S "• CONSTRUCTION D'UNE TABLE DE LOGARITHMES

286. Une table de logarithmes est un tableau à deux colonnes verticales : dans la première se trouve la suite naturelle des nom^ bres 1, 2, 3, 4, etc,^ jusqu'à une certaine limite^ et à côtéj dans la féconde, leurs logarithmes^ c'est-à-dire les termes correspondants

d'une progression par difTérence commençant par zéro. Voyons comment on a dû s'y prendre pour construire une pa* reille table.

Parmi le nombre infini de progressions par quotient commençant par Tunité et de progressions par différence commençant par zéro, on a choisi les deux suivantes :

^ 1 : 10 : 100 : looo : etc., •f . 1 • 2 • 3 • etc.

Cela poséy si entre tous les termes de la première progression on insère le même nombre de moyens proportionnels, et qu'entre tous les termes de la progression par différence on insère autant de moyens différentiels, on formera deux nouvelles progressions (260 et 27tt), dont les termes jouiront des propriétés énoncées précédemment. Or, si le nombre des moyens insérés est très-considérable, on s'élèvera de 1 àlO, delOàlOO,. de 100 à 1000, etc., par degrés très-resserrés, et d'autant plus resserrés que le nombre de ces moyens sera plus grand. On conçoit même que si ce nombre était infini, les termes de la nouvelle progression géométrique présenteraient toutes les nuances de la grandeur, à partir de Tunité (553) : de sorte que tous les nombres plus grands que l'unité seraient compris danscette progression ; et comme on en peut dire autant des nombres moindres que 1 en considérant la progression ^-^l Toïï • Tijûôi c^c., on conclut que tout nombre a un logarithme*.

* Il suit de là qu'un nombre a une infinité de logarithmes, car on peut fairecorrespondre à la progression géométrique qui renferme tous les nombres une infinité de progressions arithmétiques commençant par zéro. Toutefois, le système que Ton considère est déterminé à Tinstant où Ton fixe le logarithme d'un nombre donné ; car on peut le regarder comme formé en partant de deux progressions par quotient et par différence qui auraient respectivement pour raison le nombre donné et son logarithme.

On ett convenu d'appeler basr d'un système de logarithmes le nombre qui a l unité pour logarithme; de sorte que ce système est défini par sa base, tik

lï"^ Cela posé, si les nombres

etc.,

ne se trouvent pas parmi les moyens proportionnels qu'on aura Insérés, du moins il y aura parmi ces moyens des nombres qui en différeront très-peu : de sorte qu'en prenanl pour logarithmes des nombres 2, 3, 4, etc., ceux des moyens qui en approcheront le plus, l'erreur que Ton commettra sera moindre q[ae la raison de la progression par différence ; et comme cette raison est d'autant plus petite que le nombre des moyens différentiels qu'on aura insérés sera plus grand (2G8), on voit qu'on pourra toujours déterminer de cette manière les logarithmes des nombres 2, 3, 4, etc., avec tel degré d'approximation qu*on ▼ondra. Cela fait, on écrira dans une colonne verticale successivement tous -les nombres entiers 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc., jusqu'à la limite convenue ; puis, dans une autre colonne verticale, cl à côté, les logarithmes correspondants qu'on aura trouvés, et la table de logarithmes sera construite.

Voyons maintenant comment on pourra effectuer l'insertion des moyens proportionnels et différentiels.

L'insertion des moyens différentiels n'offre aucune difficulté; car, pour trouver la raison de la progression qu'ils doivent former, il suffit de diviser la raison de la progression donnée par -le nombre de ces moyens plus un (268). Mais il n'en est pas ainsi du calcul des moyens proportionnels : nous avons vu, en effet, que pour trouver la raison de la progression dont ils feront partie, il faut extraire de la raison de la progression donnée

hott ùik s\jsihfM qu^ n(m$ c(msid4r(yM ici est 10. Le système de logarithmes dont la base est 7 serait domié par les deux progressions :

' -H-l:?: 49:343, etc., f . 1 . 2 . 3, etc.

une rncinc d'un degré marqué parle nombre des moyens à ^ sérer plus \m (274), et nous ne savons eitraîre que des rai nos dont l'indice n'a pas d'autres facteurs premiers que 2et ij Comme cet indice est arbitraire, nous éluderons la difficull^ en insérant un nombre de moyens qui soit une puissance paj fhite de devx^ diminuée d'une unité; de sorte que nous n'ai rons ainsi que des racines carrées à extraire (214). Seulemei. L )J faudra avoir soin d'extraire la première racine avec un Crût haut degré d'approximation, puisque la racine carrée d'iri nombre décimal contient deux fois moins de décimales que ci nombre.

Supposons, par exemple,.qu'il s'agisse de calculer une ta bU de logariilimcs, de manière que chacun d'eux soit exact | moins d'un millième. .

Il suit de la règle du n» 2GB que, la raison de la progressîot pnr JifTércncc élant l'imité, le nombre des moyens à insérei plus un, devra êlre mille ou plus grand que mille; car alors li raison de la progression que formeront les moyens différentiel sera un millième ou plus petite qu'un millième. On élèvei donc 2 à toutes les puissances successives à partir de la seconde^ jusqu'à ce qu'on soit arrivé à un nombre au moins égal à lOOOj On trouvera ainsi que la neuvième puissance de 2 est 512, et que la dixième est 1024 : par conséquent, 1024 sera le degré de la racine qu'il faudra extraire de la raison de la progression par quotient; et conséqucmmcnt 1024 — 1, c'est-à-dire 1023, sera' le nombre des moyens à insérer. En insérant donc 1023 moyens' proportionnels entre tous les termes de la progression par que- , tient, et pareil nombre entre tous les termes de la progression \ par différence; écrivant ensuite, dans une colonne verticale, la . suite naturelle des nombres 1,2, 3,4, etc., et dans une seconde! colonne verticale, et à côté, les logarithmes de ceux des moyens ! proportionnels qui approchent le plus de ces nombres respec- ' tifs, en s'arrètant toutefois dans chacun au chiffre des millièmes, \ on aura construit la table de logarithmes demandée.