Rappelons et complétons la définition du n*23S. Soit

Oj, «2» ••• «a> •••

une suite infinie donnée de nombres rationnels ou irrationnels : en disant que cette suite est inOnie, nous entendons seulement que chacun de ses termes est suivi d'un autre ; en disant qu'elle est donnée, nous entendons qu'on se donne un moyen de calculer un terme quelconque connaissant son rang : si ce terme était irrationnel, cela voudrait dire qu'on se donne la loi de séparation des nombres rationnels en deux catégories qui le définit.

On dit que cette suite a une limite, ou mieux que a^ a une limite quand n grandit indéfiniment, ou pour n infini, s'il existe un nombre A jouissant de la propriété suivante : quelque petit que soit le nombre e, autre que zéro, on peut lui faire correspondre un nombre entier p tel que tous les termes de la suite qui suivent le p**"»« aient avec A une différence moindre que e. A est alors la limite de la suite (ou la limite de a„, pour n infini).

464. Considérons, par exemple, un nombre irrationnel A et la suite de

LTMITES. 417

ses valeui-s approchées à -» — , ... , — ^, ... près, par défaut, a„ Oj, ... , a„, ... . La différence A — a„ est inférieure à —f^; quel que soit le nombre e autre que zéro, on peut évidemment trouver un nombre entier p, tel que Ton ait — - < e, et il est clair que Ion aura A — a„ < e, pourvu que l'on

suppose n supérieur (ou égal) à p. A est donc la limite de la suite précédente.

Ainsi un nombre irrationnel quelconque est la limite, quand n grandit indéfmiment, du nombre que Ton déduit de sa représentation décimale en conservant n chiflres décimaux.

On voit aussi bien que le nombre irrationnel A est la limite de la suite

formée par les valeurs approchées à — , — , , ..., près, par excès,

465. Les remarques suivantes sont évidentes. Soit une suite infinie

a,, flj, ..., a,,, ...

qui admette la limite A. Il en sera de même de la suite que Ton en déduit en supprimant tels termes que l'on veut, au commencement, par exemple les p premiers. Quand on n'a affaire qu'à la limite de la suite, les premiers termes n'importent pas; ce qui importe, c'est la façon dont les termes se comportent quand n croit indéfiniment.

Si A n'est pas nul et si on se donne un nombre quelconque o^ autre que zéro, on peut trouver un rang p, à partir duquel tous les termes de la suite soient compris enire A — « et A + «; il suffit de déterminer p de façon que la différence entre A et a,^ soit moindre que a; si n est plus grand que p, a„ sera compris entre A — «et A + «. On peut observer qu'il existe certainement un nombre plus grand que tous les termes de la suite; tel sera par exemple n'importe quel nombre plus grand que les nombres a,, a^, ..., a^„ A + a. On observera aussi que, à partir d'un certain rang, il n'y a plus^ dans la suite, de terme qui soit nul.

Quand A est nul, si on se donne un nombre quelconque a, différent de zéro, on peut affirmer que, à partir d'un certain rang, tous les termes sont plus petits que a.

Quand on sait que, dans une ou plusieurs suites, certaines conditions se trouvent séparément vérifiées à partir d'un certain rang pour chacune des suites, on peut affirmer (|ue, à partir d'un certain rang, le même pour toutes les suiteSy ces conditions se trouvent vérifiées simultanément. Il suffit pour cela de di^terminer le plus grand des rangs à partir duquel chacune des conditions se trouve simultanément vérifiée.

Tannkrt. '■:!

418 LEÇOxNS DARITHMÉTIQUE

Si, par exemple, les deux suites

ont pour limites respectives des nombres A, B, différents de zéro, et si on se donne un nombre «, différent de zéro, on peut affirmer l'existence d'un entier p, tel que chacun des termes de la première suite se trouve, lorsque son rang est supérieur à p, compris entre A— « etA + «, et que, en même temps, chacun des termes de la seconde suite se trouve compris entre B — « et B + «.