mA'"*~*e, ou, ce qui revient au même

Mais on a évidemment

m (A'+ e)"^* =me'^^ +m{m — 1) A'e"*-*

donc Terreur c est moindre que m(A' + e)"^*6 et à fortiori moindre que mA^'^^^e, si A" > A' + « ; donc encore

mk""^-'^'

est plus petite que la somme des erreurs relatives de chaque facteur, Considcrons d'abord deux facteurs, A et B ; soient e, ef leurs erreurs absolues. L'erreur absolue du produit sera

AB— {A— e) (B— eO=Ae'+Be— ce';

Terreur relative du produit sera donc

AB ~B"*"a AB^B"^!'

ce qu'il fallait démontrer. On en déduit âicilement le cas d'uni nombre quelconque de facteurs.

*" L'erreur relative de la m"** puissance d'un nonibre est moindre que m fois Verreur relative de ce nombre.

34S. Division. 1® Le diviseur est exact et le dividende est incommensurable. Soient A et Ble dividende et le diviseur, et A— « la valeur approchée, par défaut, du dividende; le quotient

approché sera représenté par ^ » et, le véritable Tétant par ^p Terreur commise sera ^ : donc

2* Le diviseur est incommensurable ^ mais le dividende est exact. Supposons que Ton prenne le diviseur par excès et représentons-le par (B+e), le véritable étant désigné par B. L'erreur commise sur le quotient aura pour expression

A A __ Ag

B B + e^'BCB+e)*

de sorte qu'on devra avoir

Ac ^1

d'où Ton tire aAe<B*+Be, puis («A— B)e<BS et enfin

Désignons par B' un nombre quelconque <B; B** sera <B% et 5A— B' sera au contraire > SA — B ; par conséquent, la

* V erreur relative du quotient , lorsque le dividende seul est incommensurable, est égale à Verreur relative du dividende. En effet, Terreur abso-

lue du quotient est ^, le quotient exact est ^ ; l'erreur relative est donc

?:- = -, c'est-à-dire égale à Terreur relative du dividende.

fraction rr — 57 sera < rr — 5, de sorte qu'on devra prendre

oA— iJ ôA — 1>

^ < Bk—& ^^"'* ^^ ^^"^ simplement « < j^ [5].

car il est évident que tt < ^. __|., .

3^ Le dividende et le diviseur sont incommensurables. Je suppose que l'on prenne le dividende par défaut et le diviseur par excès ;

ainsi, le véritable quotient étant «j , le quotient approché sera

^^^ , de sorte que l'erreur commise sera

B B+e~"B(B+e)' on posera donc

(A+B)e^l ,, . ^ B* ^^-— <T, d'où e<

B(B+e)^*' ^"" ''--$(A+B)-li'

Soient B' un nombre quelconque < B, B*' au contraire un nombre >B, et A''unnombre>A; on aura évidemment B'^<B', S(A*'+B'0 — B'>5(A+B)— B, de sorte que la fraction

a(A^^+B^O— B^ sera moindre q^^ g^ 1 bj b '» P^r conséquent

la limite de l'erreur qu'on devra commettre sur le dividende et sur le diviseur sera donnée par la formule

* L'erreur relative du quotient, lorsque le diviseur seul est incommenr'

iurablef est moindre que Verreur relative du diviseur. Nous venons de voir,

en effet, que Terreur absolue oonunise sur le quotient «avait pour valeur

Xe A

dans ce cas ^ . , . ; or le quotient exact est - ; Terreur relative est donc

Atf A. e e '

^,p . : g = g3— , quantité plus petite que g, c'est^-dire que Terreurr e^

lative du diviseur.

OU plus simplement par

316. Dans la plupart des applications^ le quotient que Fon substitue au véritable doit être évalué en décimales ; mais alors si Ton néglige dans ce quotient les chiffres qui sont d*un ordre inférieur à celui dont est l'unité décimale qu'on a prise pour limite de l'approximation, il pourra se feire que cette erreur, ajoutée à celle dont ce quotient est déjà affecté, soit plosgraude que celle que Ton veut commettre. On évitera cet inconvénient en appliquant encore ici la règle que nous avons donnée à la page 288 pour la multiplication, c'est-à-dire que l'on prendra pour e une valeur 10, ou 100, ou 1000 fois plus petite que celle donnée par les formules que nous venons d'établir.

Exemple. Calculer à moins d'un demi-centième près la va-

leur de la fraction ■ , . , dans laquelle w représente le nombre

3,1415926535.... Pour appliquer ici la formule [7], nous poserons §=2000, B'=:4, 1, B"=4,2, et A''=2,2, ce qui donnera

^< Soo'u.U =HI§^? or c^^^^ fraction étant plus grande qu'un millième, nous devons prendre la valeur de ira moins de 0,001, ce qui nous conduit à diviser 2,141 par 4,142, car nous sommes convenus de prendre le dividende par défaut et le diviseur par excès (345, 3°). Le quotient est 0,516.... Gomme son troisième chiffre décimal surpasse 4, il est évident qu'il est plus près de 0,52 que de 0,51, de sorte que 0,52 est la réponse à la question.

* V erreur relative du quotient j lorsque le dividende et le diviseur sont incommensurables, est pltu petite que la somme des erreurs relatives du dividende et du diviseur. Soient, en effet, A— e le dividende approché par défaut, B-\-e' le diviseur approché par excès; Terreur absolue du quotient est A A— e Ae'+Bô ,, , ^. , Ae' + Be A Ac'+ Be

B ^ B+7 = Blïï+TJ ' ^ ^"^"^ ^^^^^^« '^"^ ^^° B(B+?) •• B = A(BT7)'

Afi'-f-Bc e' e quantité moindre que — Tr"^^ Ë"^Â » ^'^^^-à-dire moindre que la somme

des erreurs relatives du dividende et du diviseur.

Si le troisième chiffre décimal eût été plus petit que 4, il est évident qu'en ajoutant au quotient une quantité moindre que 0,0005 on n'aurait pas obtenu 0,515, et qu'alors ce quotient eût été plus près de 0,51 que de 0,52; donc on aurait dû prendre 0^51 pour sa valeur.

Si le troisième chiffre du quotient eût été 4, alors, en ajoutant à ce quotient une quantité inférieure à 0,0005, on aurait pu trouver un nombre plus petit ou plus grand que 0,515, de «orte qu'il n'y aurait pas eu de raison pour préférer 0,51 ou 0,52. Dans ce cas, il aurait fallu recommencer le calcul en prenant 0,0001 pour limite de e, et si le quatrième chitTre du nouveau quotient n'était pas un 9, il n'y aurait aucune incertitude, et l'on prendrait 0,51 ; mais si ce quatrième chiffre est un 9, il faudra recommencer le calcul en prenant 0,00001 pour limite de e*.