RECHERCHE DE LA COMMUNE MESURE

soil égal à aB, on reconnaît immédiatement, en admettant (n* 484, VI) que la grandeur B puisse élre divisée en b parties égales, que la b^*^^ partie de B est contenue a fois dans A, en sorte qu'il y a certainement une commune mesure à A et à B. Ce résultat peut d'ailleurs s'établir sans faire intervenir la possibilité de cette division (*).

L'application du même algorithme (n*'134) qui nous a servi à trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres permet de trouver la plus grande commune mesure des deux grandeurs A, B, si elle existe.

Supposons A > B ; si B est contenu exactement n fois dans A, en sorte que Ton ait

A = uB,

il est clair que toute mesure commune à A et à B sera B ou une partie aliquote de B ; B sera la plus grande commune mesure entre A et B.

I. Jo dois ceUe observation à M. E. Lacour; elle offre assurément quelque intérêt, car elle

permet de définir le rapport -^ sans faire intervenir d^autres hypothèses que la supposition V

du n* 484, en dehors dos suppositions relatives à l'égalité, à l'inégalité et à l'addition. Si en

effet on vent comparer la fraction à termes entiers ~ aux grandeurs A et B, on aura

nécessairement Tune des trois égalité ou inégalités qui suivent

^A>pB, 9A = pB, ffA</)B;

on constate sans aucune peine, en se fondant seulement sur ce qu*on peut multiplier par un nombre entier les deux membres d'une égalité ou d'une inégalité entre des grandeurs, que, si l'on se place dans l'un de ces cas, l'inégalité ou l'égalité correspondante subsiste quand on

remplace p, g par les termes (entiers) d'une fraction égale à • ; que, si l'on est dans le cas

od l'on a çA > pB, cette inégalité subsiste quand on remplace />, q par les termes (entiers)

d'une fraction plus petito que -, etc... D'après cela on a un moyen de définir le rapport -

comme plus grand que tous les nombres rationnels pour lesquels on a ^A ]>//B, égal au

nombre ~, s'il y en a un, pour lequel on a ^A ir pB, plus petit que les nombres rationnels -

pour lesquels on a qk •< pB. La seule difficulté consiste, dans le cas ob il n'existe pas do nombres rationnels pet 9 tels que l'on ait 9 A = pB, à prouver que parmi les nombres rationnels - pour lesquels on a 9 A >pB, il n'y on a pas un qui soit plus grand que les autres. S'il

y en avait un, désignons-le par^; on aurait q'\ >p'B. Il existerait alors (n* 484, V) un

entier m tel que l'on eût m{q^k — p^B) > B, ou mq^\ > {mp' •\- 1)B : or, la fraction — — ■ —

est plus grande que -, ; celle-ci no serait donc pas la plus grande des fractions ~ pour

lesquelles on a qh. ^pB. On prouve de même que parmi les fractions ~ pour lesquelles on a q\ <[pB, il n'y en a pas de plus petite que toutes les autres. On définit donc bien aiosi un nombre irrationnel —. Cette définition, ob n'intervient pas la possibilité de diviser B en parties égales, permet d'établir ensuite les propositions fondamentales

qni sont le fond de tonte la théorie de la mesure des grandeurs.

Taknbrt. 29

Si B n'est pas contenu exactement dans A, considérons la suite de grandeurs

A tombera entre deux termes de cette suite niB et (n^ + i) B, et Ton pourra poser

A = niBJ B,,

en désignant par Bi une grandeur plus petite que B ; inversement, cette égalité et la condition B^ < B déterminent sans ambiguïté le nombre entier tii et la grandeur Bf.

On reconnaît immédiatement, sur Tégalité A= rifB + Bi, que toute grandeur contenue exactement dans A et dans B est contenue exacteinrent dans B|, que toute grandeur contenue exactement dans Bel dansBj est contenue exactement dans A, en sorte que les communes mesures de A et de B, s'il y en a, sont certainement les mêmes que celles de B et de B,.

On pourra opérer sur B et Bi comme sur A et B et, si B ne contient pas exactement Bj, le mettre sous la forme

B = WaBj + Bj, (B,<B,);

puis mettre B| sous la forme

B, ==«382 + 63, (B3<Bs),

etc.. : les communes mesures entre deux termes consécutifs de la suite A, B, B,, B,, B3,... sont certainement les mêmes : si la suite se lermine, si Ton arrive à une grandeur B« qui soit exactement contenue dans l;i précédente, en sorte qu'on ait

il est clair que B, sera la plus grande commune mesure entre B, j et B, et, par suite, entre A, B ; toute commune mesure à A, B sera une partie al iq note de B..

Je vais maintenant montrer que s'il existe deux nombres entiers a et 6 tels que l'on ait

6A = aB,

l'opération se terminera ; on aura, en effet, alors,

b {nfi + Bj) = n,6B | 6B, = aB

et cette égalité exige qu'on ait njô < a, on peut donc l'écrire

comme B| est plus petit que B, il faut que a — n,6 soit plus petit que 6; il en résulte que n^ est le quotient de la division, au sens de la théorie des

nombres entiers, dé a par 6, et que a — Wj6, qui sera désormais désigné par 61, est le reste de cette division ; on aura d'ailleurs

Cette égalité, en remplaçant B par n^B, + B,, montrera de même que n, est le quotient de la division de b par 6, et que 6 — Wjôi = 6, est le reste de cette division ; Fopéralion décrite correspond donc exaclement à la recherche du plus grand commun diviseur de a par 6 et se terminera en même temps qu'elle. Elle fournira la plus grande commune mesure entre AetB.

Lorsqu'il n'y a pas de commune mesure entre A et B, l'opération peut se continuer indéfiniment, elle déllnit alors une suite de nombres entiers

Le lecteur, s'il est en possession de la théorie des fractions continues, reconnaîtra comment celte suite de nombres entiers permet d'avoir des

valeurs approchées du rapport =•