PLUS GRAND COMMUN DIVISEUR PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE

§ 1. — Plus grand commun diviseur.

133. Un nombre admet plusieurs diviseurs parmi lesquels figurent toujours un et le nombre lui-même; par exemple, 1, 2, 3, 6 sont les diviseurs de 6. Le nombre des diviseurs de a est limité, puisque les diviseurs sont tous, sauf l'un d'eux, inférieurs à a.

Il y aurait exception si a était nul ; tout nombre peut être regardé comme un diviseur de zéro, zéro peut être regardé comme un multiple d'un nombre quelconque. En raison du caractère exceptionnel

du nombre zéro, nous Texclurons de ce qui suit : en parlant des diviseurs d'un nombre, nous supposerons que ce nombre n'est pas nul ; en parlant des multiples d'un nombre, nous entendrons parler des multiples qui ne sont pas nuls.

Etant donnés plusieurs nombres a, 6, c, ... différents de zéro, il peut exister plusieurs nombres qui les divisent tous : un est toujours un pareil nombre ; ces nombres s'appellent les communs diviseurs de 9, ^, c, ... Leur nombre est limité, car aucun d'eux ne peut dépasser le plus petit des nombres a, 6, c, ... ; il y en a un qui est plus grand que. tous les autres : c'est le plus grand commun diviseur des nombres a, b, c, ...

La notion du plus grand commun diviseur est capitale en arithmétique; son importance tient surtout à la proposition suivante, dont la démonstration va nous fournir en même temps un moyen pratique pour calculer le plus grand commun diviseur :

Les diviseurs communs de deux ou plusieurs nombres sont les mêmes que les diviseurs de leur plus grand commun diviseur; en d'autres termes : tout diviseur de deux ou plusieurs nombres est un diviseur de leur plus grand commun diviseur.

134. Considérons d'abord le cas de deux nombres a, 6. Si a est divisible par 6, tout diviseur de b est un diviseur de son multiple a, donc les communs diviseurs de a et de 6 sont les mêmes que les diviseurs de b.

Supposons maintenant qu'aucun des deux nombres a, b ne soit divisible par l'autre; les deux nombres a, 6 sont alors différents; supposons a> b.

Les diviseurs communs à a et à 6 sont les mêmes que les diviseurs communs à 6 et au reste c de la division de a par b.

Soit, en effet, q le quotient de la division de a par b, on aura

a = bq-\'C,

Tout nombre qui divise a et ^ divise aussi bq : il divise une somme a et l'une de ses parties bq : il divise donc l'autre c. Tout nombre qui divise b et c divise aussi bq : il divise les deux parties bq et c d'une somme, il divise donc cette somme qui est égale à a. Ainsi les communs diviseurs de a et de 6 sont des communs diviseurs de b et de c ; les communs diviseurs de 6 et de c sont des communs diviseurs de a et de 6. Si l'on range dans un premier tableau tous les communs diviseurs de a et de ^ et dans un second tableau tous les communs diviseurs de b et de c, tout nombre qui figure dans le premier tableau figure dans le second, tout nombre qui figure dans