CONGRUENCES BINOMES

Mais, si le plus grand commun diviseur fi de n et dep— i divise d, le nombre ^~7 ci = (p — 1)— est un multiple de p — i, par conséquent le premier membre est congru à 1 (mod. p). On doit donc avoir :

D * = 1 (mod. p).

Inversement, si cette condition est vérifiée, fi doit diviser d ; en effel, en flf^ ^ D (mod. p),

élevant à la puissance ^—r — les deux membres de la con^uence

on obtient aloi*s

* = 1 (mod. p).

d'où il résulte que le nombre entier d^—^ — doit être divisible par p — 1 ,

fi

ce qui suppose que d soit divisible par B. Ainsi :

La condition nécessaire et suffisante pour que la congruence

a?"=3D (mod.p),

où p est un nombre premier et D un nombre entier non divisible parp, admette des solutions, est que Ton ait

D * = 1 (mod. p),

en désignant par fi le plus grand commun diviseur de n et de p — 1. Si cetle condition est vérifiée, la congruence proposée admet ^ racines distinctes.

Ce théorème contient, comme cas particulier, la proposition du n* 517, relative au cas où n est égal à 2.