CHAPITRE XII

§ 1. — Définition des nombres Irrationnels.

405. J'ai considéré Jusqu'ici deux espèces de nombres, les nombres entiers 0,1,2,... et les nombres fractionnaires, qui peuvent être formés au moyen de deux nombres entiers, différents de 0.

Ces nombres, pour les distingner d'autres nombres que Ton va introduire, seront appelés nombres rationnels.

On a déjà observé que les nombres rationnels, entiers et fractions, ne suffisaient pas à atteindre Tun des buts essentiels que Ton a eus en vue en construisant Tidée de nombre, et en particulier Fidée de nombre fraction-

nairc, à savoir la mesure des grandeurs. Pour atteindre ce résultat comme pour répondre à d'autres questions qui se posent nécessairement, il est indispensable d'introduire de nouveaux éléments, dont le calcul sera soumis à des lois déterminées, et que j'appellerai nombres irrationnels («;.

L'introduction de ces nouveaux éléments ne va pas sans difficulté, quelque marcbe que Ton adopte; elle implique en effet la notion de Vinfini, qui n*a joué jusqu'ici qu'un rôle secondaire. Cette notion, en mathématiques, n'a d'ailleurs rien de bien mystérieux, et on peut la réduire à la proposition suivante : Étant donné un nombre entier, il y en a un plus grand que lui. Mais tandis qu'on s'est élevé delà notion de nombre entier à celle de fraction, en considérant simplement deux nombres rangés dans un certain ordre, au lieu d'un seul, il sera nécessaire, pour définir un nombre irratioimel de considérer une infinité de nombre rationnels, c'està-dire, en dernière analyse, une infinité de nombres entiers.

Quoi qu'il en soit, nous commencerons par énoncer quelques proposilions à peu près évidentes relatives aux nombres rationnels, '

406. Élant donné un nombre rationnel quelconque a, autre que zéro, il existe des nombres rationnels plus petits que « (n* LS9).

Étant donné un nombre rationnel quelconque a, aulre que zéro, il existe des nombres rationnels plus petits et plus grands que a, et qui diffèrent de o d'une quantité moindre que n'importe quel nombre rationnel «, donné à l'avance. On les obtient en retranchant et en ajoutant à a des nombres rationnels moindres que a. Il résulte de là qu'il existe des nombres rationnels qui comprennent entre eux le nombre a et dont la différence est moindre que «.

Élant donnés des nombres rationnels a et 6, tels que a soit plus petit que 6, il existe des nombres rationnels compris entre a et 6 : on les obtient en ajoutant à a des nombres plus petits que 6 — a. Observons en particulier qu'il existe des nombres décimaux compris entre a et 6; telle sera la

valeur approchée de a par excès à — -;j près, si l'on suppose — plus petit que 6 — a.

1. On dit asseï! habituellement incommensurables, au Heu de irrationnels. 11 serait bon do réserver IVpithûte • incommonburable » aux grandeurs.

Les mathématiciens de l'Écolo de Pythagoro et, peut-être, leur maître lui-même ont mis hors d© doute l'eiistence de grandeurs ineommensurahles : tels sont le côte et la diagonale d'un carré. On trouve, dans les Éléments d'Euclido une théorie du rapport des grandeurs incommensurables et diverses spéculations sur les nombres irrationnels. Parmi les travaux, assex nombreux, des contemporains, relatifs à l'introduction des nombres irrationnels, je citerai un écrit de M. Catalan (Y. Mathesis, 1886, p. 151) qui romonte à une cinquantaine d'années, une note de M. Méray {Bemarques sur la nature des quantités dt^ finies par ta condition de servir de limite à des variables domn^fs. Revue des Sociétés savant en. Sciences mathématiques, t. IV, p. 286, 1869), une brochure de M. Dedekind intitulée Stetigkeit und inationale Zahlen (1872), un mémoire de Heine, dans le journal du Crolle (1872), intitulé Die Elemente der Functionenlehre. Heine, pour ce qui est du point de départ, s'est rencontré avec M. Mérajr ; ce dernier a repris la question dans ses Leçons nouvelles sur F Analyse infinitésimale {Paris, Qauthier- Villars et fils, i89i); son exposition est irréprochable au point de vue logique. J'ai toutefois adopté ici l'idée fondamentale de M. Dedekind, qui me parait éclairer profondément la naturo du nombre irrationnel.

407. Si Ton considère un nombre rationnel quelconque A, autre que zéro, il permet de partager l'ensemble des nombres rationnels en trois catégories : T l'ensemble des nombres rationnels plus petits que A ; 2' iVnsemble des nombres rationnels plus grands que A; 3* le nombre ralionnel A lui-même.

Un nombî»o rationnel quelconque appartient à Tune ou l'autre de ces trois catégories.

Il convient de faire les remarques suivantes:

I. Chaque nombre de la première catégorie est plus petit que chaque noaibre de la seconde catégorie.

II. Dans la première catégorie, il n'y a pas de nombre qui soit plus grand que tous les autres nombres de la même catégorie, puisque, entre un nombre rationnel a < A et A, il y a des nombres rationnels. De même, dans la seconde catégorie, il n'y a pas de nombre qui soit plus petit que tous les autres, pour la même raison.

Si l'on se donne un nombre rationnel quelconque t, aussi pelit qu'on voudra, il y a des nombres appartenant, l'un à la première catégorie, l'autre à la seconde, et dont la différence est moindre que t.

408. Certains problèmes conduisent à une séparation des nombres rationnels en deux catégories, qui jouissent de propriétés très analogues.

On sail, par exemple, qu'il est impossible de trouver un nombre rationnrl dont le carré soit égal ^ 3. Le carré de tout nombre rationnel est plus petit que 3, ou plus grand que 3. Rangeons dans une première catégorie les nombres dont le carré est plus petit que 3, dans une seconde catégorie tous ceux dont le carré est plus grand que 3. Chaque nombre rationnel appartient à l'une ou à l'autre catégorie.

I. Il y a des nombres dans l'une et l'autre catégorie et chaque nombre de la première catégorie est plus petit que chaque nombre de la seconde.

II. Dans la première catégorie, il n'existe pas de nombre qui soit plus grand que tous les autres nombres de cette catégorie. En eftet, si a est un nombre rationnel tel que a' soit inférieur à 3, il existe des nombres rationnels dont le carré est aussi inférieur à 3 et diffère de 3 d'une quantité moindre que 3 — a'; un tel nombre a' est certainement plus grand que a; car l'inégalité 3 — a" < 3 — a* entraîne l'inégalité a'* > a*, et, par suite, a' > a. On voit de même que, dans la seconde catégorie, il n'existe pas de nombre plus petit que tous les autres, parce qu'il y a des nombres rationnels dont le carré est plus grand que 3 et dilfère de 3 d'aussi peu qu'on le veut.

Enfin, si on se donne un nombre rationnel e, aussi petit qu'on le veut, il existe des nombres appartenant, Tun à la seconde catégorie, l'autre à la première, et qui ont entre eux une différence moindre que t. Il suffit,

pour trouver de tels nombres, de fixer un ordre d'approximation — - tel

DÉFliNITlON DES NOMBRES IRRATIONNELS. 381

que Ton ait — -„ < t et de chercher les valeurs approchées de la racine

carrée de 3, par excès et par défaut, à — ;, près.

On retrouve donc, pour les deux catégories de nombres rationnels considérées, les mêmes propriétés qui ont été énumérées dans le n"407; la seule différence est qu'il n'y a ici que deux catégories, au lieu de trois. Les deux catégories formées, 1 une des nombres ratioimels dont le carré est plus petit que 3, Tautre des nombres rationnels dont le carré est plus grand que 3, embrassent tous les nombres rationnels.

409. On dira qu'on a déflni un nombre irrationnel toutes les fois qu'on aura défini un moyen de partager tous les nombres rationnels en deux catégories jouissant des propriétés suivantes :

L II y a des nombres dans chaque catégorie; la première contient des nombres autres que zéro, et chaque nombre de cette catégorie est plus petit que chaque nombre de la seconde.

il. Dans la première catégorie, il n'y a pas de nombre plus grand que tous les autres nombres de la même catégorie; dans la seconde catégorie, il n'y a pas de nombre plus petit que tous les autres.

C'est la loi même de cette séparation qui définit le nombre irrationnel ; en représentant par un symbole, une lettre A par exemple, un tel nombre, ce symbole, cette lettre ne signifient rien autre chose jusqu'à présent que la loi de cette séparation.

410. Par définition, le nombre irrationnel ainsi défini est dit plus grand que tous les nombres (rationnels) de la première catégorie, qui sont dils plus petits que lui, et plus petit que tous les nombres (rationnels) de la seconde catégorie, qui sont dils plus grands que lui. On dit encore que le nombre irrationnel est compris entre un nombre quelconque de la première catégorie et un nombre quelconque de la seconde.

Ainsi, si Ton a défini un nombre irrationnel A et si a, a' désignent des nombres rationnels appartenant, l'un à la première catégorie, l'autre à la seconde, on écrira

a<A, A>rt, a'>A, A < a',

et inversement. Ces inégalités n'ont pas d'autre sens que celui-ci : a appartient à la première catégorie, a' appartient à la seconde. D'après la condition II, elles ontrainent a < a', et Ton peut par conséquent les écrire

Il y a, dans la première catégorie, des nombres (rationnels) plus grands que a, cela revient à dire qu'il y a des nombres rationnels plus grands que a et plus petits que A; on dit qu'ils sont compris entre a et A; de même il y a des nombres rationnels plus grands que A et plus petits que «'; on dit qu'ils sont compris entre A et d'.

11 est clair que si a, est un nombre rationnel plus petitque a, il apparliendi-a comme a à la première catégorie ; il ne peut en ellet appartenir à la seconde, puisque tout nombre de cette seconde catégorie est plus grand que a, d'après la condition I ; en d'autres termes, si a, a^ sont des nombres rationnels et si Ton a ai < a, a < A, on a aussi ai < A. De même, si a',a\ sont des nombres rationnels, si a' appartient à la seconde catégorie et si a[ est plus grand que a', aj appartiendra aussi à la seconde catégorie; en d'autres termes, si Ton a a\ > a\ a' > A, on a aussi a[ > A. 11 sera donc permis de condenser ces inégalités et d'écrire

fli < a < A < a' < a[.

Par exemple, la séparation de tous les nombres rationnels en deux catég«)ries comprenant, la première tous les nombres rationnels dont le carré est plus petit que 3, la seconde tous les nombres dont le carré est plus grand que 3, définit un nombre irrationnel que l'on appelle racine carrée de 3 et que l'on représente par le symbole v^; les inégalités

ne veulent pas dire autre chose que ceci : les nombres rationnels 1 et 1,7 appartiennent à la première catégorie, c'est-à-dire que leur carré est plus petit que 3 ; 2 appartient à la seconde catégorie, c'est-à-dire que son carré est plus grand que 3.

Il existe des nombres rationnels compris entre 1,7 et v^3; tel est, par exemple, le nombre 1,71, dont le carré est moindre que 3. Il existe des nombres rationnels compris entre v^3 et 2; tel est 1,8 dont le carré est supérieur à 3, et l'on peut écrire

Les mots plus petite plus grand ou les signes <, >, quand ils se rapportent à un nombre rationnel d'une part, à un nombre irrationnel de l'autre, remplacent les mots première catégorie, seconde catégorie ; ils ont l'avantage d'éveiller dans l'esprit des analogies, mais il ne faut pas leur chercher un autre sens que celui qu'on vientde dire.

La notion de nombre irrationnel ainsi présentée est très dillérente de la notion de nombre entier, ou de celle de fraction : il ne sera donc permis de parler des opérations à faire sur ces nombres qu'après avoir repris toutes les définitions relatives à ces opérations. Ces définitions ne pourront porter que sur la loi de séparation en catégories qui définit chaque nombre irrationnel.

Avant de les aborder je ferai quelques observations.

411. Si l'on partage l'ensemble des nombres rationnels en deux catégories qui vérifient la condition I du n" 408, c'est-à-^dire telles que tous les no.nbres de la première catégorie soient plus petits que tous les nombres de la seconde catégorie, il arrivera de deux choses l'une :

Ou bieu les conditions II seront vérifiées, ou bien elles no le seront pas.