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ou, comme tout à l'heure, en substituant au rapport des deux premiers termes le rapport des nombres abstraits correspondants,

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Ou bien, en multipliaiït les deux termes du premier rapport par 9, puis les deux antécédents par 2 pour faire évanouir les deux dénominateurs (2S5),

Les deux questions que nous venons de résoudre sont appelées par les arithméticiens des règles de trois ^ parce qu'elles conduisent à calculer le quatrième terme d'une proportion dont les trois autres sont connus. Comme, dans la proportion qui résout la deuxième question, l'ordre dans lequel on compare les deux quantités d'une même espèce est inverse de celui dans lequel on compare les deux quantités correspondantes de Tautre espèce, on dit que les largeurs sont en raison inverse des longueurs, et par conséquent que ce problème est une règle de trois inverse^ tandis que le premier est une règle de trois directe. Mais cette distinction est tout à fait insignifiante : il suffira, dans chaque cas particulier , d'analyser avec soin la question, et Ton ne sera jamais embarrassé pour établir la proportion. Au reste, Lacroix a donné une règle fort simple pour résoudre les règles de trois : c'est que le plus petit terme de la première espèce est au plus grand terme de cette espèce comme le phis petit terme de la seconde espèce est au plus grand terme de cette espèce^ ce qui résulte évidemment de la considération des proportions [1] et [2]; ou, autrement : le rapport du plus petit terme de la première espèce au plus grand terme de cette espèce est égal au rapport du plus petit terme de la seconde espèce au plus grand terme de cette espèce.

Il suffira donc d* examiner si le terme inconnu doit être plus

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çrand au plaspeiil que cdui de son espèce^ a U sera facile ermàk (Ticrirt Lapropcriicn^ poiuru toutefois qa*il doive y avoir proportion eotre les deux termes de la première espèce et ceux de la seconde. C'est ce qui n'aurait pas-liea dans la question MiÎTante : On a payé SO(f pour creuser un puits de 30 piedsde profondeur : combien couieraii un puiis de 60 pieds? — H est clair qu'il serait payé plus que le double de 800'; car, la difficulté du traTaQ augmentant avec la profondeur du puits, les' 30 derniers pieds coûteront plus que les 30 premiers. Ce problème ne se résont donc pas par une règle de trois, et pour eu trouver la solution, il faudrait savoir suivant quelle loi augmente la difOculté du travail, à mesure que Fouvrier descend à une plus grande profondeur. Mais dans un grand nombre de questions, au contraire, on a à considérer des grandeurs de deux espèces telles que. Tune variant et devenant par exemple un certain nombre de fois plus grande ou plus petite, Tautre devient nécessairement ce même nombre de fois plus grande ou plus petite ; on dit alors qu'elles varient proportionnée' ment ou dans le même rapport. Ainsi, l'aiguille d'une montre parcourt dans un temps double, triple, etc., un nombre de divisions double, triple, etc.; les espaces varient, dans ce cas, proportionnellement aux temps employés pour les par- ^ourir ; il n'en serait pas ainsi d'une pierre qui tomberait dans le vide à la surface de la terre. 11 est donc essentiel de commencer par s'assurer que les quantités que l'on considère varient dans le même rapport ou dans un rapport inverse ; quant au fait de cette variation considéré en lui-même , il a, dans chaque cas, sa raison d'être en dehors de l'arithmétique, à laquelle il n'appartient pas de le démontrer.

LII. 75 ow>riers^ travaillant tf"! par jour^ ont fait un ouvrage de 252^ dont la difficulté était représentée par ^ : combien faudrait il d'ouvriers^ qui travailleraient 10^ ^ par four j pour faire, dans le même nombre de jours, 42' 4p» S^ d^un ouvrage dont la difficulté serait représentée par J, en supposant d'ailleurs que l'activité delà première troupe soit représentée par 72, et celle de la seconde par 77 T

? ' C'est là une de ces questions que Ton appelait -règfto de trois l amipo5ee5,parce qu'elles peuvent se décomposer eh plusieurs ' règles de trois simples.

En effet, supposons que l'ouvrage et l'aclivité des ouvriers soient les mêmes dans les deux cas ; la question sera ramenée à celle-ci : 75*"' ont fait un certain ouvrage eri travaillant 9^^ par jour; combien faudrait-il d'ouvriers pour faire le même ouvrage en travaillant 10^-^ par jourîW. est clair que, puisque lasecopde troupe travaille plus d'heures par jour, elle doit élre moins nombreuse : donc nous aurons, d'après la règle de Lacroix f la proportion

9 1 : 10 ïl :: 0? : 75,

ou, en multipliant par 24 les deux termes du premier rapport pour faire évanouir les dénominateurs,