ET PAR QUOTIENT

3S6. Si Ton convient de représenter en général par a, r, /, n et 5 respectivement le premier terme y la raison, le dernier terme, le nombre et la somme des termes d'une progression par rliffércnce, les régies que nous avons établies aux n**' 2G7 et 27i donneront

J=a+(n-l)r [1], et s=^.^à±i [2].

On a donc ainsi deux équations cnlro les cinq qnanlités a, r, /, n et s; de sorte que, si Ton donne trois (luclconquos de ces quantités, il sera facile, àTaide des principes élémentaires de l'algèbre, de calculer les deux autres. Or comme avec ces cinq quantités prises deux à deux pour inconnues on peut former les dix combinaisons

a et r, a et/, aetn, aet^, ret/, r etn,ret s,leX n, I et s, net 5, on voit qu'il y a ainsi dix problèmes à résoudre sur les progressions par différence. Nous ne nous occuperons que du huitième.

Problème. Étant donnés a, r et s, on demande 1 et n. On remplacera dans [2] l par sa valeur donnée par [1], et il viendra

^^j2a+(n-0ri„^3j^ d'où „•+ (!^ -^J =o [4].

Ainsi, en résolvant cette équation, on obtiendra la valeur de n, et, en la substituant dans la formule [l], on aura celle de /.

n étant un nombre entier positif, il faudra, pour que le problème soit possible, que les racines de l'équation [4] soient réelles, et qu'il y en ait au moins une qui soit positive et entière. Si r et s sont de signes contraires, il faudra, pour que

les racines de l'équation [4] soient réelles et positives, que

Ton ait

(2a— r)*+8r5>0 et 2a — r<0;

et si, de plus, les deux racines de l'équation [4] sont entières, le problème aura deux solutions.

Si r et 5 sont de mêmes signes, le dernier terme — —'de

l'équation [4] sera négatif, et les deux racines seront réelles et de signes contraires; de sorte que, si la racine positive est entière, le problème aura une solution.

557. Si la racine négative est aussi entière, on pourra sepro* poser d'en trouver VinUrprétation.

Pour y parvenir, on changera n en — n dans la formule [3J, ce qui donnera

j2a+(-n-l)r}(-n) . {-2a+(n+l)rtn

5 — - g , ou 5 — * g ,

en changeant les signes des deux facteurs du numérateur, ce qui n'allère pas sa valeur. Ainsi il faudra, en se reportant à la formule [2], que — 2a-f {n+ l)r représente la sommedes deux extrêmes de la progression. Mais si l'on désigne par x le premier de ces termes, cette somme aura pour expression 2a? -|- (n— l)r ; donc on devra avoir

2j?+(n— l)r= — 2a4-(n+l)r, d'où j;=-^(a— r);

de sorte qu'il faudra faire commencer la progression par

388. Pour les progressions géométriques, la traduction algébrique des règles que nous avons posées aux n"" 275 et 27(» donnera les deux équations

J=ar-[5] et » = ^^ [6];

en conséquence, on pourra se proposer, sur les progressions géométriques, dix problèmes analogues à ceux que nous avons indiqués (556) sur les progressions arithmétiques.

La résolution du deuxième, du quatrième, du septième et du neuvième ne présente aucune difficulté; le premier et le cinquième dépendent d'équations d'un degré supérieur au second si n>> 3 ; quant aux quatre suivants, ils présentent une application du calcul des logarithmes.

350. Problâbis. Étant donnés r, I, s, calculer a et n. De l'équation [6] on tire immédlalcnicnt

a=lr — 5(r — 1);

substituant dans l'équation [5]^ on trouvera

d'où, en prenant les logarithmes des deux membres (281 et

logi=log jir— «(r— 1) } + (w— l)logr,

et, par suite.

^i'i \oçi:l—\og{lr—s{r—\) \

logr

i^GO. Problème. Étant donnés a, 1 et s, trouver r et n. On tire de l'équation [6]

mettant celte valeur de r dans [5], il viendra

d'où, en prenant les logarithmes (281, 282 et 285),

logi==logaH-(n— l){log(«— a)— log(5— 01,

et partant

^ ,i lo^^— lopra

log(s— a) — log(5— 0*

S61. Problème. Étant donnés a, r, s, calculer 1 et n. L'équation [6] donne

Je substitue cette valeur de l dans l'équation [5] et je trouve successivement

log ja+(r— 1)5} — logr=loga-}-(n— l)logr, •og \a+{r— \)s\ =loga+nk)gr, ^ logja+(r — 1)5{— logg

SG2. Problèbie. j^ram donnés a, r, 1, trouver s et n.

L'équation [6] donné immédiatement la valeur de s. Quant à celle de n, on la tire de l'équation [5] en prenant les logarithmes des deux membres. On trouve ainsi

logI=loga+(n-l)logr, d'où n=l + Î2^i=i^.

5G5. M. PoiNSOT a publié, dans le dixième volume du Journal de Mathématiques de M. Liouville, un Mémoire très-remarquable sur la théorie des nombres, et duquel nous allons extraire plusieurs propositions que cet habile géomètre a démontrées avec une simplicité qui permet de les faire entrer dans un cours d'arithmétique. Ces propositions formeront ainsi le complé* ment de notre chapitre lU.

Il résulte du principe du n"" 81 que si plusieurs nombres sont premiers avec un autre nombre N, leur produit est premier avec ce nombre N. La démonstration est la même que celle donnée au no 83.

564. Si Ji et V sont deux nombres premiers entre eux^ les restes que Von trouvera^ en divisant par N les produits obtenus en multipliant par P toiLS les nombres 1, a, b, c,..., (N — 1) inférieurs et premiers à N, seront^ dans un aiUre ordre^ ces mimes nombres 1, a, b, c,..., (N — 1).

D'abord, tous les produits P. 1, P. a, P.ô, P.ç,..., P.(N— 1) seront premiers avec N (365), et par conséquent tous les restes que l'on trouvera jouiront de la môme propriété; car tout facteur commun au diviseur et au reste d'une division est aussi commun au diviseur et au dividende (démonstration du n'^TS). En second lieu, si deux restes étaient égaux, la diflérence des produits correspondants, tels que P.& etP.d, serait divisible parN, et cette dififérence P.d — P.6 = P.(d— 5) est un de nos produits; ainsi les restes que Ton trouvera, étant premiers avec N, différents, et en môme nombre que les quantités 1, a, &, e,..., (N— 1), seront, dans un certain ordre, ces mêmes quantités 1, o, 6, c,..., (N — 1).

565. Si n marqua combien U y a de nombres inférieurs et premiers avec N, et qufi P soit un nonibre premier avec N, P* — 1 est divisible par H,

Soient 1, a, fr, c,..., (N— 1} les n nombres inférieurs et premiers à N : multipliez tous ces nombres par P, vous obtiendrez n produits qui, divisés par N, donneront pour restes, dans un certain ordre, tous les nombres l,a,6,c,..., (N— 1), d'après ce qui précède(3C4); par conséquent le produit PM.a.6.c....(N — 1) desnombresP.l,P.a, P.fc, P.c,..., P.(N — 1) est un multiple de N, augmenté du produit 1 . a.b.c. . . . (N — 1) de ces restes* (7 1 ).

* n est évident que si Ton considère nos deux premiers produits P.l et P.a, chacun d'eux peut être regardé comme un multiple de N augmenté du reste de la division de ce nombre par N ; de sorte qu'en multipliant ces deux produits entre eux, le résultat sera composé de quatre parties, dont trois seront des multiples de N, et dont la quatrième sera le produit des deux restes (démonstration du n* 71), c'est-à-dire qu'il sera un multiple de N augmenté de ce produit des deux restes. En multipliant ce produit par notre troisième produit P.&, on obtiendra de même un multiple de N augmenté du produit des trois premiers restes, et ainsi de suite.

Donc la différence entre P*.l.a.6.c....(N — l)ell.a.6.c...(N— 1), c'est-à-dire (P* — l)Xl.a.6.c....(N — 1), est divisible par N; mais N est premier avec le second facteur l.a.6.c.... (N — 1); donc il doit diviser le premier P" — 1 ; ce qu*il fallait démontrer.

566. Si N est un nombre premier absolu^ auquel cas il est nécessairement premier avec P, n=N — 1, car tous les nombres qui sont inférieurs à N sont premiers avec lui; et on voit alors que P*"* — 1 est divisible par N. Donc, si N est un nombre premier qui ne divise pas P, P""' — 1 est divisible par N. Tel est le fameux théorème de Format.

567. Le carré du produit de tous hs nombres inférieurs et premiers à un nombre entier qtiekonque N, étant diminué de Vunitè^ est toujours divisible par N.

Soient l,a,6,c,..., (N — 1) les n nombres inférieurs à N et premiers avec lui : si vous divisez leur produit successivement par chacun d'eux, vous obtiendrez n quotients différents entre eux et tous premiers avec N (56S) ; et si vous divisez chacun de ces quotients par N, vous retrouverez pour restes, dans un certain ordre, lesnnombres l,a,6,(j,..., (N — 1). Car ces restes sont premiers avec N (démonstration du n*» 568), et de plus ils 3ont tous différents. En effet, s'il y en avait deux qui fussent égaux, la différence des quotients qui, divisés par N, auraient donné ces deux restes égaux, serait divisible par N, ce qui ne se peut; car, d'après leur formation, ces quotients ont (n— 2) facteurs communs et deux facteurs inégaux, de sorte que leur différence est de la foi me l.c.d....(N— 1)X(&— a); et si N, qui est premier avec le facteur l.c.d....(N— 1), divisait ce produit, il devrait diviser l'autre facteur 6— a, ce qui est impossible, puisque 6 et fl sont <N. Donc les n restes que Ton obtiendra seront les n nombres l,a,6,c,..., (N — 1).

Donc le produit de ces n quotients est un multiple de N augmenté du produit l.a.ô.c,.,. (N— 1), que, pour abréger, nous

désignerons par A ; donc la différence 7 • ;j^ "jj • • • m ^ — ^>

c'est-à-dire -j— 'A ou A*"* — A, est un multiple de N; donc le

produit A* — A* de cette différence par A en est aussi un. Or, en vertu du théorème démontré au n*» 3G8, A* — 1 est pareillement un multiple de N ; donc la différence A* — 1 entre A* — A* et A* — 1 est divisible parN; ce qu'il fallait démontrer.

368. Gomme A" — 1 est le produit de A + 1 par A — 1 , il s'ensuit que si N est un nombre premier, l'un de ces facteurs doit être divisible par N. M. Poinsot a montré, par des considérations qui ne sauraient trouver place ici, que c'est le premier qui jouit de cette propriété ; d'où cette conséquence : Le produit de tous les nombres consécutifs 1, 2, 3, 4, 5,...., (N — 1), augmenté de Funité, est divisible par N, lorsque N est un nombre premier. C'est là l'énoncé d'un théorème dû à Wilson^ et que Lagrange a démontré le premier.

569. Problèbo:. Combien y a-t-il de nombres inférieurs à un nombre donné N et qui soient premiers avec lui?

Supposons le nombre N décomposé en ses facteurs premiers^

et soit N = a»'6«(f Si de la suite naturelle des nombres

If 2, 3, 4, 5, ... jusqu'à N, on ôte tous les multiples de a, que des nombres restants on ôte tous les multiples de b^ et ainsi de suite, il est clair qu'on aura ôté tous les nombres qui peuvent avoir avec N quelque commun diviseur. Ainsi les nombres restants, qui ne peuvent contenir aucun des facteurs simples de N, seront nécessairement premiers avec N. Il s'agit donc de trouver combien il doit rester successivement de ces nombres à mesure qu'on reti*anchera de la suite

1, ^, <5, 4, Uy....j vi

tous les multiples de a, et du reste tous les multiples de 6, et du nouveau reste tous les multiples de c, et ainsi de suite.

Or, si p est un nombre premier avec a et qui divise n, il est facile de voir que les termes de la progression par différence

^ a . 2a . 3a . 4a • 5a.. . .na

que p divise, sont

a.p, 2a. p, 3a.Py ...1 ^.a.p,

de sorte que ces termes sont en nombre marqué par ~ ; en

effet, le plus petit multiple de a et de p est ap (95), et si deus termes de celte progression sont divisibles par p, leur différence doit rétre aussi, de sorte que cette diffërence ne peut pas ôlrc moindre que «p.

Gela posé, on voit que la suite

étant une progression par différence, dont la raison est égale

au premier terme, le principe que nous venons d'établir pourra

s'y appliquer, et qu*en conséquence le nombre des multiples

N de a qu'elle renferme est -. On aura donc, pour le nombre N'

N des termes restants, quand on ôte les - multiples de a.

N'=N-^=NYl~iV

Actuellement de ces N' nombres il faut ôter les multiples

N' de b ; or, je dis qu'il y en a -r». En effet, je puis considérer ces

N' termes comme composés de la suite des N premiers moins la suite des multiples de a qu'on a soustraits. Or, dans la pre-

mière suite, il y a t multiples de 6, de même qu'il y a - multiples de a; et dans la seconde, qui est aussi une progression arithmétique va. 2a. 3a. 4a.... Aa=N*, il y a pareillementmultiples de b; donc, dans les N' termes qui restent, après la

* On a représenté, pour abréger, - par Â, et on désignera -r- parB.

première opération, il se trouve -r— -r= — z — = t-, termes

divisibles par h ; donc on a, comme plus haut, en appelant N" le nombre des termes qui restent après la suppression des multiples de 6,

Maintenant, de ces nombres restants il faut ôter tous les

multiples de e; or je dis que dans ces N" termes il y en a —

qui sont divisibles par c. Car je puis regarder ces N^ termes

N' comme composés des N' précédents, moins les-r- multiples de

b qui y sont contenus. Mais de môme que Ton a démontré que,

N' dans la suite des N' nombres, il y en a -r- divisibles par b, de

N' même on prouvera qu'il y en a — qui sont des multiples

N' dec; d'un autre c6té, dans la suite des r"= B multiples de 6, il y

en a - qui sont divisibles par e (car cette suite n'est autre chose

que les multiples de b pris dans N, moins les multiples de b pris

N dans les - multiples de a); donc, dans les N'^ termes, il y en a

vt n V' n N"

- — -= =— - divisibles parc; donc, en ôtant les mul-

tiples de c, on aura pour le nombre N* de ceux qui restent N"=«.-l'=N'.(-i)=N.(.-L). (.-!).(.- 1).

d'après ce qui précède, et ainsi de suite ; donc

Ce théorème est dû à Eulcr.