Il résulte du choix des deux progressions

« 1 : 10 : 100 : looo : etc.,

•f . 1 . 2 . 3 . etc.,

que, parmi les nombres entiers ^ les nombres 1, 10, 100, 1000, etc., c'est-à-dire les seules puissances de 10, ont pour logarithmes des nombres entiers^ et que ces logarithmes se corn-

LOGARITIJMES. 219

posent (Tautanî (Tunitês quHl y a de zéros dans les nombres auxquels ils appartiennent.

Si, de plus, on observe que tout nombre est compris entre Tunilé suivie d'autant de zéros qu'il a de chiffres moins un et Tunîté suivie d*aulant de zéros qu'il a de chiffres, on verra que son logarithme tombe entre deux nombres entiers consécutifs, dont le plus petit indique combien le nombre proposé contient de chiffres moins un. Ainsi la caractéristique, c'est-à-dire la partie entière du logarithme d'un nombre entier quelconque^ renftrms autant d'unités qu'il y a de chiffres moins un dans ce nombre. Nous pourrons, d*après cela, déterminer, à l'inspection d'un nombre, quelle sera la caractéristique de son logarithme; et réciproquement, à l'inspection du logarithme d'un nombre, dire de combien de chitîres entiers ce nombre est composé. C'est pour cela que la partie entière du logarithme d*un nombre a été appelée caractéristiquCy et que dans les tables de logarithmes on peut se dispenser d'écrire la caractéristique.

289. Un principe fondamental dans l'usage des tables de logarithmes, c'est que, quand deux nombres plus grands que Vunitè sont composés des mêmes chiures écrits dans le même ordrCy et qu'ils ne diffèrent ainsi que par la position de la virguUy leurs logarithmes ont la même partie décimale et ne diffèrent que par la caractéristique.

Eu effet, supposons, pour fixer les idées, que le plus grand des deux nombres renferme trois chiffres entiers de plus que l'autre; ce plus grand nombre sera égal au plus petit multiplié par IGOO : par conséquent, son logarithme est égal à celui de ce plus petit augmenté de celui de 1000, c'est-à-dire de 3 unités. Donc la partie décimale des logarithmes des deux nombres proposés est la même, et la différence de leurs caractéristiques contient autant d'unités qu'il y a de chiffres entiers de plus dans l'un que dans l'autre.

200. Il faut savoir résoudre les deux problèmes suivants pour pouvoir se servir des tables de logarithmes : l"" Unnombre

étant donnée trouver son logarithme; 2* étant donné le logarithme d'un nombre, trouver ce nombre.

Occupons-nous d'abord de résoudre le premier problème, cl supposons que nous ayons une table qui, comme celle de Lalande^ renferme les logarithmes des dix mille premiers nombres entiers, chacun à moins d'un demi-cenl-millième. Si le nombre proposé est moindre que 10 000, on le cherchera dans la lable, et on trouvera la partie décimale de son logarithme à côté. Ainsi la partie décimale du logarithme de 9485 est 97704, et comme d'ailleurs la caractéristique est 3, puisque ce nombre est' composé de quatre chiffres (288), il s'ensuit que log 9485 = 3,97704.

Supposons maintenant que le nombre proposé excède la limite des tables, c'est-à-dire qu'il soit plus grand que 10 000, et prenons, pour flxer les idées, le nombre 721367. Nous voyons d'abord que la caractéristique est 5 : quant à la partie décimale du logarithme, elle est la même que celle du logarithme du nombre 7213,67, formé en séparant par une virgule les quatre premiers chiffres à gauche du nombre proposé. Tâchons donc dé déterminer celle-ci. Le nombre 7213 a pour partie décimale de son logarithme 85812; de sorte qu'il s'agit de trouver de combien cette partie décimale doit augmenter lorsqu'on augmente le nombre correspondant de 0,67. Or on démontre dans l'algèbre que les différences des nombres sont à moins d'un cent-millième près proportionnelles à celles de leurs logarithmes^ lorsque les différences des nombres ne surpassent pas Vunilè et que ces nombres sont plus grands que 1000; mais nous avons ici trois nombres : 7213, 7213,67 et 7214, qui se trouvent dans le cas dont il s'agit; ainsi nous pourrons leur appliquer le principe que nous venons d'énoncer, et poser la proportion suivante :

1 (différence des deux nombres extrêmes) : 0,67 {différence des deux premiers nombres) :: 6 cent-millièmes {différence des Inga^ rithmes des deux nombres extrêmes) : x {différence des logarithmes ées deux premiers).

La valeur de x tirée de cette proportion exprimera donc de

combien il faut augmenter le logarilhme de 7213 pour avoir celui de 7213,67.

On en tire a?= 6X0,67=4,02 = 4 cent-millièmes, en négligeant les décimales du produit (on forcerait l'unité s'il y avait lieu).

Le logarithme de 7213,67 a donc pour partie décimale 85812 + 4= 85816 cent-millièmes: doncenfinlog 721367 = 5,85816.

Remarquons que le calcul qui a fourni la valeur de x revient à multiplier la différence tabulaire 6 cent-millièmes par la fraction décimale qui reste sur la droite du nombre proposé quand on a séparé les quatre premiers chiffres à gauche par une virgule : ainsi on pourra calculer la valeur de x sans poser de proportion.

*291. Nous avons dit qu'on démontre dans l'algèbre que les diflférences des nombres sont, à moins d'un cent-millième, proportionnelles à celles de leurs logarithmes, quand les différences des nombres ne surpassent pas l'unité et que ces nombres sont plus grands que 1000; mais on peut facilement concevoir la vérité de ce principe par les considérations suivantes.

En effet, les différences des logarithmes des nombres 1-, 10, 100,1000, etc., sont exactement égales à l'unité : or, de 1 à 10, cette différence 1 est répartie entre 9 nombres ; de 10 à 100, elle l'est entre 90 nombres ; de 100 à 1000, entre 900 ; et enfin de 1000 à 10000, entre 9000 ; de sorte que la différence des logarithmes de deux nombres consécutifs est d*autant plus petite que ces nombres sont plus grands. On conçoit, d'après cela, qu'il doit arriver un point à partir duquel les différences des différences entre les logarithmes de plusieurs nombres consécutifs seront moindres qu'un cent-millième, et seront par conséquent constantes, puisque nous supposons qu'on a négligé les unités décimales de l'ordreinférieur aux cent-millièmes. C'est ce qu'on peut vérifier en consultant la colonne intitulée différence, dans la partie de la table qui s'étend de 1000 à 10 000. Si donc on considère trois nombres dont les deux

222 LOGAniTHHES.

exlrémes ne diffèrent que d'une unité, on pourra concevoir que la différence des logarilhmes de ces deux extrêmes soit répartie proportionnellement sur les logarithmes des nombres intermédiaires : par conséquent, les différences de nos trois nombres seront, à moins d*un cent-millième, proportionnelles aux différences de leurs logarithmes.

292. Proposons-nous maintenant de trouver le logarithme d'un nombre décimal, de 72,1367 par exemple. La caractéristique est l ; quand à la partie décimale, nous séparerons, pour la déterminer, quatre chiffres sur la gauche du nombre proposé, ce qui nous ramènera à chercher la partie décimale du logarithme de 7213,67, et nous venons de résoudre celte question tout à l'heure (200) : donc le logarithme demandé sera 1,85816.

Ainsi, pour trouver le logarithme d'un nombre décimal, on déplace la virgule de manière à séparer quatre chiffres sur la gauclie de ce nombre j ce qui ramène au cas du numéro précédent; quant à la caractéristique, on la détermine à Tinspcction seule de la partie entière du nombre proposé.

205. Svppoàons actuellement que Von veuille trouver le logarithme d*une fraction décimale, et prenons pour exemple la fraction 0,00721367. Si Ton porte la virgule à droite du premier chiffre tignificatif, et qu'on cherche le logarithme du nombre résultant 7>213ô7, on trouvera 0,85816. Or, en avançant la virgule de 3 rangs, nous avons multiplié le nombre proposé par l'unité suivie de 3 zéros, et par conséquent nous avons augmenté son logarithme de 3 unités, c'est-à-dire d'autant d^unités qu'il est marqué par h rang du premier chiffre décimal significatif, il faut donc le diminuer d'autant. Mais comme la caractéristique est zéro, nous ne. pourrons qu'indiquer la soustraction de ces 3 unités, et nous le ferons en plaçant le signe — au-dessus de 3, pour marquer que ce signe ne porte que sur 3 et non sur la partie décimale ; de sorte que le logarithme demandé sera 3,85816, c'est-à-dire qu'il sera composé de moins 3 unités, plus la fraction décimale 0;858I6.

On Toit donc que la caracUristi4jue du logarithme d'une frac- Aon décimale se compose d^autant t unités négatives quHl est marqué par le rang du premier chiffre décimal significatif.

804. Proposons-nous actuellement de trouver le logarithme d'une Eraction ordinaire, par exemple, de t^V^. Gomme une fraction exprime la division de son numérateur par son dénominateur, nous trouverons le logarithme de cette fraction en retranchant le logarithme du dénominateur de celui du numérateur, ce qui nous donnera le calcul suivant :

log 215 = 2,33244 log 721367 = 5.85816

log 7^^3^ = 4,47428

Ainsi le logarithme demandé est 4,47428, c'est-à-dire qu*il se compose de moins 4 unités, plus la fraction décimale 0,47428. Telle est la manière la plus commode d'employer les logarithmes des fractions dans le calcul; cependant on peut encore obtenir ces logarithmes en retranchant le logarithme du numérateur de celui du dénominateur ; mais comme la soustraction devrait être effectuée dans un ordre inverse, on affecte le reste du signe m{>insj de sorte que le logarithme de la fraction est entièrement négatif^. Calculons ainsi le logarithme de la fraction précédente :

log 721367= 5,85816 log 215= 2,33244

log jm^-î =-3,52572

20tt. Lorsqu'on veut appliquer le calcul logarithmirfue à

*0n peut encore observer que la fraction fê'^eJy P" s^^Qn^ple» csi «videmment égale à 1 : ^^^f^ (1 SO), et qu'ainsi son logarithme est égal à log 1-log '^i^ (2»2)i c'cst-èi-direà— log2^^^, puisque log 1=0.

Texlraction des racines des fractions, il arrive souvent que la caraclëristiquc négative du logarithme de cette fraction n*est pas exactement divisible par l'indice de la racine à extraire. On ajoute alors à cette caracléristique autant d'unités qu'il est nécessaire pour rendre la division possible, mais on retient le même nombre d'unités pour les ajouter à la partie décimale. De cette manière, la difficulté est éludée, et le logaritlime n'a pas été altéré puisqu'on a ajouté le môme nombre d'unités à la partie positive et à la partie négative de ce logarithme. Ainsi, si nous voulons extraire la racine cubique de la fraction 7^77, il faudra d'abord chercher son logarithme, et l'on trouvera 4,47428, qu'on doit diviser par 3; pour cela, on ajoute 2 unités négatives à la caracléristique 4, ce qui fait 6; on divise— 6 par 3 et on a pour quotient — 2; maintenant on ajoute à la fraction décimale 2 unités positives qui valent 20 dixièmes, et l'on trouve ainsi que

logv/;??;^7 = 2,82476.

206. Cherchons maintenant à résoudre le second des deux problèmes que nous avons énoncés au n"" 290, c'est-à-dire proposons-nous de revenir d'im logarithme au nombre auquel U correspond, et prenons pour exemple le logarithme 2,56526. Puisque la caractéristique ne fait qu'indiquer le nombre des chiffres entiers du nombre correspondant au logarithme donné, nous ne nous en occuperons pas ; seulement, lorsque nous aurons trouvé les chiffres qui entrent dans l'expression de ce nombre, nous en séparerons sur la gauche autant qu'il y a d'unités plus une dans la caractéristique, et le problème sera résolu.

Cherchons donc la partie décimale 56526 dans nos tables. Si nous considérons la première série, qui s*étend de 1 à 10, nous voyons que cette partie décimale tombe entre les logarithmes de 3 et de 4 ; et comme le nombre demandé doit avoir trois chiffres entiers, il s'ensuit qu'il est compris entre 300 et 400, et que par conséquent la première série des tables ne donne ce nombre qu'à moins d'une centaine près.

En cherchant 56526 dans la seconde série, qui s'étend de 10 èi 100, on voit que le nombre demandé tombe entre 36 dizaines ei 37 dizaines, et qu'ainsi cette seconde série ne donne ce nombre qu'à moins d'unq dizaine près.

En cherchant 56526 dans la troisième série, c'est-à-dire de 100 à 1 000, on voit que le nombre demandé est compris entre 367 et 368, et qu'en conséquence celte troisième série ne donne ce nombre qu'à moins d'une unité près.

Enfln, si nous cherchons 56526 dans la quatrième série, c'est-à-dire de 1000 à 10 000, nous trouverons que cette partie décimale correspond exactement k 3675, et que par conséquent le nombre demandé est 367,5.

Ainsi la considération de la quatrième série nous a donné exactement le nombre demandé; mais cela n'arrivera qu'autant que le logarithme donné se trouvera dans la table. Cependant il y aura toujours de l'avantage à chercher le logarithme dans la quatrième série : car nous trouverons ainsi les quatre premiers chiffres à gauche du nombre demandé, tandis que par les autres séries nous n'en trouverions qu'un, deux ou trois.

287. Soit encore proposé de trouver le nombre correspondant au logarithme 5,85816. Nous chercherons la partie décimale 85816 dans la quatrième série, c'est-à-dire entre les logarithmes de 1000 et de 10 000, et nous verrons qu'elle tombe entre les logarithmes des nombres 7213 et 7214, et qu'elle surpasse le logarithme du premier de 4 cent-millièmes. Nous obtiendrons donc le nombre demandé si nous pouvons calculer la différence qui existe entre 7213 et le nombre dont le logarithniie est 3,85016 (289). Or, si nous appelons x cette différence, les trois nombres 7213, 7213 -|-a? et 7214 sont plus grands que lOOO, et la différence des deux extrêmes ne surpasse pas l'unilé; nous pourrons donc appliquer le principe que les différences des nombres sont proportionnelles aux différences de leurs loyarithmesy et établir la proportion :

1 (di/férence des deux nombres extrêmes) : x {différence des

deux premiers) :; 6 cent-millièmes {différence des logarithmes dei deux nombres extrêmes) : 4 cent^millièmes {différence des logarithmes des deux premiers nombres).

On tire de celte proportion a? =J= 0,7 (en forçant l'unité) ; d'où l'on voit que, pour avoir la différence entre 7213 et le nom' bre correspondant au logarithme 3,85816, il faut diviser la différence des logarithmes de ces deux nombres par la différence tabulaire quicorrespond au logarithme donné.

Ainsi le nombre qui a pour logarithme 3,85816 est 7213,7; et par conséquent le nombre demandé, devant être composé de six chiffres entiers, sera 721370. Telle est sa valeur, à moins d'une dizaine : car la différence x a été calculée seulement à moins d'un dixième, et nous l'avons multipliée par 100. Nous avons vu en effet, au n*" 200, que 5,85816 était le logarithme de 721367, de sorte que l'erreur est de 3 unités, et par conséquent moindre qu'une dizaine.

208. Si la caractéristique du logarithme est négative, on agira comme dans l'exemple précédent, c'est-à-dire qu'on cherchera les chiffres qui composent tous les nombres coT' respondant à la partie décimale du logarithme, et l'on pla^ cera ensuite la virgule de manière que le premier chiffre significatif décimal soit de Tordre marqué par la caractérisa tique.

Exemple. Quel est le nombre qui a pour logarithme 2,82476? La partie décimale répond à tous les nombres dont les cinq premiers chiffres sont 66797 ; mais la caractéristique étant Y, le premier chiffre significatif doit être du second ordre décimal (285), c'est-à-dire de l'ordre des centièmes, de sorte que la fraction décimale correspondanf au logarithme donné est 0,066797, à moins d'un millionième.

En effet, en ajoutant deux unités au logarithme donné (autant qu'il y en a dans la caractéristique "2), il devient 0,82476, et le nombre correspondant este, 6797; mais,enajoutantdeuxunités à la caractéristique, on a muUipiiéle nombre correspondant par l'unité suivie de deux zéros : donc il faut reculer la virgule de

âeux rangs vers la gauche, ce qui donne bien 0,066797. Telle tst donc la racine cubique de la fraction 7^2^ (295).

899. Si le logarithme est entièrement négatif, 07i cherclie le fMmbre correspondant à ce logarithme pris positivement^ et Von fstU de ce nombre le dénominateur d'une fraction dont Vwnitè est k numérateur, ce qui donne la fraction ordinaire correspondant ou logarithme négatif proposé,

JSn effet, le produit de deux termes situés à égale distance de Vunitéj dans la progression géométrique, est évidemment égal à une unité : donc si un certain nombre, 15 \ par exemple, se trouve à une certaine distance de 1 dans la partie ascendante

de cette progression, le nombre tt^ occupera le même rang

dans la partie descendante ; donc les logarithmes sont égaux

cl de signes contraires, c'est-à-dire que log yrï^ — loff l^î-

Donc enfin un logarithme négatif appartient à une fraction qui a pour numérateur l'unité, et pour dénominateur le nombre correspondant au logarithme donné, abstraction £iite du signe moim.

Exemple. Quel est le nombre dont le logarithme est — ,352572? Je fais abstraction du signe — ,el je cherche le nombre correspondant au logarithme 3,52572. Ce nombre est 3355,2 ; par conséquent le nombre correspondant au logarithme— 3,52572 est 27^, ou bien g^^ = îïïttïï» ^^ multipliant les deux termes de cette fraction par 10.

500. Si Von voulait obtenir en décimales la valeur de la fraction qui correspond à un logarithme négatif donné, on ajouterait à ce logarithme autant d'unités plus une quil y en a dans la caractéristique; on chercherait le nombre correspondant au loga^^ riûime résultant, et l'on reculerait la virgule d'autant de rangs vers la gauche qu'on aurait ajouté d unités au logarithme donné.

Reprenons, en e£fet,le logarithme— 3,52572; j'yajoute 4 unités, ce qui fait 4 —3,52572 = 0,47428. Le nombre correspon-

danlà ce logarithme est 2,9804. Hais en ajoutant quatre unités au logarithme proposé, nous avons multiplié le nombre correspondant par 10000, de sorte qu'il faudra diviser le nom- /jre trouvé par 10000, ce qui se fera en reculant la virgule de quatre rangs vers la gauche. Ainsi la fraction décimale équivalente au logarithme négatif proposé est 0,00029804.

Siy au contraire^ on voulait obtenir en fraction ordinaire la valeur de la fraction correspondant à un logarithme dont la ca^ ractéristique est négative^ on commencerait par prendre la différence entre la caractéristique^ abstraction faite de son signe^ et la partie décimale; on affecterait cette différence du signe — , et on chercherait enfin la fraction ordinaire qui correspond à ce logarithme entièrement négatif {2dd),

Soit, par exemple, le logarithme 2^82476. En vertu de la règle posée dans la note du n* 281, page 212, ce logarithme est égal à — (2— 0,82476) = — 1,17524= log ttWi • ainsi la fraction ordinaire qui correspond au logarithme proposé

pet X«OXL

501. Il arrive souvent que Ton a à retrancher un logarithme d'un autre : les calculateurs ont trouvé le moyen de changer cette soustraction en une addition. Supposons, en effet, que Ton veuille soustraire 36 de 584 ; il est clair que, si j'ajoute à 584 l'excès 64 de 100 sur 36, la somme 648 surpassera la différence demandée de 100 unités; de sorte qu'en en retranchant une centaine, j'obtiendrai cette différence. Le reste est donc 548. Cet excès de 100 sur 36 se nomme le complément arithmétique de 36; et, en général, on appelle complément arithmétique d'un nombre la différence entre ce nombre et l'unité suivit d autant de zéros qu'il a de chiffres. Ainsi, pour soustraire un nombre d'un autre, on ajoutera son complément à cet autre^ muis on retranchera de la somme une unité de F ordre de celle qui a fourni le complément.

Exemple. Élever la fraction^ à la troisième puissance. En suivant le procédé ordinaire, il faudait d'abord retrancher le togarithme de 376 de celui de 79 ; au lieu d'opérer ainsi, je

Eends le complément du logarithme de 376 à 10 unités, et je joute au logarithme de 79 :

log 79=1,89763 COmpl. log 376 = 7,4248 1

somme 9,32244

',' Je multiplie cette somme par 3, ce qui donne 27,96732; ffliais, comme elle surpassait le logarithme de ^de 10 unités, ce produit surpasse le logarithme du cube de cette fraction de 30 unités ; donc il faudra diviser le nombre correspondant par l*unité suivie de 30 zéros; mais ce nombre correspondant aura 9l% chiffres entiers (288) : donc le premier chiffre significatif décimal du cube demandé sera du troisième ordre. On trouve |iour résultat 0,0092751.

SOS. On ne prend pas toujours, pour complément d'un nombre, la différence entre ce nombre et l'unité suivie d'autant de zéros qu'ij a de chiffres, parce que, dans certains cas, on serait ainsi conduit à des calculs bien plus longs que ceux que Ton veut éviter en faisant usage des compléments. Supposons, par exemple, que l'on ait à calculer la racine cubique de la cinquième puissance de ^. Si l'on suivait la méthode précédente, on devrait ajouter au logarithme de 2 le complément du logarithme de 13, et multiplier la somme par |; mais, comme cette somme surpasserait le logarithme de ^ de 10 unités, on Voit que le produit devrait être diminué de l0xS=^^, de sorte qu'il faudrait diviser le nombre correspondant parle nombre qui a Ap pour logarithme, c'est-à-dire par la racine cubique de la cinquantième puissance de 10"^, calcul extrêmement laborieux. La difficulté tient à ce que la quantité dont le logarithme iinal est trop grand n'est pas un nombre entier (301) : on l'éludera donc en prenant le complément du logarithme du dénominateur 13, relativement au multiple de l'indice 3 qui est

* Comme le logarithme de 10 est 1, celui de ^'Jô^ est par conséquent ^ (282 et 283)2

SSO LOGAUmiES.

immédiatement supérieur à ce logarithme, c'est-it-dire à S dini notre exemple. Ainsi on eiécnlera le caknl snifant :

log S=0,d0103 compl. log 13=l,B6606

somme S,18709

Moltjpliant cette somme par f , il liendra 8964515; mitti comme elle surpassait le logarithme de -j^ de 8 unités, oefto-

duit surpasse le logarithme de ^(^V)' de 3X|=5 : donc, en divisant par 100 000 le nombre correspondant, le prohlèn^

sera résolu. On trouvera ainsi que v^(^/= 0,044172.

S lY. RÈGLE A CALCDL.

905. Une des applications pratiques les plus ingénieuses 4- Jogarillimes consiste dans l'emploi des Mj^^tef à oofetil on Rbgi logariihmiqtus. Répandu en Angleterre dès la fin da dix-sej tiéme siècle, cet instrument si simple et si utile était eocot {jeu connu en France il 7 a quelques années; mais tout por à es|>érer qu*il ne tardera pas à y devenir usuel, conmie chi left Anglais, pour tous les calculs qui n*exiguu pas trop de pre ciiUm et que fan désire effectuer promptement.

904. La Règle à calcul est un instrument composé d*UD partie fixe ou liègUy et d'une partie mobile appelée Réglette qui glisse à Tintérieur de la première; Tune et Tautre peuvec d'ailleurs être en bois, en ivoire, en métal ou en carton. (Nou suppos^^rons que l'on a sous les yeux une Règle à calcul, e piuh particulièrement la Règle à calcul à enveloppe de verre d M Léon Ixilanne, ingénieur en chef des ponts et chaussées ^

# C«ito li/'gl^; dont Ui prix eft de Ijeaucoup inférieur à celai de la règl

iD boin de Ijmair-Gramtf «e trouve clioz MM. Hachette et C^, avec une ii

Mioft iik»reoai]tlhUi, applicable d'ailleurs à toutes les Règles à calcul

"Hif «mprunté à cette iniitruction la majeure partie de ce qui va suivre

m pouvouf mieux faire que d'y renvoyer le lecteur pour de plu

tails.

808. Si Ton examine la face principale de la Règle, on remarque de suite une échelle graduée portant à sa gauche la désignation abrégée nom&. (nombres). Sur la première moitié à gauche de cette échelle que l'on nomme échelle des nombres, ou échelle principale^ sont inscrits à des intervalles inégaux et décroissants les dix nombres

la seconde moitié & droite est aussi divisée en neuf parties, respectivement égales aux neuf parties de la première ; elle porte, à partir de 10, les nombres

Sur la Réglette est tracée une échelle identique à celle des nombres, portant les mêmes divisions et les mêmes chiffres. Si donc on amène le chiffre 1 de la Réglette sous le chiffre 1 de Féchelle des nombres, toutes les autres divisions principales numérotées 2, 3, 4,..., 90, 100 devront se correspondre par- Êûtement.

Les neuf parties de chacune des moitiés de Féchelle principale sont toutes subdivisées en dix autres : la subdivision de 1 à 2 est la même que celle de 10 à 20 ; celle de 3 à 4 est la même que celle de 30 à 40, et ainsi de suite. Les points de division entre 10 et 20 pourront être considérés comme correspondant aux chiffres

teax entre 20 et 30, aux chiffres

etc.; de sorte que l'on pourra compter tous les nombres de 10 à 100 sur la moitié à droite de l'échelle.

Ces subdivisions peuvent être à leur tour partagées en un <îertain nombre de parties* ; il n'y a d'autre limite que l'impos-

* Sur une Règle de C'^^S de longueur, comme celle que nous considérons,

sibilité matérielle de tracer des divisions facilement appréciables à l'œil.

300. Ainsi, les nombres compris entre 1 et 10 seront lus exclusivement sur la moitié de gauche de la Règle et de la Réglette. Les nombres compris entre 10 et 100 seront lus sur la moitié de droite ; mais ils pourront Tètre aussi sur la moitié de gauche, en supposant que le 1 de cette moitié vaille 10, et que le 10 vaille 100. Or, en faisant cette supposition, le 10 de 1 la moitié de droite vaudra 100, et le 100 vaudra 1000, de sorte qu'on pourra compter sur celle-ci les nombres suivants de 10 en 10:

à son tour, la moitié de gauche se prêtera à une semblable lecture, si l'on y considère le 1 comme valant 100, le 2 comme valant 200, et le 10 comme valant 1000.

Maintenant, il est facile de voir qu'au moyen des dernières subdivisions (note du n"" 505} on pourra lire les nombres entiers de deux en deux :

et les nombres entiers de cinq en cinq :

à partir de 500, il n'y a plus de subdivision, et l'on ne lit les nombres que de dix en dix :

Les divisions entre 1 et 2, 2 et 3,..., 9 et 10 de la moitié h

elles sont partagées seulement en 5 parties entre les divisions prinrjpalei 1 et 2, 10 et 20, et en 2 parties entre les divisions principales 2 et S, 20 et 50.

^ gauche de Téchelle, peuvent aussi être considérées comme > donnant les nombres de dixième en dixième :

De même au moyen des subdivisions (note du n** 508) on pourra lire les nombres de deux en deux centièmes :

et, de cinq^en cinq centièmes :

à partir de 5 , on ne lira que les nombres de dix eu dix centièmes :

5C7. Enfin, à la partie inférieure de la face principale de la Règle, on remarque une échelle portant la désignation abrégée car. (Fignes des carrés). Sa longueur totale est la même que celle de Téchelle des nombres; mais ses divisions principales sont doubles de celles tracées sur la Règle et la Réglette, de sorte que son chiffre l étant placé sous le chiffre 1 de la Règle et de la Réglette, son chiffre 10 correspondra au chiffre 100 de celles-ci.

Les échelles que nous venons de décrire, suffisant pour tous les calculs de rarithmétique, nous ne nous occuperons pas des échelles portant les dénominations abrégées : coSy sin^ tang^ cot.

508. Supposons, maintenant, que Ton ait pris pour unité la longueur commune aux deux moitiés de Téchelle principale, et que les distances respectives du chiffre 1 aux divisions 2, 3, 4,...., 9 aient été prises proporlionnelles aux valeurs

numériques des logarithmes des nombres 2, 3,4 ,9;

que, de même, les distances du chiffre 1 aux subdivisions (1,1), (1,2),. . . . , (1,9) aient été prises proportionnelles aux logarithmes des nombres (1,1), (1,2), . . . . , (1,9) ; et ainsi de suite

pour les centièmes. Il est évident que la distance du chiffre 1 à la division 21 , par exemple, de la moitié de droite de l'échelle représentera précisément le logarithme de 21. En effet,

Iog21=logl0+log2,l.

Or la distance du chiffre 1 au chiffre 21 se compose de deux parties, savoir : la distance du chiffre 1 au chiffre 10, qui, ayant été prise pour unité, représente le logarithme de 10, et la distance du chiffre 10 au chiffre 21, laquelle est égale, par suite de la construction de la Règle (508), à celle du chiffre 1 à la division 2,1, c'est-à-dire au logarithme do 2,1; donc la dislance du chiffre 1 au chiffre 21 représente bien le logarithme de 2 1 .

Ainsi, en considérant l'ensemble des deux moitiés de Tcchelle principale, les longueurs successives comptées à partir du chiffre 1 jusqu'au chiffre 100 représentent les logarithmes des nombres de 1 à 100 pris avec leur caractéristique exacte. Quant aux nombres en dehors de ces limites, l'échelle donne la partie décimale de leurs logarithmes, abstraction faita de la caractéristique. Soient, par exemple, les nombres 0,75 et 340; les parties décimales des logarithmes de ces nombres sont les mêmes que celles des logarithmes des nombres 75 et 34 compris entre 1 et 100; elles sont donc représentées sur la Règle.

509. De ce qui précède résulte évidemment cette propriété fondamentale de la Règle à calcul :

Pour trouver le produit do deux nombres y il faut placer le chiffre l de la Réglette sous Vun des deux nombres Iv^s sur la moitié à gauche de l'échelle principale de la Règle. Le produit cherché correspond j sur la Règle y au second nombre lu sur la Réglette.

Il est clair, en effet, que l'on détermine ainsi sur la Règle un nombre dont la distance au chiffre 1 de la Règle, c'est-à-dire le logarithme, est égale à la somme des distances du premier nombre au chiffre 1 de la Règle, et du second nombre au chiffre

•dire à la somme des logarithmes des «ombre est donc leur produit (2Bi).

,eut être indiquée d'une façon abrégée multiplier 2 par 3, on aura :

2 (1'' facteur) 6 (produit).

ite. 1 » 3 (2" tacleur).

JUS allons appliquer, comme exercices, celte règle à

as exemples; mais nous commencerons par énoncer un

xCipe très-simple et très-général pour déterminer d'avance

.e nombre des chiffres d'un produit de deux nombres entiers;

Lorsque le produit obtenu (par le procédé du n® 509) se

trouve sur la moitié à droite de V échelle fixe de la Règle y ce pro^

duit a juste autant de chiffres quHl y en a à la fois dans les deux

facteurs; lorsqu'il tombe sur la moitié à gauche, il a un chiffre

de moins,

511. Nous considérerons d'abord des facteurs n'ayant pas plus de deux chiffres chacun.

!• Soit 36 à multiplier par 25. On placera le chiffre 1 de la Réglette sous le point 36 de la moitié à gauche de la Règle, et on lira le chiffre auquel correspond sur la Règle le nombre 25 lu sur la Réglette. Ce chiffre est 9, et se trouve encore sur la moitié à gauche de la Règle; or le produit doit avoir trois chiffres; donc, en ajoutant deux zéros à la droite de 9, on aura 900 pour le produit cherché.

2* Soit & multiplier 23 par 19. Ayant placé le 1 de la Réglette sous le point 23 de la Règle (moitié de gauche), on trouve que le point correspondant au nombre 19 lu sur la Réglette ne se trouve pas exactement être une division de la Règle, mais qu'il tombe entre les divisions 430 et 440 , plus près de la seconde que de la première. Dans ce cas, et dans les cas analogues où le point correspondant au produit cherché tombe entre deux divisions consécutives de l'échelle, on imagine que l'intervalle entre ces deux divisions soit subdivisé en un nombre suffisant de parties égales, et on prend pour le troisième chiffre du pro*-

duit cherché le nombre des parties qae l'on peut compter à vue entre le point correspondant au produit et la division la plus voisine à gauche '^. Ainsi , les plus petits intervalles entre 1 et 2 étant partagés, à vue, chacun en deux, on lira les nombres entiers consécutifs :

100, 101, 102, 103,.... jusqu'à 200;

les plus petits intervalles entre 2 et 5 étant partagés, à me, chacun en cinq , on lira les nombres entiers consécutifs :

200, 201, 202, 203,.... jusqu'à 500;

enfin , les plus petits intervalles entre 5 et 10 étant partagés, à vuCf chacun en dix, on lira les nombres entiers consécutifs :

500, 501, 502, 503,.... jusqu'à 1000.

De sorte qu'avec ces lectures à vue, on pourra déterminer d'une manière plus ou moins exacte tous les nombres possibles de trois chiffres.

Revenons à notre exemple. Les deux premiers chiffres du produit cherché sont 43; la distance qui sépare la division 430 du point correspondant au produit peut être évaluée à vue à 7 ou 8 dixièmes de l'intervalle total entre 430 et 440; on pourrait donc prendre 437 ou 438 pour valeur du produit. Mais nous remarquerons que le produit des nombres 23 et 19 se termine nécessairement par un 7, puisque 9 fois 3 font 27; le produit exact sera donc 437.

Ainsi, il est toujours facile d'obtenir rigoureusement un produit de deux facteurs ^ quand ce produit ne doit pa^ avoir plus de trois chiffres. Les deux premiers chiffres sont donnés par la Règle sans incertitude; et le troisième est donné parla multiplication, faite de mémoire, du dernier chiffre de l'un des facteurs par le dernier chiffre de l'autre^

* Remarquons que ceci revient à faire usage du principe énoncé au n*" 20O : les différences des logarithmes sont sensiblement proportionnelles à celles des nombres correspondants.

3* Soit à multiplier 24 par 33. On trouve que le point correspondant au produit tombe entre les divisions 126 et 128, plus près de la seconde que de la première; on en conclut que le nombre 127 forme les trois premiers chiffres du produit. Mais ce produit doit avoir quatre chiffres; de plus, son premier chiffre à droite est un 2; donc le produit cherché est 1272.

4* Soit à multiplier 79 par 84. Le point correspondant au produit tombe entre les divisions 66 et 67, à un intervalle qui paraît être de 3 ou 4 dixièmes à partir du point 66. D'un autre côté, le produit doit avoir quatre chiffres, et son dernier chiffre à droite est 6 ; on supposera donc que le point de" rencontre est à 3 dixièmes et 6 centièmes de Tintervalle entre les deux poinis, et Ton prendra 6636 pour le produit cherché.

On voit donc que, lorsque le produit a quatre chiffres, on n*a plus la môme certitude sur le résultat ; il y a erreur possible sur le troisième chiffre, parce que sa détermination lient à une lecture dans Tappréciation de laquelle on peut se tromper d'une unité.

312. Supposons maintenant que les deux facteurs aient trois chiffres.

Soit à multiplier 627 par 384. Le facteur 627 sera pris sur la Règle fixe entre les divisions 62 et 63, par évaluation à vue, à 7 dixièmes de l'intervalle qui les sépare. Le 1 de la Réglette étant placé sous le facteur 627 ainsi déterminé sur la Règle, on lit le second facteur 384 sur la Réglette, au delà du point 380, et à 4 cinquièmes de Tintervalle entre ce point et le point 385, par une seconde évaluation à vue. Ce second facteur correspond, sur la moitié à droite de Téchelle, au point 241. Le produit devant avoir six chiffres, on complétera ce nombre de chiffres en ajoutant trois zéros, et on prendra 241000 pour le produit cherché. Le produit exact est 240768; Terreur relative commise est donc de 232 sur 240768, ou de 1 sur 1038.

S13. Si nous supposons enfin que les deux facteurs soient composés d'un nombre quelconque de chiffres, on procédera

de la même manière. On se bornera à opérer comme s'ils élaient Tun et l'autre réduits à leurs trois premiers chiffres; on déterminera, comme dans le numéro précédent, les trois premiers chiffres du produit, et on placera à leur di*oite un nombre de zéros suffisant pour compléter le nombre des chiffres indiqué par la règle du n* 510.

Si le premier chiffre après les trois chiffres conservés dans l'un des facteurs était égal à 5, ou plus grand que 5, on augmenterait d'une unité le dernier chiffre conservé* En général, on ne devra pas faire cette augmentation dans les deux facteurs à la fois.

Soit, par exemple, à multiplier 238607 par 31097. Au lieu de 238607, on prendra 238000 ou plutôt 238; au lieu de 31097, on prendra 31100 ou plutôt 311. Multipliant 238 par 311, on trouvera 742 pour les trois premiers chiffres du produit; le produit doit d'ailleurs avoir dix chiffres ; nous aurons donc à écrire sept zéros à la droite de 742, ce qui donne 7420000000 pour la valeur approchée du produit.

5i4. Nous n'avons considéré jusqu'à présent que des nombres entiers. Si l'on a à opérer sur des nombres décimaitXy on commence par substituer aux deux facteurs les nombres résultant de la suppression de tous les chiffres placés à droite de leurs trois premiers chiffres significatifs. On effectue ensuite la multiplication des deux nombres ainsi obtenus^ abstraction faite de la virgule^ comme sHls étaient entiers; puis, à la droite de leur produit, complété par r addition d'un nombre suffisant de zéros, on sépare autant de chiffres décimaux quHl y en a à la fois dans les deux facteurs réduits Vun et Vautre à leurs trois premiers chiffres significatifs.

Quelques exemples vont éclaircir cette règle :

!• Soit à multipHer 0,35 par 0,0025. Le produit de 35 par 25 est 875; ce produit est exact (5ii, 2'»); séparant six décimales, autant qu'il y en a à la fois dans les deux facteurs, nous trouverons 0,000875 pour le produit cherché.

2* Soit à multiplier 0,03836 par 62,721. Nous remplacerons les deux facteurs par les nombres 0,0384 et 62,7. Multipliant 384 par 627, on trouve pour produit 241000 (312); séparant enfin cinq décimales, autant qu'il y en a à la droite des deux nombres 0,0384 et 62,7, on trouve 2,41 poiir le produit cherché.

3* Soit à multiplier 12,4745 par 8,0292. On prendra pour &cteurs 12,5 et 8,03 ; le produit de 125 par 803 est 100400; séparant trois décimales, on aura 100,4 pour la valeur cherchée.

5IB. Nous savons maintenant eûectuer, dans tous les cas, la multiplication de deux nombres quelconques entiers ou décimaux. Voyons comment on pourra procéder à l'opération inverse, la division. Or, si Ton considère le dividende comme un produit, le diviseur et le quotient comme les deux facteurs de ce produit, on verra que la division se fera en ajustant la Règle et la Réglette comme pour la multiplication. Soit à diviser 6 par 3, on aura :

Règle. 2 (Quotient) 6 (dividende).

Réglette. 1 » 3 (diviseur).

Ainsi, pour diviser deux nombres Vun par VautrCy il faut amener le point de la partie à gauche de la Réglette correspondant au diviseur y sous le point de la partie à droite de la Règle correspondant au dividende. Le point de Véchelle de la Règle sous lequel tombe le 1 de la Réglette indiqua la valeur du quotient.

On déterminera d'ailleurs le nombre des chiffres du quotient par le principe suivant :

Lorsque le point correspondant au qu>otient tombe sur la moitié à gauche de la Règle, le nombre des chiffres du quotient s^obtient en retranchant le nombre des chiffres du diviseur du nombre des chiffres du dividende. Lo^^sque ce point tombe sur la moitié à droite ^ il y a au quotient un chiffre de plus qus dans le cas précédent.

2k0 LOGARITHMES.

1* Soit à diviser 6636 par 84. Nous amènerons le nombre 84, pris sur la moitié à gauche de la Réglette, sous le nombre 664, pris sur la moitié à droite de la Règle. Le 1 de la Réglette tombera sensiblement au-dessous du nombre 79 de la Règle et sur la moitié de gauche de celle-ci. Le nombre des chiffres du quotient sera donc égal à deux, c'est-à-dire à Texcès de quatre, nombre des chiffres du dividende, sur deux, nombre des chiffres du diviseur. Le quotient cherché est donc 79.

2" Soit à diviser 7419961879 par 31097. Nous prendrons 742 pour dividende et 311 pour diviseur. En lisant le premier sur la moitié à droite de la Règle et le second sur la moitié à gauche de la Réglette, on voit que le 1 de la Réglette tombe sensiblement sous le chiffre 239 de la moitié à droite de la Règle. Le nombre des chiffres du quotient surpassera donc d'une unité l'excès du nombre des chiffres du dividende sur le nombre des chiffres du diviseur. Le dividende a dix chiffres, le diviseur en a cinq; le quotient en aura donc six; nous prendrons donc 239000 pour la valeur approchée du quotient.

3iG. Supposons maintenant qu'il s'agisse d'effectuer la division de deux nombres décimaux. Considérons d'abord le cas où le dividende contient le diviseur, et où par conséquent le quotient a une partie entière.

!• Diviser 0,0953 par 0,0006237. Avançons la virgule d'un même nombre de rangs dans le dividende et le diviseur, ce qui n'altère pas le quotient ; la question sera ramenée à diviser 953 par 6,237. Les trois premiers chiffres du quotientsont 153, et le quotient tombe sur la moitié à droite de la Règle; il doit donc avoir à sa partie entière un chiffre de plus que le nombre des chiffres entiers du dividende (trois) diminué du nombre des chiffres entiers du diviseur (un), c'est-à-dire qu'il aura trois chiffres entiers ; le quotient est donc 153.

2« Diviser 0,00953 par 0,0006237. Nous ramènerons encore la question à diviser 953 par 62,37; les trois premiers chiffres du quotient sont 153; le quotient doit d'ailleurs avoir à sa

partie entière un chiffre de plus que l'excès de trois sur deux, c'est-à-dire deux chiffres; ce quotient est donc 15,3,

317. Considérons maintenant le cas où le dividende est plus petit que le diviseur. On ramènera facilement ce cas au précédenty en avançant la virgule d'un nombre suffisant de rangs vers la droite dans le dividende ; on déterminera le quotient, comme dans le premier cas, puis on y reculera la virgule vers la gauche. d'autant de rangs qu'on l'avait avancée vers la droite

dans le dividende.

1® Diviser 6,0237 (ou 0,624) par 95,3. J'avance la virgule de trois rangs vers la droite dans le dividende, afin d'avoir un nombre plus grand que le diviseur, et j'ai 624,0 dont la division par 95,3 donne 6,54 (51G) ; reculant la virgule de trois rangs vers la gauche, il vient, 0,00654 pour le quotient cherché.

2» Diviser 2,4 par 62,721 (ou 62,7). J'avance la virguîe de deux rangs vers la droite dans le dividende, et je divise 240 par 62,7. Les trois premiers chiffres du quotient sont 384; comme ce quotient tombe sur la moitié à gauche de l'échelle, il a un chiffre entier (trois moins deux), et est 3,84; en reculant la virgule de deux rangs à gauche, on aura 0,0384 pour le quotient cherché.

518. Ainsi, nous sommes actuellement en état d'effectuer la multiplication et la division de nombres quelconques entiers ou décimaux. Il nous reste à indiquer un autre procédé que Ton peut employer pour effectuer ces deux opérations, au "moyen de la Réglette renversée.

Supposons qu'ayant retiré la Réglette de sa coulisse, on l'y introduise après l'avoir retournée bout pour bout, de manière que ses chiffres apparaissent à l'envers pour l'opérateur qui tient la Règle droite. Il est facile de voir que si l'on place le multiplicateur, lu sur la tléglette, au-dessous du multiplicande, lu sur la Règle, le produit se trouvera soit sur la Règle au-dessus du 1 de la Réglette, soit sur )a Réglette au-dessous du I de la Règle. Il est évident, en effet, que dans les deux cas la longueur correspondant au produit est égale à la somme des lon-

S4â LOGARITHMES.

gnenrs correspondant aux dem acteurs. Soit à multiplier, par exemple, 6 par 9. L'opération s'indique de la manière suivante :

Règle 1 6 (nmltipUc^) 9 (multiplie*') 54 (prodnil).

Réglette renTeisée. bk (produit) 9 (muIupUc"') 6 (multiplie'*) 1

On effectuera la division avec la même facilité; cette opération s'indiquera ainsi qu'il suit (division de 54 par 6) :

Règle 1 6 (diviseur) 9 (quotient) 54 (diTideod^.

Réglette renversée. 54 (dividende) 9 (quotient) 6 (diviseur) 1

Ainsi, en opérant avec la Réglette renversée, on peut lire sir multanément le résultat sur deux échelles différentes. U y a un certain àvanUige dans cette double lecture, dont l'une sert à vériiier Tau Ire.

Les principes relatifs à la détermination du nombre des chiffres, soit du produit, soit du quotient, sont d'ailleurs applicables à la po^ilion renversée de la Régletie. Ainsi, lorsque la lecture du multiplicande et du produit se fait sur les deux moitiés différentes de la même échelle, le produit a autant de chiffres qu'il y en a à la fois dans les deux facteurs, etc.

519. La division avec la Réglette droite, lorsque le dividende et le diviseur ne correspondent ni l'un ni l'autre à un des traits de la graduation tracée sur les échelles, exige qu'on mette en regard Tun de l'autre deux points dont la position donne lieu à quelque incertitude. Avec la Réglette renversée, il sera [ilus facile d'ajuster le chiffre 1 sous le point qui correspond au dividende, et de lire ensuite le quotient correspondant au diviseur.

Au contraire, dans la multiplication, il sera plus commode de lire les deux facteurs avec la Réglette droite.

520. Proposons-nous comme exercices les questions suivantes :

1° Multiplier un nombre constant par une suite de nombres variables. Soit, par exemple, à former les neuf premiers muiti-

[.pies de 365. J'amène le 1 de la Réglette sous 365 de la Règle, f.€t, sans changer de place la Réglette supposée droite, je lirai si- [ multanément sur la Règle les nombres 365, 730, 1095, 1460, 1825, 2190,2555, 2920 et 3285, au dessus des nombres 1, 2, 3, |. (',5, 6, 7, 8 et 9 lus sur la Réglette,

Règle. 365 730 1095 1460 1825 2190 2555 2920 3285

Réglette. >» I 2 3 4 5 6* 7 8 9

2* Diviser une suite de nombres variables par une même quantité. Soit à diviser les nombres 12, 18, 24, 30, 36 par 6. Je place le 1 de la Réglette sous le 6 de la Règle, et, sans changer déplace la Réglette supposée droite, je lirai simultanément sur la Réglette les quotients 2, 3, 4, 5 et 6 au-<lessous des dividendes 12, 18, ^, 30 et 36 lus sur la Règle.

Bègle. 6 12 18 24 30 36

Eéglette. ^^1 2 3 4 5 6

Remarquons qu'en renversant la Réglette, il eût été impossible de résoudre ces deux questions au moyen d'une seule lecture simultanée.

30 Diviser un nombre constant par une suite de quantités variablés. Soit à diviser successivement 360 par 2, 3, 4, 5, 6. Après avoir renversé la Réglette, j'amène son chififre I sous le dividende 360 lu sur la Règle, et, sans changer de place la Réglette renversée^ je lis simultanément sur la Règle les quotients successifs 180, 120, 90, 72, 60 correspondant aux diviseurs 2, 3, 4, 5, 6 lus sur la Réglette.

Règle. 60 72 90 120 180 360

Réglette renversée. <-^ 6 5 4 3 2 1

321 . Nous avons dit (307) qu'il existait, à la partie inférieure de la face principale de la Règle et au-dessous de la Réglette, une échelle portant la désignation car. Les divisions de cette échelle sont respectivement le double des divisions correspondantes des échelles de la Règle et de la Réglette. Il s'ensuit

que sur cette échelle la distance du chiffre 1 à la division 3, par exemple, est égale à deux fois la distance, sur la Béglettei da chiffre 1 au mémo nombre 3, et que par conséquent elle représente le logarithme de 3*=9; donc le 3 de l'échelle des carrés doit correspondre au 9 de la Réglette. Ainsi :

Pour trouver le carré d'un nombre donnée on cherche ce nombre sur Véchelle injérieurej et on lit son carré sur la Réglette irnmi' diatement au-dessus,

11 faut remarquer avec soin que, en ce qui concerne les carrés, les lectures sur la Réglette ne peuvent plus se faire comme dans la multiplication et la division^ où Ton prenait à volonté | les multiples ou les sous-multiples décuples des nombres inscrits sur l'échelle.

La règle que nous venons de donner ne présente aucune difilculté, lorsque le nombre dont on cherche le carré est compris entre 1 et 10. Quant aux autres cas, on les ramène tous à ce premier cas ; il suffit de multiplier ou de diviser le nombre proposé par 10, 100, 1000, etc., de manière à le rendre plus grand que 1 et plus petit que 10 ; on cherche le carré du nombre ainsi obtenu, et on divise ou multiplie ce carré par le carré de 10, par le carré de 100, parle carré de 1000, etc., suivant que Ton a multiplié ou divisé le nombre proposé par 10, 100, 1000, etc.

Soit, par exemple, 0,008247 à élever au carré. Je multiplie par 1000, et je cherche le carré de 8,247 ou plutôt de 8,25 ; je trouve 68,0; en divisant ce résultat par 1000*= 1000000, il vient 0,000068 pour le carré cherché.

522. Pour trouver la racine carrée d'un nombre donnée on cherche ce nombre sur la Réglette^ et on lit sa racine sur Véchelle inférieure^ immédiatement au-dessous.

Cette règle s'applique à un nombre compris entre 1 et 100. Tous les autres cas se ramènent à celui-ci, en multipliant ou divisant le nombre proposé par 100, 10 000, 1 000 000, etc., de manière à le rendre plus grand que 1 et plus petit que 100; on extrait la racine du nombre ainsi obtenu ; cette racine est com-

prise entre 1 et 10 : puis on la divise ou multiplie pnv 10, 100, 1000, etc., suivant que Ton avait multiplié ou divisé le nombre ^ proposé par 100, par 10 000, par 1 000 000, etc.

Soit, par exemple, à extraire la racine carrée de 0,4. Je multiplie par 100, ce qui donne 40, dont la racine carrée est 6,32; ditnsant ce résultat par 10, il vient 0,632 pour la racine cherchée de O^k.