyens chacun parcelle raison (59) : donc, puisque après cette multiplication ces deux produits sont éganx, ils Tétaient nécessairement auparavant; donc, dans toute proportion, le produit des extrêmes est égal à celui des moyens.

Donc, si quatre nombres sont tels que le produit des extrêmes ne soit pas égal à celui des moyens, ces quatre nombres ne formeront pas une proportion^ sans quoi le produit des extrêmes serait égal à celui des moyens.

250. Il suit de ce principe que, si Von veut calculer Vun des extrêmes d'une proportion dont on connaît les trois autres termes, U suffira de diviser le produit des moyens par l'extrême connu.

En effet, si Ton divisait le produit des extrêmes par rextrêmc connu, on aurait évidemment l'autre; mais, comme le produit des extrêmes est égal à celui des moyens, en divisant le produit des moyens par l'extrême connu, on trouvera le même résultat.

Exemple: Calculer le quatrième terme de la proportion 15:5:: 12 :â?. On aura : a5=*T^=»4w

On verra de même que, pour calculer un des moyens^ il n'y a qu'à diviser U produiUde$ extrêmes pur le moyen connu.

251. Si la proportion est continue, le produit des extrêmes est égal au carré du terme moyen : donc ce terme est égala la racine carrée du produit des extrêmes; donc, pour prendrif une moyenne proportionnelle entre deux nombres, il faut extraire la racine carrée de leur produit. Ainsi, pour trouver une moyenne proportionnelle entre 4 et 9, nous* multiplierons 4 par 9, ce qui donnera 36; nous extrairons la racine carrée de 36, et le résultat 6 de cette opération sera la moyenne proportionnelle ^ demandée.

252. Si quatre nombres sont tels que le produit des deiuornoyens est égal au produit des deux extrême, ces quatre nombres forment une proportion.

Il suffit, pour démontrer ce principe, de faire voir que^ â quatre nombres ne forment pas une proportion, le produit des esh trêmes n'est pas égal à celui des moyens, Considérona doD& quatre nombres 1^, 5, 12 et 3, tels que le rapport de» deux premiers ne soit pas égal à celui des deux derniers. Si l'on mol' tiplie chaque conséquent par la raison du premier rapport, le premier conséquent deviendra égal à son antécédent ; mais il n'en sera pas de même du second,, puisque les raisons des deogt rapports sont supposées diûérentes' : done, après cette moltk plication, le produit des extrêmes ne sera pas égal à celui des moyens, car les deux produits auront un facteur commun et un facteur différent. Mais, en multipiinnt chaque conséquent par la raison du premier rapport,^ nous aurons multiplié' le prch^ duit des extpênaes etcdai des moyens chacun par cette raison : donc,^ puisque après cette multfpHcaliontcesdeux produits sént inégaux,^iis4'étaient nécessairement afcrpavavant ; donc, lorsqtié* quatre nombres ne forment pâs une' proportion, le pnodiitf d^' exirèmes n'est pas égal à celui- dss moyens-; donc, si qtmthy

nombres sont tels que le produit des extrêmes soit égala celui des moyens» ces quatrcs nombres formeront une proportion.

2S3. II suit de là qu'on peut faire subir aux termes ef tme proportion tous hs changements qui n*altèrent pas Vègalité entre le produit des extrêmes et celui des m^ens. Ainsi, on pciurra intervertir l'ordre des extrêmes et celui des moyens^ mettre les extrêmes à la place des moyens et réciproquement, multiplier ou diviser par un même nombre un extrême et un rnogen.

Ce principe permet de faire évanouir les (fénonrinateurs qui pourraient se trouver dans une proportion. Que Ton ait, par exemple, la proportion

on multipliera d'abord les antécédents par leur plus petit dénominateur commun 12, ce qui donnera