ET RELATIVES
536 Les quantités qui entrent dans un calcul sont souvent incommensurables pu ne sont connues qu'approximativement; il s'ensuit que le résultat de ce calcul n'est lui-même qu'approché, et diffère plus ou moins du résultat exact que l'on
aurait obtenu en opérant sur les valeurs exactes des quanti! données.
L'erreur commise sur une quantité peut être appréciée de] deux manières : ou en elle-même et d'une manière absolue^ ; ou bien comme une partie de la quantité sur laquelle elle a été commise. Dans le 1** cas, Terreur est dite absolue; ainaV en mesurant une longueur, on a trouvé qu'elle était égale à l^hO'^ylS : si Ton prend seulement pour cette longueur ISSO'^JO, on commettra une erreur absolue de 3 centimètres. Dans le 2* cas, l'erreur est dite relative; ainsi, dans le même exemple, on a négligé 3 centimètres, c'est-à-dire 3 fois la 125073' partie de la valeur exacte; on a commis une erreur relative des 1^^073 de cette valeur. Ainsi nous appellerons ERREUR ABSOLUE la différence entre la valeur exacte d'une quantité et la valeur approchée qu'on lui svbstitus. Nous appellerons ERREUR RELATIVE le rapport de terreur absolue à la valeur exacte de la quantité considérée.
337. Soit A un nombre quelconque^ entier ou décimal, conh posé de m -}-n chiffres; soit A! la valeur approchée de ce nombre^ obtenue en remplaçant par des zéros les n chiffres à droite du m"* chiffre significatif {dernier chiffre conservé à partir de la
gauche) : Verreur relative — r — commise sur la valeur appr(h
chée k' sera moindre que
En effet, le numérateur A— A', ou l'erreur absolue, est un nombre de n chiffres nécessairement plus petit que l'unité suivie de n zéros, ou que 1 unité de l'ordre du fn~ chiffre du nombre A ; le dénominateur A est un nombre de m-f n chiffres, plus grand que l'unité suivie de m-f-n— 1 zéros, ou que 10**"* unités de l'ordre du m"»* chiffre du nombre A; donc
la fraction — - — i c'est-à-dire l'erreur relative, est plus pc-
tite que
Ainsi, soil A =1584372169; je prends pour valeur appro-
lée A' = 1584372000; on a fH^=7, n=3^ Terreur relative
Soit encore A= 1584,37216975; je prends pour valeur approchée A' =1584,3721 6; on am=9, n=3; Terreur rela-
nve est 1584,37216975 "■ 1584,37216975 ~
158437216975» "^ ^"® ®^^ ^ lÔ^*
358. Si Verreur relative commise sur un nombre cherché est f moindre i^TTSif l'^rrmr absolm sera moindre qu'une unité de
lordre de son m"' chiffre à partir de la gauche.
Supposons, en effet, que Terreur relative — j — soit <rr-j;
on en déduit, pour la valeur de Terreur absolue, A — A' <TJ^;;• Or A est plus petit que 10* unités de Tordre de son m""» chiffre ;
donc Yôijf et, à fortiori^ Terreur absolue est moindre qu'une unité de cet ordre.
Il ne suffirait pas que Terreui relative fût moindre que rrr^zî
pour en conclure que Terreur absolue sera moindre qu'une
unité de Tordre du w™« chiffre. En effet, soit — -iL<--i-j;
on en déduit, pour Terreur absolue, A — A' <; TqSTî» ^^*s
comme A est plus grand que 10*-* unités de Tordre de son w"~ chiffre, on ne peut pas en conclure que Terreur absolue soit moindre qu'une unité de cet ordre.
539. Nous allons nous proposer de déterminer avec quel degré d'approximation il faut évaluer les quantités incommensurables qui entrent dans un calcul, pour que Terreur absolue commise sur le résultat de ce calcul soitmoindre qu'une gran-
deur donnée r. Pour traiter cette question dans toute sa géné-
ralité% nous allons examiner successivement les six cas qui j pourront se présenter, et nous conviendrons de représenter par e Terreur absolue commune dont les quantités proposées
devront être affectées pour que le résultat final ne soit pas
fautif de t.
Nous donnerons dans les notes correspondantes à chaque cas la valeur de l'erreur relative du résultat en fonction des erreurs J relatives des données.
340. Addition. L'erreur absolue totale ne peut pas évidemment surpasser la somme des erreurs absolues partielles commises sur chacune des quantités à additionner; si donc la somme de m quantités incommensurables doit être erronée
d'une grandeur moindre que t, il suffira que chacune d'elles ne le soit pas de — r
* Une partie de cette théorie exige des notions d'algèbre.* ** V erreur relative (Vune somme est moindre que la somme des erreurs absolues partielles divisée par la somme des valeurs approchées desquantiUs considérées f ces valeurs étant prises par défaut. £lle est comprise entre la plus grande et la plus petite des erreurs relatives partièUes; ainsi, soient A, B, G les valeurs exactes ; e, e^, e" les erreurs absolues partielles : Terreur reUtive de la somme et les erreurs relatives partielles sont
6 e' ef*
soit Â>B>G*'
on aura tf=r-A.
y = g B, d'où ^<i^f «^=^'c, d'où ô'<7C;
ti A
541. Soustraction. Si les deux nombres étaient erronés dans le même sens, les erreurs se compenseraient en partie par la soustraction, de sorte qu'il suffirait que chaque nombre fût exact à moins de t pour qu'il en fût de même du
reste.
Mais si les deux nombres sont erronés en sens contraire, les erreurs s'ajouteront, et par conséquent il faudra calculer cha-
cun d'eux à moins de ^ •
842. Multiplication. 1* Si un seul des facteurs est incomtnensurablej il faudra que Terreur commise sur ce. facteur, multipliée par le produit P de tous les autres, soit plus petite
que r ; donc ce facteur doit être exact à moinâ de pr.
Exemple I. Supposons que Von demande le plv^ grand nombre entier contenu dans le produit du nombre incommensurable w= 3,141592653.... par 17. Il semble qu'on pourrait résoudre celte question en faisant en sorte que Terreur commise sur 7c fût plus petite que i^; et comme -^ est > 0,05, on prendrait 3,1 pour valeur de tc, car la partie négligée serait ainsi moindre que 0,05, et à plus forte raison que tV- Le produit 3,1X17 = 52,7 est donc inférieur à Htc de moins d'une unité. Or, on conçoit que si Ton prend 52 pour valeur de Htt,
d'où Ton tire, en additionnant,
«+.'+«' <«-(A+B+q, ou xSiï<î.
€ "^ 6^ "4" fl" C*
On prouvera de même que . , , ^ > 77»
* L'erreur relative d'une différence est moindre que la somme des erreurs absolues partielles des deux nombres à soustraire l'un de Vautre, divisée par la différence des valeurs approchées de ces quantités. On suppose le plus grand nombre approché par défaut, et le plus petit par excès : l'erreur est
Terreur dont 52,7 est aiïeclé, étant ainsi augmentée de 0,7, pourra très-bien surpasser une unité, et que par conséquent on n*est pas sûr que 52 soit le plus grand nombre entier contenu dans 17ir. M. Guilmin a donné la règle suivante pour lever cette difficulté* :
Si vous voulez le plus grand nombre entier conlmu dans le pro» duit du nombre commensurable m par le nombre incommensurable a, au lieu de prendre la valeur de a, à moins de ^ près, calculez 'la à moins de j^f de sorte que le produit correspondant ne sera pas trop faible de 0,1 ; si alors le premier chiffre décimal de ce produit est moindre que 9, sa partie entière répondra à la question, car elle ne sera pas inférieure d*une unité à m.a.
Mais si le premier chiffre décimal est un 9, vous prendrez une valeur de a exacte à moins de -nji:ï,i de sorte que le produit correspondant ne sera pas trop faible de 0,01 ; alors si la partie dêci' mole de ce produit est moindre que 0,99, sa partie entière répondra à la question, car elle ne sera pas inférieure d'une unité à m.a, et ainsi de suite,
£n conséquence, nous allons calculer tc à moins de ^^ près, et comme cette fraction est > 0,005, nous prendrons 3, 14 pour valeur de w; le produit 3,14.17=53,38 sera donc inférieur à I7ic de moins de 0,1 ; ainsi 53 est le plus grand nombre entier contenu dans 17ir.
Si Ton remarque qu'en ajoutant 0,1 à 53,38 on obtiendra un nombre > 17 w et <53,5, on en conclura que 53 est la valeur de 17 w à moins d'une demi-unité près.
Exemple II. Calculer le produit de ir par 4,729 à moins de i millième. Nous allons, conformément à ce qui précède, chercher quelle valeur onjdoit donner à wpour que le produit ne soit pas fautif d'un dix-millième. 11 faudra, pour cela, que cette valeur ne soit pas en erreur de î77-inr.Woô = TT2-giî> 0^00002; ainsien prenant pourla valeur de 7r,3, 1416, quantité quin'estpas
* Nouvelles Annales de matliémaiiques, V volume.
tropgrande de 0,00001, le produit 3,1413 X 4,729= 14,8566264 ne sera pas trop grand d'un dix-millième. Donc, si on le diminue de 0,0001, le nombre résultant 14,8565264 sera plus petit que le véritable produit ; ce véritable produit surpasse donc
14.856 de plus de 5 dix-millièmes; il est d'ailleurs inférieur à
