Si Ton voulait calculer seulement le loffarithme d'un
jHiuc cmre «},ic:i ci lu, son lo^anuime csi compris cm ^. fel 1, de sorte que 0,5 est sa valeur à moins de 0,5 près.( '^r^udra ensuite une moyenne géométrique 5,623 entre 3,1
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LOGAUITIIMES. 217
libre déterminé, on pourrait y parvenir bien plus simplcll de la manière suivante :
ipposons, pour fixer les idées, que Ton demande le loga-
16 de 7 à moins d'un cenliôme. Ce nombre élant compris
1 et 10, son logarithme se trouvera entre et l (îi8G),
irte qu'en prenant zéro pour sa valeur, on commettra une
ir moindre qu'une unité. Pour en approcher davantage, rtierchera une moyenne proportionnelle entre 1 et 10, et moyenne différentielle entre et l (25i et 24G). La |)re- •e est 3,162, et la seconde est 0,5; d'où il suit que, comme
ibe entre 3, 162 et 10, son logarithme est compris entre
On
I, et une moyenne arithmétique 0,75 entre 0,5 et 1. Comme
compris entre 5,623 et 10, son logarithme tombera entre
et 1, et 0,75 sera ainsi sa valeur à moins de 0,25. On coniera ainsi jusqu'à ce que Ton ait trouvé deux moyens prolionnels, l'un plus grand, l'autre plus petit que 7, et tels
les deux moyens ditîércntiels correspondants dilTèrent de Ins de 0,01. Alors, en rejetant les décimales ti'un ordre inïur aux centièmes, on aura résolu la question :
7,499 moyenne proportionnelle entre 5,623 et 10.
0,875 différentielle........ 0,75... 1.
6,494......... proportionnelle 5,623.. 7,49i5.
0,812 différentielle 0,75... 0,875.
ii3 6,978 proportionnelle 6,49(i.. 7,499.
0,843 :.... différentielle 0,812.. 0,875.
rt^jj 7,234 proportionnelle 6,:-78.. 7,499
" 0,859 différentielle 0,843.. 0,875.
7,105 proportionnelle 6,978.. 7,234.
0,851 différentielle 0,843.. 0,859.
voit parla que? tombe entre les deux moyens géométriques 78 et 7,105, etqu'ainsi son logarithme est compris entre les J^^x moyens arithmétiques correspondants 0,843 et 0,851; et imc ces deux derniers moyens diffèrent de moins d'uncen-
tième, en prenant Ton d'eux pour le logarithme de 7, on résoudra le problème.
Remarquons que pour être s6r du chiffre des eerUièmes, on ne devra s'arrêter que quand on aura obtenu deux moyens arithmétiques dont les deux premières décimales seront les mimes. Ainsi, dans notre exemple, il faudrait prendre encore une moyenne proportionnelle entre 6,978 et 7,105, laquelle est 7,041, et une moyenne différentielle entre 0,843 et 0,851, laquelle est 0,847; donc les deux premières décimales du logarithme de 7 forment 0,84.
Si l'on calcule Je cette manière les logarithmes de tous les nombres premiers moindres que 10 000, il sera facile ensuite d'obtenir les logarithmes de tous les autres nombres entiers inférieurs à cette limite : car il suffira pour cela d'additionner les logarithmes des facteurs premiers de ces nombres (281), et alors la table de logarithmes sera construite.
Mais si les logarithmes des nombres premiers n'étaient calculés qu'à moins d'un centième, ceux des nombres composés pourraient être erronés de plus d'un centième : avec quelle approximation faudrait-dl donc déterminer les logarithmes des nombres premiers ? J'observe que la puissance de 2, qui est immédiatement supérieure à 10 000, est la quatorzième, de sorte qu'un nombre moindre que 10 000 renferme au plus 13 facteurs; donc, pour que son logarithme ne soit pas erroné d'un centième, il suffira que ceux de ses facteurs premiers ne le soient pas de /g de centième, c'est-à-dire d'un demi-millième.
