donc sa valeur est 14,857, à moins de { millième

Exemple III. Vmt-^m k produit de 7^ par ^2 à moins d^ien demi-dixième près (ou ^) ; on observera qu'en vertu du principe du n" 202, 7 f . ^2 = y(7f)».2, ce qui nous ramène S la règle donnée au même numéro. On formera donc d'abord le cube de 7f , ce qui donnera ^4IP> ^^ multipliera ce cube par 2, puis le résultat par 20* ; on extraira la racine cubique du produit 7023616, et l'on trouvera 191 : ainsi la racine demandée tombe entre ^=9,55 et ^=9,60; sa valeur est donc 9,6, à moins d'un demi-dixième *.

345. 2* Soit un produit de m factevrs incommensurables. J'appelle A', B', G',.. . . , K' les valeurs approchées, mais inconnues de ces facteurs, et e Terreur que l'on doit commettre sur chacun d'eux. En prenant le produit A'.B'.G'....K' au lieu du véritable, on commettra une erreur e qui aura pour expression

or, si l'on développe le second membre de cette équation d*aprèsla règle donnée dans l'algèbre, il viendra

* L'erreur relative d'un produit dans lequel un seul fcicteur est incommensurable est égale à V erreur relative de ce facteur. Soient A' la valeur approchée du facteur incommensurable, e l'erreur absolue commise sur ce facteur; sa valeur exacte seraÂ^A'-f*^^ donc, en appelant P le produit de tous les autres facteurs exacts, on aura

Terreur relative sera donc

AP=A'P-f.eP, AP— A'P=eP;

— -r; — =— -=- (erreur relative du facteur À!), Al* AP A •

en désignant en général par S » la somme des produits différents nkn que l'on peut faire avec les m facteurs k'^V^Gy... JL' ; ou bien, en mettant « en facteur ccmimun,

Or, si Ton représente par f (e) le produit (A' +e) (B'+e) (C'+e)... (K' + e), on a

donc

Mais il est évident que le second membre de cette équation surpasse la quantité qui est comprise entre parenthèses dans le deuxième membre de Téquation [a] ; donc

Or, <p' (c) est la somme des produits (m — 1) à (m — 1) des facteurs proposés ; donc, si Ton appelle SVh la somme des produits (fw— 1) à (m— 1) de m facteurs quelconques, mais tous plus grands que ceux-^Ui, Terreur t sera à prtiori plus petite

que eS'^si-i ; donc, pour que t soit<T9 il suffira que Ton ait

eS-'«^<i, d'où e<^ [1].

Exemple. Veut-on, à moins de 0,1, le produit de ir par log2

et par y/h ; on observera que ic<3,2 , log 2 < 1, v^<2, et qu'ainsi S'^.^ss 3,2.1 +3,2.2+ 1.2 = 3,2 +6,4 -f 2= 11,6 ; on devra donc prendre (542)

«<rhr; or rb<0,008;

ainsi il suffira de calculer chaque facteur à moins d'un demicentième près. On trouvera de cette manière 3,14.0,30.1,71

VerrefUT relative d'un produit de phuiêurt faetevrs incommensurables

544. Puissances. Soit A* un nombre quelconque supérieur au facteur que Ton veut élever à la puissance m ; il faudra que la valenr de ce fecteur soit exacte à moins de

mA"-^»a f^^'

car SVi = mA*^*.

Si Ton veut traiter cette question directement, on dira : soit

A' la valeur approchée par défaut du nombre proposé ; en

prenant A'* au lieu de (A' + «)*> on commettra une erreur e

qui aura pour expression

• =(A'+e)-— A'«=:e~+mA'e-^ + î^^^:^ AV