Je distinguerai maintenant trois cas

1* Le diviseur et le quotient n'ont qu'un chiffre ; on s'assurera que Ton est dans ce cas en ajoutant un zéro à la droite du diviseur : si le nombre ainsi formé est plus grand que le dividende, c'est que

le diviseur n'est pas contenu 10 fois dans le dividende, c'est donc que le quotient n'a qu'un chiffre. Il est à peine utile de dire qu on a supposé le dividende supérieur ou égal au diviseur, aûn que le quotient ne soit pas nul.

Soit, par exemple, à diviser 75 par 9 ; la table de multiplication fournit les multiples successifs de 9 par les nombres d'un chiffre; on voit de suite que 75 est compris entre 72 = 9 X 8 et 81 = 9 X 9, c'est donc que 8 est le quotient; le reste s'obtient en retranchant 72 de 75, il est 3.

L'habitude permet de faire, dans ce cas, l'opération avec une grande rapidité.

2** Le diviseur a plusieurs chiffres, et le quotient n'en a qu'un.

On s'assure encore qu'on est dans ce cas, en constatant que, en ajoutant un zéro à la droite du diviseur, on obtient un nombre supérieur au dividende.

L'opération se fait par tâtonnement ; les remarques qui suivent tendent seulement à diminuer le nombre des essais.

Soit, par exemple, à diviser 2361 par 458. On est bien dans le cas considéré, puisque 4580 est supérieur à 2361.

Si l'on divisait 2361 par 400 au lieu de le diviser par 458, on ne pourrait évidemment qu'augmenter le quotient, car 400 est contenu dans 2361 au moins autant de fois que 458. Pour diviser 2361 par 400 ou par 100 X 4, on peut le diviser successivement par 100 et par 4 (n« 104).

Le quotient de la division de 2361 par 100 est 23; il reste à diviser 23 par 4; on est dans le premier cas : le quotient est 5, 5 est aussi le quotient de la division de 2361 par 400; le quotient de la division de 2361 par 458 est 5 ou un chiffre plus faible : on dit que 5 est une limite supérieure du quotient de la division de 2361 par 458.

De même, si Ton divisait 2361 par 500 au lieu de le diviser par 458, on ne pourrait évidemment que diminuer le quotient; le quotient de 2361 par 500 est le même que le quotient de 23 par 5, c'est 4; le quotient de la division de 2361 par 458 est 4 ou un chiffre plus faible : 4 est une limite inférievre du quotient de la division de 2361 par 458.

On essaie 5 en faisant le produit de 458 par 5, ce qui donne 2290, nombre inférieur à 2361; 2361 contient 5 fois 458 et ne le contient pas davantage : 5 est le quotient, le reste est 2361 — 2290 = 71.

Soit, comme second exemple, à diviser 989 par 199; en suivant le même procédé, on est amené à diviser 989 par 100, le quotient est 9; pour essayer 9 on multiplie 199 par 9, le produit est 1791 : 9 est

trop fùrt\ le quotient cherché est 8 ou un nombre moindre; on essaie 8 de la même façon, on a 199 X 8 == 1592; 1592 est plus grand que 989 ; 8 es4 trop fort ; on essaiera? : on a 199 X 7 = 1393 ; 7 est trop fort ; 199 X 6 = 1194 ; 6 est encore trop fort ; 199 X 5 = 995: 5 est encore trop fort; 199 X 4 = 796 : 796 étant inférieur à 989, on voit que le quotient est 4 et le reste 989 — 796 = 193. En faisant les essais de cette façon, c'est-à-dire en diminuant à chaque fois d'une unité le chiffre ^ essayer, on est sûr que le premier chiffre qui fournira un produit inférieur ou égal au dividende sera le quotient cherché. L*exeraple précédent, qui est particulièrement défavorable, montre qu*on peut avoir à faire cinq essais inutiles. Ces essais, à la vérité, on ne les fait pas ordinairement jusqu'au bout; on fait porter les multiplications sur les deux premiers chiffres du diviseur et Ton compare le résultat aux premiers chiffres du dividende; pour essayer 7, par exemple, on dira 7 fois 9 font 63, 7 fois 1 font 7 et 6 font 13; le produit de 199 par 7 contiendra au moins 13 centaines, il sera donc supérieur à 989, qui n'en contient que 9. 7 est donc un chiffre trop fort. Quoi qu'il en soit, on peut être amené à essayer un chiffre dont on juge, sans en être sûr, qu'il n'est pas trop fort. On s'en assurera en constatant que le produit du diviseur par ce chiffre peut se retrancher du dividende et que le reste est inférieur au diviseur.

Pour avoir, dans l'exemple précédent, une limite inférieure du quotient, on diviserait 989 par 200 : le quotient est 4 ; la limite inférieure se trouve être le chiffre cherché.

Soit encore à diviser 12725 par 1984 : on divisera d'après le procédé indiqué 12725 par 1000, ce qui donnerait pour quotient 12; puisque le quotient cherché ne peut avoir qu'un chiffre, il sera évidemment inutile d'essayer 12, 11, 10 ; on commencera les essais à 9 : le quotient est 6.

Règle. — Quand le quotient n'a qu'un chiffre, on supprime à droite du dividende autant de chiffres qu'il y en a au diviseur, moins un; on divise le nombre restant (*) par le premier chiffre du diviseur; si le quotient n'a qu'un chiffre, ce chiffre est une limite supérieure du quotient cherché ; si le quotient trouvé est supérieur à 9, on prendra 9 pour cette limite supérieure. On essaie le chiffre trouvé comme limite supérieure en multipliant le diviseur par ce chiffre ; il est le chiffre cherché si le produit est égal ou inférieur au dividende, et le reste est égal à la différence entre le dividende et ce produit. Si le

1. Il est aisé de voir que ce nombre restant n'a qu'im ou deux chiffres.

produit est plus grand que le dividende, on diminue d*une unité le chiffre à essayer, et Ton a ainsi une nouvelle limite supérieure du quotient cherché, que Ton traite de la même manière.

On obtient une limite inférieure du quotient cherché en divisant le nombre conservé à la gauche du dividende par le premier chiffre du diviseur augmenté d'une unité.

Pour obtenir le reste on fait souvent à la fois la multiplication du diviseur par le chiffre qu'on essaie au quotient et la soustraction de ce produit; nous n'insisterons pas sur l'explication de ce procédé qui n'est applicable que si le chiffre que l'on essaie est bon, et qui, même dans ce cas, est une cause d'erreur qu'il vaut mieux écarter.

Remarque, — La méthode qui sert à faire les essais dans ce cas repose sur la proposition générale que voici :

Soienty dans une division^ a, 6, g le dividende, le diviseur et le quotient : supposons qu'on supprime à la droite de a et de à un même nombre de chiffres et soient a' et b' les nombres ainsi obtenus ; le quotient de a' par b' sera égal ou supérieur àq\ le quotient de la division de a' par ^ + 1 sera égal ou inférieur à q.

La démonstration est la même que dans le cas particulier que l'on a considéré; soient en effet, par exemple,

Si, au lieu de diviser a par b on le divise par 8300 ou 8400, on ne pourra, dans le premier cas, qu'augmenter le quotient, dans le second, que le diminuer; mais, pour diviser a par 100x83, ou par 100x84, on peut le diviser d'abord par 100, ce qui donne comme quotient a' =7582, puis diviser a' par 83, ou par 84.

3° Le diviseur et le quotient ont plusieurs chiffres. On détermine le quotient chiffre par chiffre, en commençant par les plus hautes unités. La méthode repose sur le théorème suivant :

Pour obtenir le nombre de dizaines, de centaines, de mille,,., du quotient, il suffit de diviser par le diviseur ie nombre de dizaines, de centaines, de mille,,,, du dividende.

Je dis, par exemple, que le nombre de mille du quotient s'obtiendra en divisant par le diviseur le nombre de mille du dividende.

Supposons que le nombre de mille du quotient soit 23; cela veut dire que le diviseur est contenu 23000 f^s dans le dividende, et qu'il n'est pas contenu 24000 fois; mais 23000 fois le diviseur et 24000 fois le diviseur sont respectivement des nombres exacts de mille, nombres que l'on obtient en multipliant le diviseur par 23 et par 24, et dont le premier doit être contenu dans le nombre de mille du dividende, tandis que le second n'y est pas contenu; ceci veut

dire que 23 est le quotient de la division par le diviseur du nombre de mille du dividende.

Ainsi, dans la division de 187772893 par 941, pour avoir le nombre de mille du quotient, il suffira de diviser 187772 par 941.

Cette proposition et la remarque faite au n"" 103, sur le cas où Ton a séparé le dividende en deux parties dont Tune est un multiple du diviseur, contiennent Texplication du mécanisme de la division.

Soit, par exemple, à diviser 228606 par 325 : si Ton voulait avoir les dizaines du quotient, on diviserait 22860 par 325 ; si Ton voulait avoir les centaines, on diviserait 2286 par 325; mais ici le quotient n'aurait qu'un chiffre ; on voit donc que le chiffre des plus hautes unités du quotient représente des centaines, et Ton obtiendra le chiffre de ces centaines en divisant 2286 par 325 ; on est ici dans le 2* cas : le quotient est 7 et le reste, obtenu en retranchant de 2286 le produit 325x7 = 2275, est 11; c'est le premier reste partiel ; le produit du diviseur 325 par 700 serait 227500, et pour obtenir la différence entre 228606 et 227500, il est clair qu'il suffit d'ajouter à la droite du premier reste partiel 11 les deux derniers chiffres 06 du dividende, ce qui donne 1106. On a séparé le dividende en deux parties, l'une égale à 325 X 700, l'autre à 1106 : on obtiendra donc le quotient de la division de 228606 par 325 en ajoutant à 700 le quotient de la division de 1106 par 325 ; ce quotient est certainement inférieur à 100, car autrement 228606 contiendrait 325 au moins 800 fois : son premier chiffre représentera des dizaines ; on obtiendra ce chiffre en divisant les dizaines de 1106 par 325, c'est-à-dire 110 par 325 ; ici le quotient est 0 et le reste 110 ; le chiffre des unités s'obtiendra en divisant 1106 par 325; on est dans le premier cas, car autrement le quotient de la division de 1106 par 325 aurait contenu des dizaines. En divisant 1106 par 325 on trouve comme quotient 3, le reste est 1106 — 325x3 = 1106 — 975=131 : le quotient de la division de 228606 par 325 est 703, et le reste 131. On dispose l'opération comme il suit :