DES GRANDEURS DIRECTEMENT MESURABLES
cutifs ou sont comprises entre deux termes consécutifs; leur différence est au plus égale à A.
Ceci posé, essayons de graduer la grandeur (G) de manière à satisfaire aux conditions du n* 484. Choisissons arbitrairement une grandeur Ai, autre que la grandeur nulle, et faisons-lui correspondre le nombre i ; A, sera l'unité de grandeur de l'espèce (G) : une fois cette unité choisie, toute la graduation est déterminée. Aux nombres 1, 2, 3, 4, ... devront correspondre les grandeurs
dont les termes finissent par dépasser telle grandeur de l'espèce (G) que Ton voudra : ainsi, au delà de chaque grandeur, il y a des grandeurs numérotées au moyen de nombres entiers.
487. Considérons maintenant une fraction de la forme -, où a est un
nombre entier; par hypothèse on peut diviser la grandeur A, en q parties égales : en d'autres termes il y a une grandeur B telle que A, soit la somme de q grandeurs égales à B ; il n'y en a qu'une, car les produits par q de deux grandeurs inégales sont des grandeurs inégales ; cetle grandeur B, la q^^^^
partie de A,, se représente par le symbole — • Faisons correspondre au nombre - cette grandeur B; à la somme de q nombres égaux à - » c'est-àdire au nombre 1, correspondra bien la grandeur \^ ; le nombre - est d'ailleurs le seul qu'on puisse faire correspondre à B pour qu'il en soit ainsi. Si p est nn nombre entier, au nombre -, qui est la somme de p nombres
égaux à-1 on devra faire correspondre la grandeur pB, ou j)— , c'est-àdire la somme de p grandeurs égales à — : cette somme se représente souvent par le symbole ~ A,; c'est, par définition, le produit de A par la
fraction ?. Si la fraction - était égale «a un nombre entier n, c'est-à-dire q q ""
si l'on avait p = nq^ la grandeur -Aj ou pB serait égale à nq fois B ou encore à la somme de n grandeurs égales à ^B; elle serait égale à nA,, elle correspondrait au nombre >i égal à -. On reconnaît aussi aisément que si
les deux fractions à termes entiers -» ^ sont égales, les grandeurs qui
leur correspondent sont aussi égales. Il suffira, pour s'en convaincre, de se reporter aux raisonnements que Ton a faits au début du chapitre VI, quand on a introduit la notion de l'égalité de deux fractions. Ainsi à des nombres
égaux correspondent des grandeui^ égales et à chaque nombre rationnel a correspond une grandeur déterminée A. Cette grandeur se représente par aA, ; on dit qu'elle est le produit de Aj par a et l'on écrit A = aA, ; ce nombre a est la mesure de A quand on prend Aj pour unité ; c'est aussi, par définition, le rappoH de A à A, et l'on écrit aussi
en n attachant pas à cette égalité d'autre sens qu'à l'égalité A = «A,. Il est maintenant facile de vérifier que pour les grandeurs ainsi numérotées, la condition essentielle du n** 484 est vérifiée, c'est-à-dire qu'à la somme de deux ou plusieurs nombres rationnels quelconques correspond une grandeur égale à la somme des grandeurs qui correspondent à ces nombres. Il sufQt, pour cela, de supposer que tous ces nombres rationnels soient représentés par des fractions à termes entiers et de même dénominateur. Du même coup, il est prouvé qu'à deux nombres rationnels inégaux «, a' tels que Ton ait a <i€i' correspondent deux grandeurs A, A' telles que Ton ait A < A' : car le nombre a' est la somme d'un nombre a et d'un autre nombre rationnel autre que 0; la grandeur A' est donc la somme de A et d'une autre grandeur autre que la grandeur nulle; elle est plus grande que A : la condition fondamentale est vérifiée.
488. Enfin, la graduation ainsi définie pénètre partout sans laisser de lacune : en d'autres termes, entre deux grandeurs inégales A', A", il y a toujours une grandeur numérotée au moyen de quelque nombre rationnel.
En effet, désignons par D la différence (non nulle) entre A' et A". Il existe (n° 484, V) un nombre entier q tel que l'on ait çD > Ai ; désignons par B la çième partie de Aj ; on aura certainement D > B, car la supposition D^B impliquerait (n" 485) l'inégalité gD^gB ou gD^Aj. Considérons dès lors la suite des grandeurs ou progression arithmétique 0, B, 2 B, 3 B, ..., numë-
12 3 rotées au moyen des nombres 0, -,-,-, ...; les grandeurs A', A'' comprennent certainement entre elles au moins un terme de cette suite, puisque leur différence est supérieure à B; le numérotage pénètre donc entre les grandeurs A', A".
489. Dès lors on peut faire correspondre à chaque grandeur A de l'espèce (G) un nombre rationnel ou irrationnel; un nombre rationnel si elle n'a pas échappé à la graduation que l'on vient de décrire, et dans le cas contraire, un nombre irrationnel a plus grand que tous les nombres rationnels qui correspondent aux grandeurs numérotées et moindres que A, plus petit que tous les nombres rationnels qui correspondent aux grandeurs numérotées et plus grandes que A. Ce nombre a sera encore la mesure de A quand on prend A, pour unité, ou le rapport de A à A| et Ton écrira
A=aA,, \" ~ **
DES CnANDEURS DIRECTEMENT MESURABLES. • 445
Réciproquement, j'admettrai qu*à chaque nombre irrationnel a correspond une grandeur A de l'espèce (G), supérieure à toutes -les grandeurs mesurées par des nombres rationnels moindres que «, inférieure à toutes les graudeurs mesurées par des nombres rationnels plus grands que «. Cette grandeur, si elle existe, est certainement unique, puisque entre deux grandeurs inégales il y en a une plus grande que la première, plus petite que la seconde et qui est mesurée par un nombre rationnel. Admettre Texistence de la grandeur qui correspond au nombre irrationnel «, c'est imposer une condition de plus à la grandeur (G), condition sur le sens de laquelle on s'est suffisamment expliqué au n' 477. On a établi, dans ce même numéro, que la condition fondamentale était toujours vérifiée, lors même qu'il s'agissait de grandeurs correspondant à des nombres irrationnels. La graduation est entièrement terminée.
490. Il reste en On à prouver que si des grandeurs correspondent à des nombres quelconques, même irrationnels, leur somme correspond à la somme de ces nombres : il suffit évidemment de considérer le cas de deux grandeurs A, A'; désignons par a, a' les nombres qui les mesurent; la grandeur A 4- A' est plus grande que la somme de deux grandeurs respectivement plus petites que A, A', en particulier que la somme de deux grandeurs respectivement mesurées par des nombres rationnels plus petits que a, a' : le nombre qui mesure A + A' est donc plus grand que la somme de deux nombres rationnels quelconques plus petits respectivement que a, «'. On voit de même que le nombre qui mesure A + A' est plus petit que la somme de deux nombres rationnels quelconques respectivement plus grands que ot, ot' ; le nombre qui mesure A + A' est donc a + a'.
Je désignerai comme directement mesurables les grandeurs (G) qui jouissent des propriétés que l'on vient d'expliquer.
491. On a supposé que la graduation de la grandeur mesurable (G) avait été faite en faisant correspondre la grandeur A,, non nulle, au nombre 1 ; supposons maintenant qu'on établisse une seconde graduation en faisant correspondre au nombre 1 une autre grandeur A', ; comment passera-t-on d'une graduation à l'autre ?
Rappelons d'abord l'attention du lecteur sur ce fait essentiel : quand on a choisi l'unité avec laquelle on mesure la grandeur (G), la correspondance entre chaque nombre et chaque état de la grandeur est entièrement déterminée par les conditions suivantes : à des nombres égaux correspondent des grandeurs déterminées égales ; à la somme de deux nombres correspond la somme de deux grandeurs mesurées par ces deux nombres; à deux nombres inégaux a, a', tels que l'on ait a < a\ correspondent des grandeurs déterminées inégales A, A' telles que Ton ait A < A' : les deux premières conditions permettent de déterminer la grandeur qui correspond à chaque nombre rationnel ; la seconde achève cette détermination pour les nombres irrationnels. ,
Il suit de là que si, par un procédé quelconque, on a trouvé un mode de correspondance entre chaque nombre rationnel ou irrationnel et chaque
grandeur de l'espèce (G) qui satisfasse aux trois conditions et qui, en outre, fasse correspondre au nombre 1 une grandeur déterminée A„ ce mode de correspondance est assurément le même que celui qu'on a décrit dans le numéro précédent, en partant de la grandeur Ai comme unité.
Ceci posé, soit X un nombre Qxe quelconque rationnel ou irrationnel, mais différent de 0.
En supposant qu'on ait pris la grandeur Ai comme unité, on obtient un premier mode de correspondance entre chaque grandeur et chaque nombre. Imaginons un second mode de correspondance qui fasse correspondre à chaque grandeur de Tespèce (G) le produit par X du nombre qui la mesurait dans le premier mode de graduation. En d'autres termes, dans le second mode, à chaque nombre a correspond la grandeur qui, dans le
premier mode, correspondait au nombre -• 11 ^^t clair que la seconde
graduation jouit des trois propriétés qu'on vient de rappeler, puisque des nombres égaux restent égaux quand on les multiplie ou qu'on les divise par X, que pour multiplier ou diviser par X la somme de deux nombres il suffit de les multiplier ou de les diviser par X, el que, enfin, on peut multiplier ou diviser par X les deux termes d'une inégalité entre des nombres. Maintenant, dans le second mode de graduation, la grandeur qui correspond
au nombre \ est celle qui, dans le premier, correspondait au nombre -; la
grandeur qui correspond au nombre X est celle qui, dans le premier, correspondait au nombre I, c'est la grandeur Aj.
492. Supposons que l'on mesure la grandeur (G) en prenant pour unité la grandeur A\, et choisissons pour X l'inverse du nombre qui mesure \\ quand on prend A^ pour unité : le mode de graduation de la grandeur (G) qui résulte de ce qu'on prend A, pour unité coïncidera avec le second mode de graduation que l'on vient de définir, puisque le second mode satisfait aux trois conditions et que, en outre, il fait correspondre au nombre 1 la grandeur A^.
En résumé, on passe de la première graduation, où A| est l'unité, à la seconde, oCi A'i est l'unité, en multipliant chaque nombre par un même
facteur X, ou en le divisant par r • r 6st le nombre qui mesure A'j quand
on prend A, pour unité, c'est le rapport — ; X est le nombre qui mesure
Ai
A A, quand on prend Ai pour unité, c'est le rapport -77; en d'autres
termes :
Le nombre qui mesure A quand on prend Ai pour unité, ou le rapport
TT, est égal au produit du nombre qui mesure A quand on prend A^ pour
unité, c'est-à-dire du rapport — » par le nombre qui mesure Aj quand on
prend A'^ pour unité, c'est-à-dire par le rapport —r ; ce qui peut s'écrire
A| A A A, A| Aj Al
Le rapport -r7 est égal au quotient obtenu en divisant le nombre — qui Ai A,
A' mesure A quand on prend Aj pour unité par le nombre -i qui mesure A',
Ai avec la même unité; en d'autres termes encore, le rapport de deux grandeurs mesurables déterminées est égal au rapport des deux nombres qui mesurent les deux grandeurs, avec une même unité.
Les deux théorèmes précédents sont au fond identiques; mais observons en passant que Tégalité
Aj Al Al
où figurent des rapports de grandeurs, peut maintenant, au moyen du second énoncé, être regardée comme une égalité, d*ailleurs évidente, entre des nombres.
11 est à peine utile de dire qu'on vient de compléter la démonstration des théorèmes des numéros 326 et 327.
§ 3. — Grandeurs proportionnelles.
493. Considérons deux espèces de grandeurs mesurables (G), (G') liées ensemble de façon qu*à chaque état A de la première corresponde un état A' de la seconde ; inversement à Tétai A' de la seconde correspond Félat \ de la première.
Supposons la correspondance telle qu'à deux grandeurs déterminées égales de l'espèce (G) correspondent toujours deux grandeurs déterminées égales de l'espèce (G'), et qu'à la somme de deux grandeurs déterminées de Tespèce (G) corresponde toujours la somme des deux grandeurs correspondantes de Tespèce (G'); je vais démontrer que le rapport de deux grandeurs déterminées quelconques de l'espèce (G) est égal au rapport des deux grandeurs correspondantes de l'espèce (G') (n" 359).
Observons d'abord que, en vertu des hypothèses, les grandeurs nulles d'espèces (G) et (G') se correspondent nécessairement, puisque la grandeur nulle est la seule qui, ajoutée à une autre grandeur, ne la modifie pas.
D'ailleurs, si Ton considère deux grandeurs A, B de l'espèce (G) et les deux grandeurs correspondantes A', B' de l'espèce (G'), on aura A' > B' si l'on a A> B : en effet, cette dernière hypothèse implique l'existence ' d'une grandeur G, non nulle, telle que l'on ait A = B + G ; la grandeur correspondante G' ne sera pas nulle non plus et l'on aura A' = B' + C', donc A' > B'.
Ceci posé, mesurons la grandeur (G) en prenant pour unité une grandeur déterminée A, de cette espèce et la grandeur (G') en prenant pour unité la grandeur A', qui correspond à A, ; les nombres de la graduation relatifs aux divers états de (G) seront les mêmes que les nombres de la graduation relatifs aux états correspondants de (G'); il suffît pour s'en convaincre de se reporter à la façon détaillée dont on a expliqué comment la graduation devait se faire. On peut remarquer aussi que si, après avoir gradué la grandeur (G), on fait correspondre dans (G'), à chaque nombre a, la grandeur A' correspondant à la grandeur A de Tespèce (G) qui est mesurée par le nombre a, on aura réalisé un mode de graduation de (GO qui satisfait aux trois conditions du n*" 491 et qui en outre fait correspondre au nombre 1 la grandeur Aj. 11 semble bien inutile d'insister sur cette assertion évidente, d'où il résulte que le mode de correspondance qu'on vient d'imaginer entre les nombres et les grandeurs (G') est bien le même que celui qu'on obtiendrait si Ton mesurait les grandeurs en prenant Aj pour unité.
Le rapport de deux grandeurs étant égal au rapport des nombres qui les mesurent, la proposition énoncée est démontrée.
Les grandeurs (G), (G') qui satisfont aux conditions énoncées sont dites proportionnelles.
On a donné dans les chapitres X et XI de nombreux exemples de grandeurs proportionnelles, et la proposition précédente avait été démontrée dans le cas où les grandeurs comparées étaient commensurables.
§ 4. — Recherche de la commune mesure.
494. Il nous reste à répondre aune question qui s'est sans doute présentée m l'esprit du lecteur : étant données deux grandeurs A, B d'une espèce mesu-
rable (G) telles que leur rapport ^ soit un nombre rationnel, c'est-à-dire,
d'après ce qui a été dit plus haut, telles que B ou une certaine partie aliquote de B soit contenue exactement dans A, comment trouver cette partie.^ En d'autres termes encore, en reprenant les façons de parler du chapitre X, si les grandeurs A, B sont commensurables, admettent une commune mesure, comment trouver cette commune mesure?
Désignons cette commune mesure par G et supposons qu'elle soit contenue exactement a fois dans A, 6 fois dans B, on aura
A = aC, B = 6C,
le rapport = sera, d'après le n* 487, égal à y- Des égalités précédentes on
lire
réciproquement, s'il existe deux nombres entiers a, b tels que bX
