K« < VÂ<(K
Or, on conclut de ces inégalités
(K«r <A<[(Kxi)«r;
K« sera donc le plus petit multiple de « dont la n**"< puissance soil inférieure à A ; c'est ce que nous avons appelé, plus haut, lorsque A est rationnel, la racine n*^« de A à « près, par défaut, et cette expression a
donc le même sens que celle-ci : la valeur approchée du nombre Va à «près, par défaut.
On voit ainsi se justifier entièrement les expressions (n* 302) valeur approchée de la l'acmé n'*"« d'un nombre A avec une erreur moindre que t :
ce que Ton a appelé ainsi, c'est une valeur approchée du nombre Va avec une erreur moindre que t. Les règles que Ton a données alors pour le calcul approché de la racine d*un nombre connu avec une certaine approximation, s'appliquent manifestement au calcul numérique des racines des nombres irrationnels. 11 serait d'ailleurs maintenant très aisé de retrouver ces i-ègles ou d'autres équivalentes.
Pour nous borner par exemple à la racine carrée, on pourra se servir de Végalité (n- 87)
où A et B sont des nombres quelconques dont on suppose toutefois que A est supérieur à B. On tire de cette égalité
\^A — VB= "7= =< 7=--
V^A i VB 2\/B
Supposons que A soil un nombre inconnu et B une valeur approchée par défaut de ce nombre avec une erreur moindre que •; on pourra écrire
en désignant par 9! un nombre plus petit que f ; on aura donc, en yertn de Finégalité précédente,
2vB ^VB
par conséquent, vB pourra être regardée comme une valeur approchée de
Va, par défaut, avec une erreur moindre que — r^ , et si l'on calcule une
valeur approchée 6 de Vb avec une erreur en moins inférieure à «,,
le nombre h pourra être regardé comme une valeur approchée de v^ avec
une erreur moindre que t^ '
§ 4. — Opérations sur les radicaux.
443. Pour prouver qu'un nombre est la racine n'*"« de A, il suffit de prouver que la puissance n**"* de ce nombre est égale à A. Cette remarque suffit à établir les propositions qui suivent.
Le produit des racines n**««« de plusieurs nombres A, B, G, D est égal à la racine n*^« du produit de ces nombres. En d'autres termes, on a
(1) Va X Vb X VC X Vu = VÂBCD.
Pour élever à la puissance n»*«« le produit Va X Vb X Vc X Vd, il suffit, en effet, d'élever à la puissance n chacun de ses facteurs, et Ton obtient ainsi le produit ABGD.
Dans le cas de deux facteurs, le Ihéorème s'exprime par l'égalité
vâxVb=vâb:
Un cas particulier intéressant est celui où l'un des nombres A, B, le nombre A, par exemple, est la puissance v}^^^ d'un nombre rationnel : supposons A =a"; on aura
^a'»B=axVB;
remplacer ainsi y a"B par aVB, c'est ce qu'on appelle faire sortira du
•adical, remplacer de môme a'v B par y a"B c'est faire entrer a sous le radical. On a, par exemple,
V8i = Va^xa = aVâ^
406 LEÇONS D'AUITIIMÉTIQUE.
Un autre cas particulier intéressant est celui où tous les nombres A, B, C, ... qui figurent dans Tégalilé (1) sont égaux. On n*a écrit dans cette é^^alité que quatre facteurs, mais il est clair qu^on aurait pu en écrire autant qu'on aurait voulu, p par exemple. En les supposant tous égaux, l'égalité prendrait la forme
fin d'autres termes, pour élever à la puissance p la racine n«*"« d'un nombre A, on peut extraire la racine n*^« de la puissance p de ce nombre. Inversement, la racine n'*"« de la puissance p**™» d'un nombre est la puissance p'*™*' delà racine n'*"*« de ce nombre. On observera que dans le cas où p est égal à n, celte proposition est évidente.
444. La racine n**"»* du quotient de deux nombres A, B est égal au quotient des racines n*^«* de ces nombres ; en d autres termes, on a
B Vb'
Cette proposition pourrait se déduire de la précédente ; on peut aussi
VA
J'établir directement. Pour élever la fraction —7=- à la puissance n**^, on
Vb
peut élever ces deux termes à la puissance ti, ce qui donne ^ '- elle est
donc bien la racine n'*""*^ de ô* K" particulier, on a
B Vb'
445. Étant donnée une fraction —r dans laquelle le dénominateur est la
racine w'»*"«d'un nombre rationnel b, on peut la remplacer par une fraction égale dont le dénominateur soit 6 ; il suffit de multiplier les deux termes
de la fraction par (V^) ou y 6"
a\/6"-* a\/6"-' . a^/ft"-'
par exemple on a
V/2 v^2 X \ 2 2 ' il est clair que, pour le calcul numérique, il est plus avantageux de calculer
OPÉllATlONS SUR LES RADICAUX. 407
V 2 avec une certaine approximation, de diviser ensuite le résultat par 2, que de diviser i par la racine carrée de 2 ; on pourrait d'ailleurs aussi^bien
calculer
Va Si Ton applique la transformation précédente à la fraction^ du
numéro précédent, on voit qu'on peut récrire
VaxVb"-'
On a
par
exemple
Va v3
M6. Si rindice de la racine d\m nombre A est le produit de deux nombres entiers n,p, on peut, pour extraire cette racine, extraire la racine n**™« de A, puis la racine p**""® du résultat : en d'autres termes, on a
vpf~ p' Z
<^A=i/VA.
Il suflit de remarquer quen élevant le second nombre à la puissance np ou, ce qui revient au même, d*abord à la puissance/), puis à la puissance n, on trouve A. On observera qu'on aurait pu aussi bien écrire
rA=WA.
D'après cela, on peut se borner, pour le calcul des racines, au cas où rindice est premier. On a, par exemple :
11 est à peine utile de dire que, réciproquement, pour extraire la racine ,ji*me de la racine p**™« d'un nombre, on peut, si Ton veut, extraire la racine (np)**^* de ce nombre.
447. On ne change pas la valeur d'une racine en multipliant l'indice de cette racine par un nombre entier et en élevant en même temps la quantité sous le radical à une puissance dont l'exposant soit ce même nombre entier. Kn d'autres termes, on a
le second nombre, en effet, est égal à y V ^^^^ ^ Va. Par exemple, on a
Inversement^ çuand on a à extraire la racine d*im nombre élevé à une certaine puissance, si Tindice de la racine et TexposaDl sont divisibles par un même facteur, on peut supprimer ce facteur.
Ce théorème ne diffère pas du précédent.
On a, par exemple :
448. Les propositions précédentes permettent, étant données plusieui-s racines, avec des indices différents, de les ramener à avoir toutes le même indice.
Soient, par ejcemple, les racines
Vi. V5, Vc,
a, 6, c désignant des nombres entiers; soit m le plus petit multiple commun de a, 6, c et soient a', 6', c' les quotients respectifs de m par a, 6, c; on multipliera les indices a, 6, c respectivement par a', 6', c', et Ton élèvera en même temps A, B, C aux puissances a', 6', c'; les racines précédentes eronl remplacées par
qui leur sont respectivement égalas et qui ont même indice.
449. Cette proposition permet d'utiliser les règles des a- 443, 444 pour effectuer des produits ou des quotients de radicaux.
Soient, par exemple, les quantités
v/2, Vi^xi, V2X5»;
6 est le plus petit commun multiple des indices 2, 3, 6; on aura, en appliquant les règles précédentes,
V^X V^2» X 5 X V2 X 5« = V23 X 2* X 52 X 2 X 5» = V2« X 5* = V 2* X 5«. De môme,
§ 5. — Exposante flractionnaires.
450. Le lecteur n'a pas manqué de remarquer que les dernières propositions établies ont leurs analogues djins la théorie des fractions. Cette analogie deviendra frappante si l'on adopte la notation des exposants ractionnaires.
EXPOSANTS FRACnONNAlfiES. 409
Avant d'exptiqaer cette nolalionje ferai d*abord les remarques suivantes.
On n'a pas parlé, dans ce qui précède, de racine dont l'indice serait égal à un ; mais rien n*empéche de considérer une telle racine, pourvu que Ton convienne de regarder sa valeur comme étant égale à celle du nombre sur lequel elle porte; on aurait ainsi
vr= A.
Celle convention est bien conforme à la déflnilion générale des radicaux, puisque, en élevant un nombre à la puissance 1, on reproduit ce nombre (n* 23). Dès lors, puisque, dans la démonstration des théorèmes du paragraphe précédent, on s'est appuyé uniquement sur cette définition, il est clair que tous ces théorèmes subaisteront, lors même qu'on y fera figurer des racines d'indice égal à un.
451. En désignant par A un nonbre quelconque et par p, q deux nombres entiers différents de zéro, on représente ^a'' par le symbole
que l'on énonce A puissance ^ : ^ est un exposant fi*actionnawe.
Dans le cas ou p est égal à un, comme A* est la même chose que A, on aura par la définition précédente
Dans le cas où q est égal à 1, le symbole A* représente la même chose que A'*. Cette convention est conforme à ce qu'on a dit dans le précédent numéro.
Cette notation ne présente aucune difficulté si l'on veut bien se reporter au n* 179 où l'on a dit qu'une fraction devait être regardée comme l'ensemble de deux nombres entiers qui jouent un rôle différent.
Elle est justifiée par ce fait que si les deux fractions - , —, sont égales, on a
Si en effet les deux fractions —, —, sont égales, on sl pq' = p'q et, par suite,
extrayons les racines d'indice qq' des deux membres, on aura
or, en divisant les indices et les exposants par q' dans le premier membre, par q dans le second, on a
ou, en remontant à la définition des exposants fractionnaires,
11 est à peine utile de faire remarquer que, par cette proposition, la simplification de la racine ^»*'"« d'un nombre élevé à une certaine puissance p revient à la simplification d'une fraction, et que la réduction au même indice de plusieurs racines revient à la réduction de plusieurs fractions au même dénominateur.
Mais il y a plus : les règles établies pour le calcul des exposants entiers s'appliquent aux exposants fractionnaires.
452 Pour faire le produit de deux puissances fractionnaires d'un même nombre, il suffit d'élever ce nombre à une puissance dont l'exposant soit une fraction égale à la somme des deux exposants primitifs.
En d'autres termes, on a, en désignant par p, g, p', q' des nombres entiers, différents de zéro,
On a en effet
!L ^"f' n'i — ; A' = A99'= Va''S
A9 =A9'9= y A'' s cl, par suite,
A9xA9'= Va'^x Va''';
mais, en appliquant le théorème du n" 443, on voit que le second membre est égal à la racine (qq'f^^ du produit A^^' X A'^*, qui est lui-même égal à A'^' ■'"''', puisque les nombres pg' etp'g sont entiers. D'ailleurs on a, eu vertu de la définition.
pq'+p'q
/'?' + pq
^y^-rP9^P^ gg'
