CHAPITRE II

CALCUL DES NOMBRES LiMIERS.

8 I. ADDITION. t'

14. L'addition est une opération qui a pour but de réunir plusieurs nombres en un seul^ que Vori appelle somme ou total.

15. Là somme de deux nombres devant contenir toutes leurs unités, il est évident que, pour les additionner, il faut ajouter successivement à l'un d'eux toutes les unités qui sont contenues dans l'autre. Veut-on, par exemple, ajouter quatre à cinq; on dira, en comptant sur ses doigts jusqu'à ce que l'on soit arrivé au quatrième : cinq plus un, six; plus un, sept; plus un, huit; plus un, neuf; de sorte que cinq et quatre font neuf. Il serait facile d'étendre ce procédé à l'addition de tant de nombres que l'on voudrait. Maïs on sent que si les nombres à additionner étaient un peu*grands, l'opération deviendrait impraticable par sa longueur. On a donc dû chercher une méthode plus simple. Voici la règle générale que l'on suit :

16. Pour additionner plusieurs nombres^ écrivez ces nombres les uns au-dessous des autres , de manière que les unilés de même ordre soient dans une même colonne; soulignez le dernier nombre, pour le séparer du résultat ^ que vous écrirez au-dessous; additionnez successivement^ en commençant par la droite, les nombres contenus dans chaque colonne; si la somme ne sur^ passe pas neuf, on récrira telle qu'on Vaura trouvée; si elle contient des dizaines f vous écrirez seulement ses unités, et vous retiendrez ses dizaines, pour les ajouter à la colonne suivante, sur Içtqnelle il faudra opérer comme sur la précédente^ et ainsi de

kiite jusqu'à la dernière colonne , au-dessous de laquelle vom écrirez la somme trouvée*

Il est clair qu'en opérant ainsi on aura effectué l'addition des nombres proposés : car le résultat contiendra toutes leurs unités simples, toutes leurs dizaines, toutes leurs centaines^etc^ et par conséquent toutes leurs unités.

De plus, l'addition des nombres contenus dans chaque colonne ne présentera pas de difficulté, puisqu'on n'aura jamais qu'à ajouter un nombre d'un seul chiffre à un autre nombre, ce qui est facile (15), et même les résultats de ces additions partielles se gravent bientôt dans la mémoire.

Exemple. Additionner les nombres 725, 9152, 2189, 73 et 6. On disposera l'opération comme ci-dessous :

Somme.* . . . 12145

puis on additionnera les nombres contenus dans la première colonne, en disant : 5 et 2, 7 ; et 9, 16; et 3, 19; et 6, 25. On n'écrit que les 5 unités , et l'on retient les 2 dizaines , pour les additionner avec les nombres de la deuxième colonne, ce qui donnera 24 ; et ainsi de suite jusqu'à la dernière colonne à gauche, dont la somme, augmentée de la dizaine qui a reflué de la colonne précédente, forme le nombre 12, que Ton é.crit à la gauche des chiffres déjà trouvés. La somme demandée est ainsi 12145.

17. On appelle preuve d'v/ne opération une seconde opération que l'on fait pour s'assurer de l'exactitude de la première : d'où il résulte que, quoique la preuve d'une opération satisfasse aux conditions qui lui sont imposées, on ne doit cependant pas en conclure rigoureusement que cette opération soit exacte, puisque la preuve, étant une opération, a elle-même besoin d'une

preuve, laquelle en nécessite une aussi, et ainsi de suite à l'infini. Mais le concours des circonstances nécessaires pour qu'une preuve soit fausse est si difficile à rencontrer, que la probabilité que donne une preuve équivaut presque à une certitude.

18. Pour faire la preuve d'une addition, il suffit de recommencer le calcul dans un ordre différent de celui qu'on a suivi d'abord : si, par exemple, on a fait l* addition des différentes co* lonnes en, allant de haut en bas, on la refera en comptant de bas en haut; et si le résultat de cette seconde opération est identique avec celui de la premier e^ on en conclura que cette première opéror tion a été bien faite.

Sw- "^^ S "• SOUSTRACTION.

10. La SOUSTRACTION est une opération qui a pour but de dé^ composer un nombre donné en deux parties, dont Vune est connue. Le résultat se nomme reste, excès ou différence.

Il est évident d'après cela, que, pour soustraire un nombre d'un autre, il suffit d'ôler successivement du plus grand toutes les unités du plus petit. Veut-on , par £xemple, retrancher quatre de neuf; on dira, en comptant sur ses doigts jusqu'à ce que l'on soit arrivé au quatrième: neuf moins un, huit^ moins un, sept; moins un, six; moins un, cinq. Ainsi, en soustrayant quatre de neuf, on trouve cinq pour reste. On dit aussi que ce nombre cinq exprime V excès de neuf sur quatre ^ ou la diffé-rence de quatre à neuf.

20. Si le nombre à soustraire était très-grand, l'opération effectuée de la manière précédente deviendrait presque impossible. Or il est évident que, si des unités, dizaines, centaines, etc., du plus grand nombre, on soustrait respectivement les unités, dizaines, centaines, etc., du plus petit, on aura^ soustrait du plus grand nombre toutes les parties du plus petit et par conséquent ce plus petit lui-même. L'opération d'ailleurs ne présentera pas de difficulté, puisqu*on n'aura ainsi à sous-

traire que des nombres d'un seul chiffre (10). Mais il peut arriver que quelques-uns des chiffres du nombre à soustraire surpassent ceux qui expriment des unités de môme ordre dans le nombre dont on soustrait.

Si, par exemple, on voulait soustraire 29 de 67, on serait conduit à soustraire 9 de 7, ce qui ne se peut pas. On rendra évidemment la soustraction possible en ajoutant dix unités à 7, ce qui fera 17; mais on aura ainsi augmenté le nombre dont on soustrait, et par conséquent le reste, de dix unités : il faudra donc diminuer ce reste d'autant. On y parviendra en ajoutant dix unités au nombre à soustraire (ce qui revient à ajouter une unité au chiffre 2} : car ayant retranché une dizaine de plus, il restera une dizaine de moins. Ainsi, après avoir augmenté le reste d'une dizaine, on l'aura diminué d'une dizaine; donc il n'aura pas changé de valeur. On dira donc : 9 ôté de 17, il reste 8, et je retiens 1 ; et 2 font 3, ôté de 6, il reste 3; le reste est donc 38.

21 . Concluons de ce qui précède la règle générale suivante : Pour soustraire un nombre d'un autre, écrivez le plus petit sous le plus grand, de manière qu§ les unités de même ordre se correspondent; soulignez le plu^ petit nombre, pour le séparer du reste, que vous écrirez au-dessous; soustrayez successivement, en commençant par la droite, chaque chiffre du nombre inférieur de celui qui lui correspond dans le nombre supérieur; si Vune de ces soustractions partielles ne peut pas s'effectuer, augmentez de dix unités le chiffre dont vous voulez soustraire, mais retenez une unité pour V ajouter au chiffre à gauche de celui que vous avez dû soustraire.

Exemple. Soustraire 4028 de 32106. On dispose Topération

ainsi qu'il suit :

Reste. . . . 28078 puis, appliquant la règle, on dit : 8 de 6, cela ne se peut pas,

j'ajoute 10, ce qui fait 16; 8 de 16, il reste 8, que j'écris^et je retiens 1; et 2 font 3, de 0, cela ne se peut pas; j*ajoate 10;

3 de 10, il reste 7, que j'écris, et je retiens 1 ; de 1, il reste 0;

4 de 2, cela ne se peut pas; j'ajoute 10, ce qui fait 12; 4 de 12, il reste 8, et je retiens 1 ; de 3, il reste 2. Le reste demandé est ainsi 28078.

22. Pour faire la preuve de la sottstractiorif additionnez k reste avec le nombre à sou>straire, et vous devrez retrouver le' plus grand nombre : car, d'après la définition de la soustraction, le plus grand nombre doit être la somme du plus petit et du reste.

8 m. MULTIPLICATION.

25. La MULTIPLICATION est une opération qui a pour but de composer un nombre nommé produit avec un nombre nommé MULTiPUCANDE, comme un autre nombre appelé multiplicateur est composé avec Vmiitd^: de sorte que si le multiplicateur contient 2, 3, 4... fois l'unité, le produit devra contenir 2, 3, 4... fois le multiplicande.

Il suit de là que, pour obtenir le produit de deux nombres^ il faut répéter le multiplicande autant de fois qu'il y a d'unités dans le multivlicateur^ et faire la somme : ainsi

24. Remarquons ,^l• que le multiplicateur est un nombre abstrait^ni^qùai indique combien de fois le produit contient le multiplicande (6)1 2» que le produit est de même espèce que le multiplicandes! car run est une partie de l'autre, et un tout et ses parties sont nécessairement de même espèce.

25. En réfléchissant sur la nature du procédé que nous avons indiqué pour multiplier deux nombres entre eux (25),

on sent que, si le multiplicateur était composé de plusieurs chiffres, l'opération deviendrait impraticable. On a donc cherché une méthode plus ahrégée, à laquelle on a donné le nom de multiplication.

26. Avant d'exposer cette méthode, nous ferons observer qaefpour multiplier un nombre quelconque par Vunité suivie de plusieurs zéros, il suffit d'écrire à la droite de ce nombre autant de zéros quHl s'en trouve à la suite de l'unité .;^ar, si l'on écrit, par exemple, deux zéros à la droite d'un nombre, il est clair que chacun de ses chiffres aura reculé de deux rangs vers la gauche, et représentera ainsi des unités cent fois plus grandes (ii); donc toutes les parties du nombre proposé étant devenues cent fois plus grandes, ce nombre est lui-môme devenu cent fois plus grand, c'est-à-dire qu'il a été multiplié par cent. Ainsi 286 X 100 = 28600.

27. On démontrerait de la môme manière que, si un nombre est terminé par des zéros, on le rendra 10, 100, 1000, etc., fois plus petit en supprimant sur sa droite un, deux, trois, etc.^ zéros. Ainsi le nombre 2750 est cent fois plus petit que 275000.

28. Il peut se présenter trois cas dans la multiplication : ou le multiplicande et le multiplicateur sont des nombres exprimés par un seul chiffre; ou le premier est un nombre^ composé de plu>sieurs chiffres et le second un nombre représenté par un seul; ou le multiplicateur est un nombre qui contient plusieurs chiffres. Nous examinerons successivement ces trois cas.

La multiplication de deux nombres exprimés par un seul chiffre s'effectue d'après la règle du n* 25. Mais comme la multiplication de deux nombres quelconques dépend, ainsi que nous le verrons bientôt (51, 55), de c^lle de deux nombres représentés par un seul chiffre, on a construit une table qui renferme les produits des neuf premiers nombres multipliés deux à deux, produits qu'il est très-important de graver dans sa mémoire.