ENSEMBLES

45$. Le nombre A* ayant été ainsi délini pour toute râleur rationnelle, même nulle, du nombre B, il est naturel de chercher à le déiinir pour une valeur irrationnelle de B. Sans développer ce sujet, qui sortirait du cadre de cet Ouvrage, je me cootenterai de dire que le nombre A^se déOnit alors, si A est plus grand que vn, comme étant plus grand que tous les nombres A^ obtenus en élevant A à une puissance rationnelle b plus petite que B, et plus petit que tous les nombres A^ obtenus en élevant A à une puissance rationnelle 6' plus grande que B. C'est Tinverse quand A est plus petit que un. Les règles du calcul des exposants entiers s'étendent encore aux exposants irrationnels.

§ 6. — Ensembles.

457. Considérons l'ensemble des nombres distincts qui satisfont à une condition déterminée; ils peuvent être en nombre flai ou infini. L'ensemble des diviseurs entiers d'un nombre entier donné ne comprend qu'un nombre fini de termes; l'ensemble des multiples entiers d'un nombre donné en comprend un nombre infini ; de même l'ensemble des nombres premiers, l'ensemble des valeurs distinctes approchées de v2, par défaut, à 0,1 ; 0,01 ; 0,001: ... près, l'ensemble des nombres rationnels compris entre deux nombres donnés.

En général, on dira qu'un ensemble de nombres ou, plus brièvement, un eniieinble est déterminé, lorsqu'on peut décider d'un nombre quelconque s'il appartient ou non à cet ensemble. Tel est le cas des ensembles qui viennent d'être énumérés : étant donné, par exemple, un nombre quelconque, on a le moyen de reconnaître si ce nombre est premier ou non : les nombres premiers forment un ensemble déterminé ; on a le mo>;en de reconnaître si un nombre est ou n'est pas une valeur approchée de y 2, par

défaut, à — 7, prés, n étant un entier quelconque : ces valeui*s approchées

forment un ensemble.

458. Considérons un ensemble quelconque de nombres : de deux choses Tune, ou il existe un certain nombre supérieur à tous les nombres qui appartiennent à l'ensemble, et je dirai dans ce cas que l'ensemble est limit(^; ou il n'existe pas de pareil nombre, c'est-à-dire que si l'on nomme un nombre quelconque A, on peut affirmer qu'il existe des nombres appartenant h l'ensemble considéré qui sont supérieurs à A, auquel cas je dirai que l'ensemble est illimité. Lorsqu'un ensemble est composé d'un nombre fini de termes, il est certainement limité. Il peut loutefois être limité lors même qu'il comprend un nombre infini de termes : tels sont, par exemple, l'ensemble des nombres plus petits que 2, l'ensemble des nombres rationnels plus petits que v'2, l'ensemble des valeurs (différentes) approchées à 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; ... près de v'2, etc.. Au contraire, l'ensemble des nombres entiers, l'ensemble des nombres premiers, l'ensemble des multiples d'un

nombre entier donné, Tensemble des nombres rationnels plus grands que V^2, etc., sont des ensembles illimités.

459. Quand un ensemble est limité, il existe un nombre M qui jouit des propriétés suivantes : !• il est supérieur ou égal à tout nombre de Tensemble ; 2" il n'y a pas de nombre plus petit que M qui soit supérieur ou égal à tout nombre de l'ensemble; en d'autres termes, si on considère un nombre quelconque M' plus petit que M, on peut affirmer qu'il y a un nombre do l'ensemble qui est plus grand que M' (*). En d'autres termes encore, quelque petit que soit le nombre t, i4 y a dans Tensemble au moins un nombre dont la différence avec M est moindre que t.

D'après sa définition, le nombre M, s'il existe, est unique : il s'appelle la limite supérieure de fenseroble.

L'existence de la limite supérieure est évidente dans quelques cas. S'il y a parmi les nombres de fensemble un nombre M qui soit plus ^vsnxd que tous les autres nombres de l'ensemble, ce nombre est lui-même la limite supérieure. C'est ce qui arrive nécessairement lorsque l'ensemble ne comprend qu'un nombre fini d'éléments.

Supposons que tous les nombres qui composent l'ensemble soient inférieurs à P et que parmi ces nombres il n'y en ait aucun qui soit supérieur aux autres.

Rangeons les nombres rationnels en deux catégories : dans la première, nous placerons tout nombre rationnel m qui se trouve être inférieur ou égal à un nombre de l'ensemble; il y aura des nombres m dans celle catégorie, puisqu'on suppose que l'ensemble comporte des nombres antres que zéro; rangeons dans la seconde catégorie tout nombre rationnel m' qui est plus grand que tout nombre appartenant à l'ensemble : il y a des nombres dans cette catégorie ; tels sont les nombres rationnels plus grands que P. Chaque nombre de la première catégorie est plus petit que chaque nombre de la seconde.

Si A est un nombre quelconque de l'ensemble, il y a, par hypothèse, dans le même ensemble, un nombre R ^^ A; tout nombre rationnel compris entre A et D appartient à la première catégorie; ainsi il y a dans la première catégorie des nombres rationnels supérieurs à A. Il ne peut y avoir dans la première catégorie un nombre plus grand que tous les autres; car si m est un nombre de cette catégorie, il y a été rangé comme inférieur ou égal à un nombre A de l'ensemble ; mais, puisqu'il y a dans l'ensemble des nombres R plus grands que A, tout nombre rationnel compris entre m et R appartient aussi à la première catégorie.

Dans la seconde catégorie, de deux choses l'une, ou il y a un nombre M j>lus petit que tous les autres, ou il n'y en a pas. Dans ce second cas, la

1 . Si M était nul, il ify aurait pas de nombre M' plus petit que M. M no peut étro nul que si l'iiseinblo était composé d'un terme unique égal à 0. Cotte r-marque, bien entendu, no sub&isto pas cil Algobre. quand on considère des nombres négatifs. Dans la suite, on écartera d'ailleurs ce cos inaignillant.