ÉGALITÉ, INÉGALITÉ; VALEURS APPROCHÉES

Dans le premier cas, la loi de partage déflnit uu nombre irrationnel ; dans le second cas, il est impossible qu'il y ait à la fois dans la première catégorie un nombre a plus grand que tous les autres de la même catégorie, et daus la seconde catégorie un nombre a' plus petit que tous les autres de la même catégorie ; en etfet, à cause de la condition I, on aurait a < a , et les nombres rationnels compris entre a et a' ne pourraient appartenir à la première catégorie puisqu'ils sont plus grands que le plus grand nombre a de cette catégorie ; ils ne pourraient non plus appartenir à la seconde catégorie, puisqu'ils sont plus petits que le plus petit nombre*de cette catégorie ; le mode de séparation adopté n'aurait donc pas permis de séparer tous les nombres rationnels en deux catégories. On ne peut donc supposer que ceci : ou bien, dans la première catégorie, il y a un nombre (rationnel) plus grand que tous les autres, et alors, dans la seconde catégorie, il ny en a pas qui soit plus petit que tous les autres de la même catégorie; ou bien il y a un nombre (rationnel) de la seconde catégorie qui est plus petit que tous les autres, et dans la première catégorie il n y a pas de nombre qui soit plus grand que tous les autres; par exemple, la première catégorie comprend le nombre 3 et les nombres rationnels plus petits ; la seconde, les nombres rationnels plus grands que 3. Si Ton isole, dans le premier cas, le nombre rationnel plus grand que tous les autres de la première catégorie, et, dans le second cas, le nombre rationnel plus petit que tous les autres nombres de la seconde catégorie, et si de ce nombre unique A on forme une troisième catégorie, on voit que Ton sera précisément dans les circonstances examinées au n* 407 et qui se rapportent au partage des nombres rationnels en trois catégories, contenant, la première, les nombres rationnels plus petits que A ; la seconde, les nombres rationnels plus grands que A; la troisième, le seul nombre A. On pourra dire alors que le mode de séparation considéré définit le nombre A.

Enfin il pourrait arriver que la première catégorie ne contint aucun nombre, ou le nombre 0 seulement, la seconde catégorie comprenant, dans le premier cas, tous les nombres rationnels, dans le second tous les nombres rationnels autres que 0. On pourrait dire alors que le mode de séparation définit le nombre 0.

Arrivons maintenant aux définitions concernant les nombres irrationnels: on va construire ces définitions de manière qu'elles s'appliquent aussi aux nombres rationnels, mais elles seront beaucoup plus compliquées que celles qui ont été données antérieurement.

§ 2. — Egrallté, Inégralité; valeurs approchées.

412. Deux nombres A, B rationnels ou irrationnels, et dont aucun n'est le nombre zéro, sont dits égaux si les nombres rationnels plus petits que A sont les mêmes que les nombres rationnels plus petits que B, et si les nombres rationnels plus grands que A sont les mômes que les nombres rationnels plus grands que B. On écrit alors A = B.

En d'autres termes, pour constater Tégalité des nombres A, B, fl faudra constater : 1* que tout nombre rationnel plus petit que A est plus petit que B et, réciproquement, que tout nombre rationnel plus petit queB est aussi plus petit que A ; 2" que tout nombre rationnel plus grand que A est aussi plus grand que B et, réciproquement, que tout nombre rationnel plus grand que B est plus grand que A.

Si Tun des nombres A, B est zéro, Tautre ne lui sera égal que s*il est aussi zéro : d'ailleurs il est clair que si A était nul, sans que B le fût, les nombres rationnels plus petits que B, et autres que zéro, seraient plus grands que A. Ce cas rentre donc dans le cas général, si ce n'est que la première condition n'a plus de sens.

Deux nombres rationnels A. B que Von sait être égaux d'après les définitions de l'égalité relatives aux nombres entiers et fractionnaires satisfont évidemment aux conditions précédentes; ils sont égaux au sens de la nouvelle définition.

Deux nombres rationnels A, B que Ton sait être inégaux d'après les définitions de l'égalité relatives aux nombres entiers et fractionnaires ne peuvent satisfaire aux conditions précédentes, car si Ton a, par exemple A < B, il y a des nortibres rationnels compris entre A et B, c'est-à-dire plus grands que A, plus petits que B.

Si Tun des nombres A, B, le nombre A par exemple, est rationnel et si le nombre B est irrationnel, il est impossible que les conditions précédentes soient vérifiées : en effet, le nombre rationnel A appartient à l'une ou à l'autre des deux catégories relatives au nombre B; s'il appartient, par exemple, à la première catégorie, s'il est plus petit que B, il y a des nombres rationnels compris entre A et H, c'est-à-dire plus grands que A et plus petits que B.

Si les deux nombres A, B sont irrationnels, dire qu'ils sont égaux, d'après les conditions précédentes, c'est dire que les deux modes de séparation des nombres rationnels en deux catégories, qui les définissent, sont les mômes.

Le lecteur établira sans peine les deux propositions qui suivent; je n'insiste pas sur les démonstrations, d'autant que je n'aurai pas à faire usage de ces propositions.

Des deux conditions relatives à l'égalité de deux nombres A, B, l'une implique l'autre ; en d'autres termes, si l'on sait, par exemple, que les nombres rationnels plus petits que A sont les mêmes que les nombres rationnels plus petits que B, on peut affirmer que les nombres rationnels plus grands que A sont aussi les mêmes que les nombres rationnels plus grands que B, en sorte que l'on a A = B.

Pour constater l'égalité des nombres A, B, il suffit de prouver que tout nombre rationnel plus petit que A est aussi plus petit que B, et que toul nombre rationnel plus grand que A est aussi plus gi'and que B.

Il résulle immédiatement de la définition que si deux nombres A, B sont égaux à un troisième C., ils sont éL'niix entre eux.