Trouver tous les diviseurs d'un nombre
Supposons le nombre donné A décomposé en facteurs premiers. Tout diviseur de A, en dehors de 1, devra être composé de facteurs premiers qui figurent dans A, avec des^xposants égaux ou moindres. En écrivant tous les nombres ainsi composés, on obtiendra tous les diviseurs de A.
Pour n'en oublier aucun, on peut procéder comme il suit. ^ Soit, par exemple, A = 360 = 2« X 3* X 5.
Sur une première ligne, on écrit les nombres
ils sont, avec le diviseur 1, les diviseurs qui ne contiennent pas d'autre facteur premier que 2; sur une seconde ligne on écrit les nombres
on multiplie les nombres de la première ligne par chacun des nombres qui figurent dans la seconde ligne; on formera ainsi les nombres
qui sont, avec le nombre 1, tous les diviseurs où n'entrent pas d'autres facteurs premiers que 2 et 3; enfin, en multipliant tous ces nombres par chacun des nombres
on reproduira, d'une part, tous les diviseurs précédemment obtenus, et en outre, ceux qui contiennent le facteur 5; on obtiendra ainsi les nombres
l,2,2S2»,3,2x3,2»x3,2»x3,3S2xy,2*x3»,2»x3».5,2x5, 2»x5, 2^x5, 3x5,2x3x5, 2»x3x5, 2^x3x5, 3»x5, 2X3»X5, 2»X3»X5, 25x3»x5,
ou
Ce sont tous les diviseurs cherchés. Leur nombre est évidemment
le produit des nombres de termes qui se trouvent dans les lignes (1), (2), (3), c'est-à-dire, en général, le produit des exposants, augmentés chacun d'une unité, des facteurs premiers différents qui figurent dans la décomposition de A. Ce nombre est pair si Tun des exposants est impair ; il n'est impair que si tous les exposants sont pairs, c'est-à-dire si A est le carré d'un nombre que Ton obtiendrait en divisant par 2 l'exposant de chaque facteur premier qui entre dans A. Par exemple, si l'on avait
le nombre des diviseurs serait 5 X 7 X 3 = 105, et A serait le carré de 2* X 3* X 7, puisque l'on à (n« 81)
(2» X 3' X 7)* = 2»x* X 3»><» xT^* = k
166. Quand on se donne deux ou plusieurs nombres A, B, C, ..., décomposés en facteurs premiers, on reconnaît de suite s'ils ont quelque diviseur commun autre que un : un tel diviseur, décomposé en facteurs premiers, ne peut comprendre que des facteurs premiers communs à tous les nombres A, B, G, ...; inversement tout produit de facteurs premiers ainsiforméestuncommundiviseurdeA,B,C, ...; le plus grand d'entre eux s'obtiendra en prenant tous les facteurs premiers communs à A, B, C, ... et en répétant chacun autant de fois que possible, c'est-à-dire autant de fois qu'il figure dans celui des nombres A, B, C, ... où il est répété le moins de fois. D'après la règle pour la formation des diviseurs d'un nombre, il est clair que les diviseurs communs des nombres A, B, C, ... seraient les mômes que les diviseurs de leur plus grand commun diviseur.
Règle. — Pour former le plus grand commun diviseur de deux ou plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers, on fait le produit de tous les facteurs premiers différents communs à ces nombres et l'on affecte chacun d'eux d'un exposant égal au plus faible des exposants dont ce facteur est affecté dans les différents nombres.
Exemple : soient les trois nombres
A = 2»X3*X5'X 7 xllS B = 2 X 3» X 5 X 11 X 13, C = 2 X 3» X 5* X 11 X 19.
Le plus grand commun diviseur sera
198 LEÇONS D^ARITHMËnQUE:
Si les nombres A, B, C, ... n^oot pas de bdevrs premiers eommttii&, ils soot premiers eotre eux.
167. Avec ia décomposition en bcteors premiers, les théorèmes des n"^ 143, 144 deviennent intaittb; à la iFértié, ces théorèmes ont servi (n* 161) à montrer qn'im nombre ne poavsit être décomposé que d une seule façon en facteurs premiers ; mais on a tu que cette proposition pouvait être établie directement. Il en est de même des propositions suivantes : si on multiplie, ou si on divise deux on plusieurs nombres par un même nombre, on multiplie ou on divise leur plus grand commun diviseur par ce nombre ; si on divise deux nombres par leur plus grand commun diviseur, les quotients sont premiers entre eux, puisque, après la division, il ne reste plus de facteurs premiers communs; si on les divise par tout autre diviseur commun que le plus grand, il reste quelques facteurs communs et les quotients ne sont pas premiers entre eux, etc...
168 . Le plus petit commun multiple de plusieurs nombres A, B, C, ... , décomposés en facteurs premiers, s'obtient aussi aisément.
Chaque multiple commun, décomposé en facteurs premiers, doit contenir tous les facteurs qui figurent dans chacun des nombres A, B, C, ..., et chacun de ces facteurs doit être répété au moins autant de fois qu'il Test dans chacun des nombres A, B, C, ..., c'està-dire autant de fois qu'il est répété dans celui des nombres A, B, C, ... où il est répété le plus grand nombre de fois. Béciproquement tout nombre décomposé en facteurs premiers qui satisfait à ces conditions est un multiple commun de A, B, C, ... : le plus petit s'obtiendra en ne prenant que les facteurs premiers qui figurent dans chacun des nombres A, B, C, ... et en ne répétant pas l'un quelconque d'entre eux plus souvent qu'il n'est répété dans celui des nombres A, B, C, ... où il est répété le plus grand nombre de fois. Tout multiple commun sera un multiple du plus petit commun multiple.
Bègle. — Pour former le plus petit commim multiple de plusieurs nombres décomposés en facteurs premiers, on forme le produit de tous les facteurs premiers différents qui figurent dans les nombres A, B, C, ..., et l'on affecte chacun d'eux de l'exposant qu'il a dans celui des nombres A, B, C, ... où il figure avec l'exposant le plus élevé.
Par exemple, le plus petit commun multiple des nombres
2» X 3» X 5, 2 X 3» X 7 X h/ 3* X 7» X 19 est
2«x3'x5x7*xU Xl9.
Si Ton divise le ybu petit riiwiBiij «nllipie des A, B, C, ,.. aissi iarmé par ces aositees e«x-«ièfl»fs, les «qnoUeDls n'auront plus de diviseur commum; car s'il substsiait, dans ces quotients, un facteur premier commun, en multipliant ces quotients par A, B, C, ..., ce fadeur se trouverait dans les produits avec un exposant plus élevé que dans tous les nombres A, B, C, ... ; on clamait donc pas appliqué la rèigle. Le plos petii oonunua multiple est le seul wmWpAe c»BHuni qmi foinme de ctM/e propriété.
Enfin si Ton ne considère que deux nombres A, B et si on multiplie leur plus grand commun diviseur par leur plus petit commun multiple, on voit que chacun des facteurs premiers qui entrent dans A, on dans B, figure dans le produit; si ce n'est pas un facteur premier commun à A età fi^ Il figui^e daas fe pixMlHit avec Texposant qu'il a dans A cm dans B; « c'est «n Ctctewr premier conmun, il entre dans le produit avec un exposant qui est la somme de son plus grand et de son plus petit exposant dans A et dans B, c'est-à-dire la somme de ses deux exposants dans A et dans B ; le produit considéré est donc le produit des nombres A, B; c'est la règle du n" 163.
1B9. Les propriétés des nombres ont attiré de bonine heure l'attention des Grecs. On voit déjà les Pythagoriciens spéculer sur les nombres premiers, sur 4es iMKnbres frtcm^laffrt, carrés^ pùlygenmix (Ex. 104), sur les nombres pyramidaux (Ex. 105), sur les nombres parfaits (Ex. 154), sur les nooabres mmiaiUei (tels que ckacon d'eux soit égal à la somme des parties aliquotes de l'autre). Les Éléments d'Euclide, qui constituent un résumé des connaissaiices esseoUelles auxquelles les Grecs étaient parreiras, vers Tan 300 avant J.-C., tant en Géométrie qu'en Arithmétique, contiennent les propositions les plus importantes du chapitre actud et du chapitre précédent, en particulier, la notion du plus grand commua diviseur, celle du plus petit commun multiple, le théorème du n* 160, dont la démonstration offrait assurément une grande difCculté, enfin le théorème du n" 1^ sur l'infinité des nombres premiers. La métàode flaènie pour fat recherche du plus grand commun diviseur de deux nombres est souvent désignée sous le nom S'aîgoriikme éTEucUde^Lix démonstration que nous avons iftonnée dn tbéorème relatif à Tinfinité des nombres premiers est celle même que Ton trouve dans Euc11de(*). La règle pour la formation d'une table de nombres
1. Une généralisation bien natureUe de ce théorème est foorniepar l'énoncé suivant : Dana Vnrte progrenSoB ari0ni0tiqae dont la ndson et le premier terme sont dos nombres premiers entre eu. Il y a me infinité de termes qm sont des nombres premiers àbaolsa. La démonstration de cette proposîtion est très dîfScile ; eHe a été donnée, dans oe siècle, par Lq^enoe Dirichlet.
UO LEÇONS DARITHMÉTIQUE.
premiers est aussi très ancienne : elle est -attribuée k Eratosthène (vers Tan 250 av. J.-C.) et est souvent désignée sous le nom de crible (TÉratoithènei*).
Exercices.
123. Considérons la suite des nombres premiers jusqu'à p ; soit A le produit do quelques-uns de ces nombres, B le produit de tous les autres. Démontrer que le nombre A + B admet un diviseur premier plus grand quep; il en est de même, en supposant A > B, du nombre A — B, à moins qu'il ne soit égal à un.
