Si Von a entre les nombres a, 6, 9, r, la relation

a = bq+ r,

on ne peut affirmer que q est le quotient de la division de a par b que dans le cas où r est plus petit que b : dans le cas où r est supé

Tannery. 6

rieur ou égal à. 6, si Ton désigne par q' le quotient de la division àe r par *, et par r' le reste de la même division, on aura

et par suite

puisque r' est plus petit que A, cette égalité montre que le quotient de la division de a par A est <^ + g' et que le reste est r'. On voit ainsi qu'une relation telle que

a = hq'\-r,

dans le cas où elle n'exprime pas que q est le quotient de la division de a par i, permet de simplifier la recherche de ce quotient, donton connaît en quelque sorte une partie q ; pour avoir Tautre partie 9', il reste à diviser par h un nombre r, plus petit que a,

104. Diviser un nombre a successivement par les nombres A, c,rf, ...» c'est diviser a par h ; puis diviser le quotient par c ; puis le quotient de cette nouvelle division par rf, etc....

Si on divise un nombre a successivement par plusieurs autres, le dernier quotient obtenu est aussi le quotient de la division du nombre a par le produit des nombres que Con a successivement employés comme diviseurs,

1" Les divisions successives se font exactement : dans ce cas, le nombre a est divisible par le produit des nombres employés comme diviseurs.

Par exemple, si Ton divise 13260 par 17, la division se fait exactement et le quotient est 780 ; c'est-à-dire que Ton a

si Ton divise 780 par 13, la division se fait exactement et le quotient est 60, c'est à-dire que l'on a

si l'on remplace dans la première égalité 780 par 13 X60, il vient

cette dernière égalité montre que 13260 est divisible par le produit 17x13, et que le quotient est 60. Ainsi, au lieu de diviser 13260 successivement par 17 et 13, on peut le diviserd'un seul coup par le produit 17 x 13, le quotient sera toujours 60. — Si l'on divise

60 par 12, la division se fait exactement et le quotient est 5, c'est^ à-dire que Ton a

en remplaçant 60 par 12 x 5, on a

etcette égalité montre, d*une part que 13260 est divisible par le produit 17 X 13 X 12, etd'autre part que Ton parvient au même quotient 5, soit que Ton divise successivement 13260 par 17, 13 et 12, soit qu'on le divise en une fois par le produit 17x13x12. Il est clair que le raisonnement peut se continuer, quel que soit le nombre de divisions successives à effectuer.

2« Plaçons-nous maintenant dans le cas général. Sa démonstration peut être calquée sur le procédé qui nous a servi à exposer la numération écrite, laquelle repose au fond sur une succession de divisions par 10.

Supposons qu'on ait à diviser 13283 successivement par 12, 17 et 14; le quotient de la division de 13283 par 12 est 1106 et le reste est 11, c'est-àrdire que Ton a

13283 = 12x1106 -fil;

le quotient de la division de 1106 par 17 est 65 et le reste 1, c'est-àdire que Ton a

le quotient de la division de 65 par 14 est 4 et le reste est 9, c'est-àdire que Ton a

Ceci posé, imaginons que Ton ait un tas de 13283 grains de blé; distribuons les grains dans des sacs blancs contenant chacun 12 grains; on aura 1106 pareils sacs, que Ton appellera sacs du premier ordre, et il restera 11 grains que nous placerons à part dans un premier sac bleu. Prenons les 1106 sacs blancs du premier ordre, rangeons-les 17 par 17, et plaçons chaque tas de 17 sacs du premier ordre dans un sac blanc du second ordre; on aura 65 sacs du second ordre, et il restera 1 sac du premier ordre que nous mettrons dans un second sac bleu, à côté du premier sac bleu. Prenons les 65 sacs blancs du second ordre, rangeons-les 14 par 14, et mettons chaque tas de 14 sacs du second ordre dans un sac blanc du troisième ordre ; on aura ainsi 4 sacs du troisième ordre et il

restera 9 sacs du second ordre que Ton placera dans un troisième sac bleu, à côté des deux premiers. L'opération est terminée.

Dans tous les sacs bleus, il n'y a pas de quoi remplir un sac du troisième ordre ; dans le premier, en effet, il n'y a pas de quoi remplir un sac du premier ordre, il y a 11 grains au plus; dans le second sac bleu, il y a au plus 16 sacs du premier ordre, et, en ajoutant ce qu'il y a dans le premier sac bleu, on ne trouve pas encore de quoi faire 17 sacs du premier ordre, c'est-à-dire un sac du second ordre ; de même enfin, dans le troisième sac bleu il y a au plus 13 sacs du second ordre ; on n'arrivera pas à en faire 14, c'est-à-dire un sac du troisième ordre, même en ajoutant ce qu'il y a dans les deux premiers sacs bleus.

Ainsi les 13283 grains ont été partagés en deux parties: l«les 4 sacs du troisième ordre ; 2" ce qu'il y a dans les sacs bleus, dont l'ensemble ne vaut pas un sac du troisième ordre.

Or un sac du premier ordre contient 12 grains; un sac du second ordre contient 17 sacs, du premier, et par suite 12 X 17 grains; un sac du troisième ordre contient 14 sacs du second, et par suite 12x17x14 grains.

Donc 13283 grains se composent de 4 fois 12 x 17 X 14 grains, et d'un nombre de grains (contenus dans les sacs bleus) inférieur à 12 X 17 X 14 ; donc, enfin, le quotient de 13283 par 12 X 17 X 14 est 4, comme le dernier quotient des divisions successives de 13283 par 12, 17 et 14.

Nous avons tenu à présenter la démonstration sous une forme concrète, afin de permettre au lecteur de généraliser la théorie de la numération écrite ; mais la proposition que nous avons en vue ici peut s'établir d'une façon plus brève, au moins en apparence.

Soit a un nombre que l'on divise successivement par 6, c, rf. Soient q, q\ q" les quotients successifs; on aura (n** 102)

a > bq,

q > c q\ ^r^dq^';

en remplaçant dans la première inégalité q par le nombre inférieur ou égal cq\ on ne fera qu'accentuer l'inégalité ; on aurc donc

a > àcq';

en remplaçant de même, dans cette inégalité, q' par dq'\ on aura

a > bcdq'\

On aura aussi

a + i^àiq + 1),

en remplaçant, dans la première inégalité, ^ + 1 par c(j' + l)i OD aura

a + 1 <bclq'+ 1H

et, en remplaçant, dans cette inégalité, ^' + 1 par d(7*' + 1), on aura

a + 1 < bcd(q''+ 1).

Les deux inégalités

a > bcdq\ a + 1 ^ bcd[q'' ^ 1)

montrent que q'* est le quotient de la division de a par le produit hci; c'est ce qu'il fallait démontrer.

11 résulte du théorème qui fait Tobjet de ce numéro et de la proposition relative à la possibilité d'intervertir Tordre des facteurs d'un produit que si Con divise un nombre successivement par plusieurs autres, on obtient le même quotient final, quel que soit l ordre dans lequel on effectue les divisions,

105. Il reste à expliquer le mécanisme de la division; le problème est le suivant :

Deux nombres étant écrits dans le système décimal, écrire, dans ce même système, le quotient et le reste de la division du premier* par le second.

11 y a un cas où la réponse est immédiate ; c'est celui où le diviseur est égal à l'unité suivie de zéros.

Soit, par exemple, à diviser 83728 par 1000 ; l'égalité

montre que le quotient cherché est 83 et le reste 728 (n° 38).

Pour diviser un nombre par l'unité suivie de plusieurs zéros, on supprime à la droite de ce nombre autant de chiffres qu'il y a de zéros dans le diviseur : le nombre restant est le quotient ; le reste est le nombre formé par l'ensemble des chiffres supprimés.