Racines. Pour extraire la racine m**"*» d^une quantité

* Les principes que nous avons donnés sur révaluation des erreurs relatives peuvent aussi être employés pour déterminer un produit ou un quotient avec une approximation donnée. En effet, pour calculer ce produit ou ce quotient à moins d'une unité de l'ordre de son m"* chiffre à partir de la gauche (ou en d'autres termes pour trouver ses m premiers chiffres), il faudra faire en sorte que

Terreur relative commise soit moindre que ttt- ou que (^^8)i

lu (K "t" 1) 10"~

«n désignant par K le premier chiffre significatif à ^gauche; or, cette erreur résultant des erreurs relatives soit des deux facteurs, soit du dividende et du diviseur, on verra facilement quelles erreurs relatives il conviendra de commettre sur ceux-ci, c'est-à-dire combien de chiffres il faudra prendre dans chacun d'eux (339).

Premier Exemple.— Calculer les cinq pretMers ehiffru significatifs à gauche du produit de 123,4567895 par 18,97654327 4 moins d'une unité de Vordre du dernier chiff)re calculé; en d^autres termes, calculer ce produit à

moins de ■ = — de sa valeur exaete. Pour que Terreur relative de ce

produit soit < ~, il suffit que Terreur relative commise sur chaque fletcteor

soit < 2 • Tn* ^^^^ ^^ ^" 34La), et à fortiori^ qu'elle ^oi* < 7g • {^ = fÂi* On prendra donc dans chaque facteur 6+1=7 chiffres à partir du premier

quelconque k, à moins de ^j multipliez cette quantité par S", e^

trayez la racine m^^* du plus grand nombre entier contenu dans h produit^ en ayant égard à la règle donnée à la page 288, et dUnses cette racine par $. La démonstration est celle même que nous avons donnée pour les racines carrée et cubique.

548. Pour faire une application de toutes les règles que nous avons établies, nous allons nous proposer de calculer à moins d*un demi-centième près la valeur de la fraction

7C»— log7 *

chiffre significatif à gauche, et Ton multipliera 123,4567 par 18,97654. On fera d'ailleurs usage du procédé de la multiplication abrégée (14ft) :

Le produit cherché est 2342 J; il est exact à moins d'une unité de Tordre de son cinquième chiffre significatif, c'est-à-dire que l'erreur absolue est moindre qu'un dixième.

Druxièmb Exemple. — Calculer les trois premiers chiffres du quotient de 25,2 paric=3, 1415926535...., d moins d*une unité de Vordre du dernier

chiffre calculé; en d'autres termes, calculer ce quotient à moins de r— = —

de sa Taleur exac^. Pour que l'erreur relative de ce quotient soit < JL jj

suffira que l'erreur relative du diviseur soit < ~ (note du n* 34L5, Z*") • On

prendra donc au quotient 3 + 1 = 4 chiffres, et Ton divisera 25,2 par 3,141. Le quotient 8,02 est exact à moins d'une unité de l'ordre de son troisième chif* fre significatif, c'est-à-dire que Terreur absolue est moindre qu'un centième*

iDS laquelle ir représente le nombre 3,141592653589793. . • .

est facile de voir : 1<» que ic étant compris entre 3, 1 et 3, 2,

)n carré est>9,61 et < 10,24; 2* que iç*> 9,61. 3 = 28,83 et

C 10,24 X 3,2 = 32,768 : que par conséquent v^î?> 5. D'ailleurs, log 5 > 0,61 et log 7< 1. Ou fera donc dans la ormule [7]

et Ton trouvera, d'après la règle de la page 288, e< aoVj?;^^ = 7iuuu= 0,009. • • . Ainsi il suffira que les deux termes ne soient pas erronés chacun de neuf millièmes. En conséquence, comme le numérateur doit être pris par défaut (545, 3*), ic' et log 5 devront être évalués par défaut à moins de 2 millièmes (54S), et ^T? par excès à moins de 4 millièmes (545) ; mais il sera plus commode de calculer ces trois valeurs à moins de 0,001. Commençons par y^n*. Pour être sûr de l'approximation demandée sur y^ic*, il nous faudra calculer cette racine avec quatre décimales, et par conséquent ic* avec huit; en conséquence nous déterminerons, par la méthode d'Oughtred, n* à moins d'un billionième, et nous en déduirons i^ à moins d'un cent-miilionième. On trouvera ainsi

ic«= 9,8696044007

it>= 9,86960440078

it»— 31,00627667

et par suite v/?c^ =5,5683. • . , de sorte que la valeur par excès de ^T^ est 5,569 à moins d'un millième près : donc

ir»=9,869 log 5=0,602

^+log 5 — v/i?=4,902.

Le dénominateur de la fraction proposée devant être calculé

par excès, nous prendrons

log 7 = 0,845

n»— log 7 =30,162.

Enfin, en divisant 4,902 par 30,162, on trouvera 0,1625, de sorte que la valeur demandée est 0,16.

549. Il arrive souvent que Ton doit opérer sur des nombres qui ne sont qu'approchés, et on a alors, en général, des idées fort peu exactes sur la grandeur des erreurs qui peuvent affecter les résultats que l'on obtient. Nous allons nous occuper de l'évaluation de ces erreurs, et d'abord nous observerons que, comme le calcul des nombres décimaux se ramène à celui des nombres entiers, nous pouvons ne considérer que de pareils nombres ; et, pour déterminer l'erreur définitive, il suffira de multiplier ou de diviser celle relative aux nombres entiers par l'unité suivie d'autant de zéros que Ton devra porter la virgule de rangs vers la droite ou vers la gauche du résultat entier que l'on aura trouvé.

350. Soient a et 5 deux nombres entiers supposés erronés de moins d'une demi-unité : il est clair que nous aurons une limite de l'erreur qui peut affecter leur produit, si nous les supposons tous deux erronés d'une demi-unité et dans le même sens. En conséquence, le véritable produit devra être

Donc Terreur commise, en substituant le produit ab à celui-ci» est sensiblement ^ (a-}-6); mais ^ {a+b) contient au plus autant de chiffres qu'il y en a dans le plus grand des deux nombres a et & : donc, un produit de deux facteurs j exacts chacun à moins d^une demi^tmitéy peut avoir autant de chiffres erronés sur sa droite que le plus grand de ces facteurs contient de chiffres.

On verra de même que si Pun des deux facteurs est exacte ce produit pourra avoir autant de chiffres erronés qu'il y a de chiffres dans la moitié de ce facteur.

^a;e7/ipte . Soient les deux facteurs 734,1 et 8,24, exacts chacun à moins d'une demi-unité de Tordre dont est son dernier chiffre décimal. Le produit des nombres 7341 et 824 pourra avoir 4 chiffres erronés, et comme le produit demandé doit avoir 3 décimales, on voit que Ton ne pourra pas même compter sur le chiffre des unités de ce dernier.

331. Passons à la division, et supposons d'abord que le dividende seul soit erroné et qu'il le soit d'une demi*unité.

Le véritable quotient sera donc — r^, de sorte que Terreur commise en prenant r pour sa valeur sera

Donc, quand le dividende sera erroné de moins d'une demi* unitéy Verreur commise sur le quotient sera moindre que Vunité divisée par le double du diviseur; ainsi il sera facile de Tévaluer dans chaque cas particulier.

Exemple. Diviser 2,76 par 0,1456, le dividende étant erroné de moins d'un demi-centième. Ramenons cette division à celle de deux nombres entiers tels que le dividende soit erroné d'une demi-unité au plus, et nous aurons ainsi à diviser 276 par 1456 ; donc Terreur commise sur le quotient de cette division sera moindre que înViB<i-Toïïô; "fiais ce quotient sera 100 fois

et par suite v/?c^= 5,5683. • • , de sorte que la valeur par excès de v^T^ est 5,569 à moins d'un millième près : donc

ir»=9,869 log 5=0,602

ii*+log5 — v/7?=:4,90:2.

Le dénominateur de la fraction proposée devant être calculé

par excès, nous prendrons

log 7 = 0,845 n»— log 7 =30,162.

Enfin, en divisant 4,902 par 30,162, on trouvera 0,1625, de sorte que la valeur demandée est 0,16.

350. Soient a et 6 deux nombres entiers supposés erronés de moins d'une demi-unité : il est clair que nous aurons une limite de l'erreur qui peut affecter leur produit, si nous les supposons tous deux erronés d'une demi-unité et dans le même sens. En conséquence, le véritable produit devra être

Donc Terreur commise, en substituant le produit ab à celui-ci» est sensiblement ^ (a +6); mais é (a+6) contient au plus autant de chiffres qu'il y en a dans le plus grand des deux nombres aetb : donc, un produit de deux facteurs ^ exacts chacun à moins éCune demi^tmiU, petU avoir autant de chiffres erronés sur sa droite que le plus grand de ces facteurs contient de chiffres.

On verra de même que si Fun des deux facteurs est exacte ce produit pourra avoir autant de chiffres erronés qu'il y a de chiffres dans la moitié de ce facteur.

JSo^emp/e. Soient les deux facteurs 734,1 et 8,24, exacts chacun à moins d'une demi-unité de Tordre dont est son dernier chiffre décimal. Le produit des nombres 7341 et 824 pourra avoir 4 chiffres erronés, et comme le produit demandé doit avoir 3 décimales» on voit que Ton ne pourra pas même compter sur le chiffre des unités de ce dernier.

551. Passons à la division, et supposons d'abord que le dividende seul soit erroné et qu'il le soit d'une demi*unité.

Le véritable quotient sera donc — r^, de sorte que Terreur commise en prenant r pour sa valeur sera

^ — b--Yb L8].

Donc, quand le dividende sera erroné de moins d'une demi' unité j Verreur commise su/r le quotient sera moindre que Funité divisée par le double du diviseur; ainsi il sera facile de Tévaluer dans chaque cas particulier.

Exemple. Diviser 2,76 par 0,1456, le dividende étant erroné de moins d'un demi-centième. Ramenons cette division à celle de deux nombres entiers tels que le dividende soit erroné d'wne demi-unité au plus^ et nous aurons ainsi à diviser 276 par 1456 ; donc Terreur commise sur le quotient de cette division sera moindre que 2nVr6<é-Toïïïïî ^^^^ ce quotient sera 100 fois

moindre que le quotient demandé, donc celui-ci ne sera pas erroné d'un demi-dixième. Or, en effectuant la division de 2,76 par 0,1456, on trouve 18,95...; si donc le dividende est erroné par excès, 1 8,9 sera la valeur du quotient à moins éFun dianème; mais si le dividende est erroné par défaut, on ne pourra pas affirmer que 18,9 n'est pas trop faible d'un dixième.

5tf2. Supposons maintenant que le dividende et le diviseur soient tous deux erronés d'une demi-unité. L'erreur dont sera affecté le quotient des deux nombres a et 6 sera maximum quand ils seront tous deux erronés en sens contraire. Dans cette

hypothèse, le véritable quotient devrait être ^— ^, tandis que

nous prenons pour sa valeur t; donc l'erreur que nous commettons est

Si l'on observe que (&=p|) est évidemment plus grand que 6— 1, on verra que l'on pourra prendre

« pour limite de l'erreur commise.

Supposons, par exemple, qu'on ait à diviser le logarithme de S par celui de 3; on devra faire a=0,30103 et 6=0,47712; de sorte qu'en prenant f^^ au lieu du quotient de ces deux logarithmes, on commettra une erreur moindre que

Si Ton veut évaluer cette erreur en décimales, on observera que cette fraction est plus petite que a^oo^fe* = -^^pfii^, d'où l'on voit que la limite de l'erreur sera inférieure à 0,00003. Si donc on réduit f^^ en décimales, comme on trouvera que le cinquième chiffre est un 3, on en conclura que Ton peu

compter sur les quatre premiers, et qu'ainsi p^ = 0,6309,

à moins éPim dix^millième.

Mais si, le quotient étant erroné par défaut, le cinquième chifEre était un 7, on ne serait pas sûr du quatrième chiffre ; car ,en ajoutant Terreur à la partie du quotient qu'on néglige, il pourrait se faire que la somme surpassât un dix-millième.

De même, si, le quotient étant erroné par excès, le cinquième chiffre était plus petit que 3, il pourrait arriver qu'en retranchant une quantité moindre que 0,00003 de ce quotient, le chiffre des dix-millièmes fût altéré, de sorte que Ton ne pourrait pas compter sur ce chiffre.

* 3tt5. On peut mettre la formule

i(a+b) b{bzpi)

sous une forme qui permette de reconnaître sans calcul sur combien de chiffres on peut compter. Nous diviserons pour cela le numérateur et le dénominateur par 6, ce qui donnera

Ainsi, en représentant par q le quotient demandé de a par 6, on pourra prendre pour limite de l'erreur commise sur ce quotient

Cette quantité sera maximum quand b sera le plus petit et g le plus grand possible. Supposons donc que 6 renferme n chiffres et que q en contienne n'\-fn; le minimum de 6 — 1 sera un nonû)re formé de (n — 1) chiffres 9, et le maximum de g-}- 1 sera l'unité suivie de {n+m) zéros. Alors le quotient de g+ 1 par 6— 1 sera composé de (w-j-2) cliiffres, dont le premier

sera 1; de sorte que ce quotient sera moindre que deux unités de Tordre (m+i). Donc sa moitié, c'est-à-dire la limite de Perreur, sera moindre qu'une unité de cet ordre, et par conséquent les (m +2) derniers chiffres du quotient pourront seuls être erronés, pourvu toutefois que le (m+3y*^ chiffre à gaudie ne soit pas un 9 si le quotient est erroné par défaut» ou ne soit pas un zéro s'il l'est par excès*; mais ce quotient se compose de n-f m chiffres, donc il en aura n+m — (m-|-8)s=n — 2, dont le dernier ne sera pas m général erroné d'une unité.

Les raisonnements qui précèdent s'appliquent évideounent au cas où m serait nul.

Mais si q contenait moins de chiffres que 6, on ramènerait ce cas à celui où m est nul, en écrivant à la droite du dividende a un nombre convenable de zéros; car le quotient et l'erreur seraient tous deux multipliés par l'unité suivie de ce nombre de zéros.

Concluons donc que, quand le dividende et le diviseur seront tous deux erronés de moins d'une demir-uniléj si n représente le nombre des chiffres du diviseur , on pourra toujours compter sur les (n — 2) premiers chiffres à gauche du quotient^ à moins que^ si le quotient doit être erroné par défaut ou par excès ^ le (n — !)""• de ces chiffres ne soit un 9 ou un zéro.

En appliquant cette règle àl'exemple du numéro précédent, on verra qu'on né pourrait compter que sur les trois premiers chiffres de ce quotient, tandis que la formule [9] nous a appris que les quatre premiers étaient exacts.

De même, si Ton a à diviser 9,6 par 0,0004, je ramène cette division au cas de deux nombres entiers erronés chacun cfune iemi'-unitéf ce qui me conduit à diviser 96 par 4. La règle, ainsi

* On conçoit, en effet, qu'en ajoutant une quantité moindre qu'une unité de Tordre (m-f 2) au nombre exprimé par les (m +2) derniers chiffres du quotient, on ne formera pas une unité de l'ordre (m + 3], si le (m + 2)^^™* chiffre n'est pas un 9, et qu'en retranchant de ce même nombre une quantité moindre qu'une unité de Tordre (m + 2), le (m + 3)'*'^* chiffre ne sera pas non plus altéré, si lé (m +2)*^'"* n'est pas un zéro.

que la formule |. . .^ . , indiquent que l'on ne peut pas même compter sur le premier chiffre du quotient; mais en employant la formule plus exacte i- ^?J,n > ^^ reconnaîtra que

le quotient ne peut pas être erroné de 4 mille : donc le quotient demandé est 20000 à moins d'une demi-dizaine de mille près.

*SK4. Proposons-nous maintenant d'extraire la racine carrée d'un nombre a exact à moins d'une demi-unité. L'erreur conimise en substituant ce nombre à azh^ sera

^ô+î— ^, ou v^a— V^— i*

Multiplions et divisons la première expression par v^a-f-i+V^^ et la seconde par ^â+v^a — i, et elles deyiendront respectivement«

" uî ;=, quantité plus pi^tite que — ;=,

et "7= — ^, , quantité plus petite que

On pourra donc prendre ■ . pour limite de l'erreur com-

kya — 1

mise, et on l'évaluera facilement en calculant les deux premiers

chiffres de \^a— !•

Veut-on, par exemple, la racine carrée du nombre 8,235, supposé trop faible de moins d'un demi-millième ; cette racine

est égale ^ y B2350 q^ conmie le nombre 82350 est erroné de ® 100

moins d'une demi-dizaine, au lieu de l'être d'une demi-unité,

la limite de l'erreur que Fou commettra en extrayant sa racine

carrée sera — ===; mais la racine carrée de 82349 com-

mence par 28; donc cette fraction est <r-2gQ< 0,01; donc

l'erreur commise sur la racine carrée de 8,235 sera moindre

que -^=0,0001. Ainsi Ton pourra pousser le calcul de cette

racine jusqu'à la troisième décimale; mais si Ton va jusqu'à la quatrième décimalCi on trouvera 2,8696.... On voit par là que 2,870 est la racine demandée, à moins d'un demi-millième. En effet, si l'on ajoute à 2,8696.... une quantité moindre qu'un dix-millième, on obtiendra un nombre moindre.que 2,8698.

"555. On peut déterminer, à Tinspection du nombre proposé, sur combien de chiffres on peut compter dans l'expression de sa racine carrée. Supposons, en effet, 1* que le nombre de ces chiffres soit 2n : Terreur sera la plus grande possible lorsque a sera le plus petit possible, c'est-à-dire 10*"~*, et alors (a — 1} sera composé de (2n — 1) chiffres 9; donc sa racine sera plus grande que trois unités de l'ordre n, donc

V=î<T2JF^<rJï^- Ainsi, pourvu que le (n-f !)«»•

chiffre décimal ne soit pas un 9 si la racine est erronée par défaut, ou un zéro si elle l'est par excès, on pourra compter sur n décimales; et comme la racine a d'ailleurs n chifiCres entiers, on en conclut que l'on pourra compter sur 2n chiffres, c'est-à-dire sur autant de chiffres qu'il y en a dans a.

2* Supposons que a contienne (2n-t- 1) chiffres : son minimum sera donc 10'*, et par conséquent a — 1 sera composé de

2n chiffres 9, de sorte que ^a^l sera plus grand que neuf

4^JZn: 36.10»-^^10'

l'on conclura que l'on peut compter. sur w-t-l+n=2n+l chiffres. Donc on pourra compter^ en général, sur autant de chiffres quHl y en a dans le nombre proposé^ et le dernier de ces chiffres ne sera pas erroné d'une unité de l'ordre dont il est.

Si l'on applique cette règle à l'exemple précédent, on verra que, comme le nombre 82350 est erroné d'une demi-dizaine au lieu de l'être d'une demi-unité, il ne faut pas tenir compte du dernier chiffre ; de sorte que l'on ne devrait compter que sur

unités du n**"* ordre : donc ■ : , < o^ ,n»-i <T7v;> d'où

4 chiffres de la ratine dans 82350, et parlant sur les millièmes seulement de celle de 8,235 : ceci est d*accord avec ce que nous avons vu plus haut.