PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR

le second tableau figure dans le premier ; les nombres qui figurent dans un des tableaux sont les mêmes que ceux qui figurent dans l'autre. Le théorème est démontré.

Si c divise 6, les diviseurs communs de c et /de 6 sont les mêmes que les diviseurs de c ; puisque les diviseurs communs de a et de 6 sont les mêmes que ceux de c et de ùj ils sont aussi les mêmes que les diviseurs de c.

Si c ne divise pas 6, on a fait cependant un pas, puisque c est plus petit que b et que, ainsi, la recherche des communs diviseurs de a, à est ramenée k la recherche des communs diviseurs des deux nombres plus petits b et c. Soit alors d le reste de la division de b par c ; les communs diviseurs de 6 et de c sont les mêmes que les communs diviseurs de c et de c^ ; si d divise c, les communs diviseurs de c et de rf sont les mêmes que les diviseurs de d; si d ne divise pas Cy soit e le reste de la division de c par d, les communs diviseurs de c et de d sont les mêmes que les communs diviseurs de d ei de e; SI c divise d, ils sont les mêmes que les diviseurs de e ; si e ne divise pas rf, on continuera de la même façon.

Les restes successifs c, rf, e,... vont en diminuante chaque fois, on ne peut en trouver qu'un nombre limité ; mais d'un autre côté, on ne peut être arrêté dans la suite de ces opérations que si Ton rencontre un reste qui divise le précédent : cette circonstance se présentera donc nécessairement. Elle pourra se présenter, en particulier, dans le cas, d'ailleurs remarquable, où Ton parvient à un reste égal à 1 ; ce reste divise certainement le précédent. Soit, dans tous les cas, h le reste qui divise le reste précédent g. Les communs diviseurs de a et de b sont les mêmes que ceux de b et de e, qui sont les mêmes que ceux de c et de c/, qui sont les mêmes que ceux de d ei de e, ,,,, qui sont les mêmes que ceux de gr et de A : et ces derniers sont les nu*mes que les diviseurs de k.

Donc les diviseurs communs de a, b sont les mêmes que les diviseurs de h (*).

Étant donnés deux nombres a, 6, différents de zéro, il existe un nombre k tel que les diviseurs communs de a, b soient les mêmes que les diviseurs de h; ce nombre , qui peut s'obtenir par les opérations précédentes, s'appelle le plus grand commun diviseur de a, 6, nom qui est évidemment justifié puisque h est le plus grand diviseur de h.

1. M. Vacqnant, inspecteor général dd TUDiversité, a bion voulu appeler mon attontion sur la convenance qu'il yak insister tout d'abord sur cet énoncé et à ne faire intervenir quo plus tard la notion de plus grand commun diviseur. Cotte observation acquir-rt toute sa portc'c dans la théorie du plus grand commun diviseur algébrique, qui o^t, au fond, identique à celle qu'on Tient d'exposer.

Tanner Y. ^

lu

Considérons, par exemple, les nombres 360 et 17*2; en divisant 360 par 172, on a pour quotient 2 et pour reste 16; en divisant 172 par 16, on a pour quotient 10 et pour reste 12; en divisant 16 par 12, on a pour Quotient .1 et pour reste 4 ; en divisant 12 par 4, on a pour quotient 3 et pour reste 0.

Les diviseurs communs de 360 et de 172 sont les mêmes que les diviseurs communs de 172 et de 16, qui sont les mêmes que les diviseurs communs de 16 et de 12, qui sont les mêmes que les diviseurs communs de 12 et de 4, qui sont les mêmes que les diviseurs de 4, puisque 12 est un multiple de 4. On adopte souvent la disposition suivante pour les calculs, disposition qui montre Tenchaînement des divisions ; au lieu de placer les quotients au-dessous des diviseurs, on les a placés au-dessus, afin de laisser la place libre pour les restes; d'ailleurs ces quotients n'ont ici aucune importance :

4 est le plus grand commun diviseur.

135. On peut profiter de quelques slmplificatious pour cette recherche.

Remarquons d'abord que pour démontrer que les diviseurs communs de a et de 6 étaient les mêmes que ceux de 6 et de c, on s*e<t fondé uniquement sur régalité

a = bq -\- c,

qui n'implique pas que c soit plus petit que 6, qui n'implique donc pas que c soit le reste de la division de a par 6 ; cette supposition n'est intervenue que plus tard, quand on a remarqué que les restes successifs allaient en diminuant; mais, dans tous les cas, rien n'empêche, pourvu que a, 6, c soient liés par une relation telle que la précédente, de substituer la recherche du plus grand commun diviseur de 6 et de c à la recherche du plus grand commun diviseur de a et de 6.

Il en serait évidemment de même si o, 6, c étaient liés par une relation telle que

a = bq — c,

car rien n'empêcherait de reprendre sur cette égalité, en les modifiant à peine, les raisonnements que Ton a faits sur l'égalité a = bq + c.

Or, en supposant toujours que c soit le reste de la division de a par 6, on a évidemment