Lorsqu'on se donne une suite inOnie de nombres

a„ Oj, ..., a,„ ...

admettant une limite A, chaque terme constitue en quelque sorte une valeur approchée de A; Verreur que Ton commet en remplaçant la limite A par un terme de cette suite, a„ par exemple, est la différence «„ entre A et a„; cette erreur a elle-même pour limite zéro quand n augmente indéfiniment.

Si plusieurs nombres sont donnés ainsi par des suites infinies, si l'on a à faire, sur ces nombres, des opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division, et si l'on remplace dans ces opérations les nombres vrais (les limites) par des valeurs approchées (les termes des suites), on aura des valeurs approchées des résultats, avec des erreurs moindres que des nombres qu'on a appris à déterminer au chapitre VIII. On reconnaît sans peine que ces erreurs peuvent être supposées aussi petites qu'on le veut en prenant des termes suffisamment éloignés dans les suites, et par conséquent assez rapprochés de leurs limites; cette remarque conduit aux théorèmes suivants :

Supposons que a„ et è„ aient respectivement pour limites A et B, quand n augmente indéfiniment, la somme a^ + b^ aura pour limite A+B ; le produit ajb^ aura pour limite AB ; si l'on a (^), quel que soit n, a^ ^ 6|,i ^^ différence a^ — bn aura pour limite A~ B; enfin, pourvu que B soit différent

de 0, la fraction — aura pour limite -. bn B

Je me contenterai de démontrer la dernière proposition, qui demande quelques précautions de plus que les autres.

Si B n'est pas nul, on finira par ne plus rencontrer dans la suite 6|, 6,, ..,, 6n» ••• Q"® ^®s termes qui ne sont pas nuls; on ne considérera les

termes -r- qu'à partir d'un rang tel que cette condition se trouve toujours

vérifiée.

1. Cette restriction devient inutile quand on a introduit les nombres négatifs.

LIMITES. 4ld

Supposons d^abord que A soit nul ; il faut prouver que -^ a zéro pour

limite quand n augmente indéfiniment. Si Ton se donne un nombre quelconque « autre que zéro et un nombre quelconque B' autre que zéro et plus petit que B, les termes de la suite a„ a,, ..., a,„ ... finissant par être plus petits que a, ceux de la suite 6„ 6j, ..., 6„,... finissant par être plus grands que B', on pourra donc déterminer un entier p tel que Ton ait

6-^B'' pourvu qu*on ait n > p ; il suffira donc, si Ton se donne un nombre quelconque t, autre que zéro, d'avoir pris g; < t, ou « < tB', pour être assuré que Ton a

sous la seule condition n > p; il est donc prouvé qu^r^, quand n aug-

mente indéfiniment, a pour limite zéro, ou ^«

Supposons maintenant que A ne soit pas nul. Choisissons arbitrairement un nombre B' autre que zéro et plus petit que B; si l'on se donne un nombre «, difTérent de zéro et plus petit que B — B', on peut lui faire correspondre un entier p tel que tous les termes de la première suite soient compris entre A — « et A + «» et tous les termes de la seconde suite §ntre B — « et B -f «, pourvu que Ton ne considère que des termes de rang

supérieur àp; sous cette condition, les nombres ^9 -^ sont Tun et Tautre

■> On

compris entre je—, — et ^ ; leur différence mutuelle est donc moindre '^ B + « B — a

que la plus grande des deux différences

et moindre, a forliorij que

puisque Ton a B' < B — «; or, si on se donne un nombre quelconque c, différent de zéro, il sufQt d'avoir choisi d'avance « tel que Ton ait

c'est-à-dire « moindre que . ■ ^y pour être sûr que la différence entre

ô et ~ sera moindre que e dès que n sera supérieur à p. Par suite, ^ a

pour limite -^ quand n augmente indéfiniment.

Il est très important, étant donnée une suite infinie (c'est-à-dire comprenant un nombre infini de termes rangés dans un ordre déterminé), de savoir reconnaître si cette suite a, ou non, une limite. On a à sa disposition, pour cela, deux théorèmes, énoncés aux n" 467 et 471.