AV = A

On a, en effet, d'après les définitions,

t Hf— AV =V A^ p'

{£f=\/{<jl')'':

iii:iis on a de même

tt la racine g'*"** de cette quantité est égale à y A'*'' , ou, en vertu de la

définition des exposants fractionnaires, à A'*'' : la proposition est donc démontrée.

454. Si, en désignant par|),g,p', q' des nombres entiers, on a

on aura, en désignant par A un nombre quelconque, autre que zéro,

A^' en entendant que, dans le second membre, la différence — — ^ soit remplacée par une fraction à termes entiers qui lui soit égale, par exemple par

qq' La démonstration est toujours la même ; on a

455. La notion de différence s'applique encore quand les deux nombres

à retrancher sont égaux : si Ton voulait, dans le cas de deux exposants

P p' égaux -, i-;, appliquer la même règle, on serait amené à écrire

et cette égalité qui n'a, non plus que son second membre, aucun sens, en acquiert un et devient vraie si Ton convient de représenter par le symbole A® le nombre i. Cette convention est aussi utile, et il convient d'observer, puisqu'on ne change pas un nombre en le multipliant ou en le divisant par un, que, si on l'adopte, les égalités

A''XA*=rA"+^ ^-A"-*

sont vraies quel que soit le nombre A, supposé seulement différent de zéro, et quels que soient les nombres ralionnelsa, 6, môme si l'un ou l'autre est nul, ou s'ils sont égaux, pourvu toutefois que dans la seconde égalité a soit au moins égal à 6.