THÉORÈME DE WILSON

Si on considère la suite a, 2a, ..., (6 — i)a, les seuls termes de cette suite qui, relativement au module 6, fournissent des termes premiers à b sont les nombres r^ay r^, ..., r^a ; ces termes fournissent d'ailleurs comme restes des nombres distincts, inférieurs à 6 et premiers à 6, c'est-à-dire les nombres r,, r^, ..., r^ pris dans un certain ordre. Dans leur ensemble, les nombres r^a^ r^, ..., r^a sont donc confçrus (mod. 6) aux nombres r,, r,, ..., r^ ; il en résulte que (a* — l)r,rj...7-;t est divisible par 6; mais ce dernier nombre étant premier à fj, rj, ..., r^, il faut que l'on ait

a* — i = o (moil.6).

Ost dans cette congruence que consiste le théorème d'Euler : il contient le théorème de Fermât, car si 6 est un nombre premier, k est égeA àô- i.

On donnera plus loin un procédé pour calculer le nombre *, connaissant 6 (n'* 527). Observons seulement ici que le théorème de Fermât généralisé fournit, si Ton sait calculer A, un moyen de résoudre la congruence du premier degré

ax-\-a~0 (mod. 6),

en supposant a et 6 premiers entre eux; il suffira, en eiTet, de prendre

a? ^ — a'a*^'^ (mod. 6).

En particulier, si b était premier, on pourrait prendre, en vertu du théorème de Fermât lui-même,

(mod. 6).

§ 4. — Nouvelle démonstration dn théorème de Fermât. Théorème de Wllson. Restes quadratiques.

516. Revenons au théorème de Fermât pour en présenter la démonstration sous une autre forme, qui va nous conduire à de** conséquences nouvelles et importantes.

Soit p un nombre premier plus grand que 2 et a l'un des nombres 1,2, ...,p — i; soit D un nombre quelconque, non divisible par p.

La congruence

ax~U (mod.|))

admet une racine, puisque p est premier à a; cette racine, ne pouvant être 0, est congrue (mod. p) à l'un des nombres t, 2, ..., p — 1 ; il y a donc parmi ces nombres un nombre a' et un seul tel que Ton ait

oa' H= D (mod. ;)).

Ce nombre a! peut élre égal au nombre a ou différent; s'il lui est égal, c'est que Ton a

a' ^ D (mod. p)

et que, par conséquent, la congruence du second degré

a?* = D (mod. p) admet une solution a.

Ceci posé, deux cas peuvent se présenter. i* Le nombre D est tel que la congruence

œ* ^ D (mod. p)

ne puisse pas être vérifiée ; s'il en est ainsi, les nombres a, a! pris parmi les nombres 1, 2, ..., p — 1 sont certainement différents et ces p— I derniers nombres peuvent être séparés en ^-^ — couples tels que le produit de

deux nombres pris dans un même couple soit toujours congru à D (mod. p); dans ce cas, on a