O / DO

Si l'on rapproche ces résultats de ceux qui ont été obtenus aux

qo» 194-197, on voit que l'opération qui consiste à multiplier un

nombre par une fraction peut se faire en deux fois.

Par exemple, multiplier un nombre par = revient à le multiplier

par 4 et à le diviser par 7, c'est-à-dire à prendre le septième de quatre fois ce nombre, ou encore à le diviser par 7 et à le multiplier

174 LEÇONS DAKITHMÉTIQUE.

par 4, c'est-à-dire à prendre quatre fois le septième de ce nombre. On a par exemple

205. On ne change pas le quotient (exact) de la division de deux nombres entiers ou fractionnaires en les multipliant par un même nombre.

Cette proposition a déjà été établie au n^' 120, dans le cas d'une division qui se fait exactement. La démonstration repose uniquement sur ce que le dividende est le produit du diviseur par le quotient; elle subsiste dans le cas général; je la reprends toutefois ci-dessous :

Soient les deux nombres ^1 = et soit -r leur rapport; on a, par

définition,

multipliant les deux membres de cette égalité par un même nombre

-, par exemple, on aura

d et cette égalité prouve bien que -r est aussi le quotient de la division

de ^Xq par ^tXq- — Au surplus, il suffit d'efifectuer ce quotient o y 7 y

qui est

3x8 7x9 3x8x7x9 3x7 5x9^4x8""5x9x4x8""5xV

comme il résulte de simplifications faciles, pour vérifier Texactitude de la proposition.

Puisque la division se ramène à une multiplication, on peut évidemment énoncer le théorème suivant :

On ne change pas le quotient (exact) de la division de deux nombres entiers ou fractionnaires en les divisant (exactement) par un même nombre.

FRACTIONS GËNÊRAUSËES. 175

206. On peut indifféremment diviser un nombre successivement par plusieurs autres, ou le diviser par leur produit :

On peut reprendre ici la démonstration du n"" 104, dans le cas où les divisions se font exactement, ou déduire la proposition de la règle qui ramène la division à une multiplication.

En raison de cette même règle, il suffira d'énoncer les théorèmes suivants.

Pour diviser une somme ou une différence par un nombre, il suffit de diviser les termes de cette somme ou de cette différence par ce nombre et d'ajouter ou de retrancher les résultats.

On peut, sans en changer le sens, diviser les deux membres d'une inégalité par un même nombre.

Si on a deux fractions inégales et si on les renverse, on obtient deux fractions inégales, la plus grande devient la plus petite.

Cette proposition devient évidente, si Ton suppose les deux fractions réduites au même dénominateur; après qu'on les a renversées, elles ont même numérateur et c^est celle qui a le plus petit dénominateur qui est alors la plus grande.

Si Ton renverse une fraction plus petite que Tunité, on obtient une fraction plus grande que l'unité.

On augmente ou on diminue un nombre en le divisant par une fraction, suivant que cette fraction est plus petite ou plus grande que l'unité. .

Si on divise un même nombre par deux fractions, le plus grand quotient correspondra à la plus petite fraction, puisque diviser par une fraction, c'est multiplier par la fraction renversée.

§ 4. — Fractions grénérallsées.

207. Le symbole d'une fraction - peut être regardé comme le symbole de la division de 3 par 7. Cette manière d'écrire, réservée jusqu'ici aux nombres entiers qui figurent au numérateur et au dénominateur, il est naturel de l'étendre aux fractions.

En désignant par a et 6 des nombres quelconques, entiers ou fractionnaires, on désigne par le symbole - le quotient (exact) de la division de a par 6 ou, comme l'on dit aussi, le rapport de a*à 6.

On donne encore le nom de fraction à un tel symbole : c'est une fraction composée ou généralisée. On donne encore le nom de numé-

rateur et de dénominateur aux nombres a et 6, que l'on peut appeler tout aussi bien dividende et diviseur ; nous réservons le nom de fraction ordinaire aux fractions dont le numérateur et le dénominateur sont entiers.

Quand le numérateur et le dénominateur d'une fraction composée ne sont pas représentés par des lettres uniques, mais sont donnés comme des fractions ordinaires, il est nécessaire de n'employer la notation précédente qu'avec quelques précautions, qui se traduisent par remploi convenable de parenthèses, et quelquefois par l'emploi d'une plus grosse barre horizontale pour indiquer le signe de la division ;

il i ^

sont des fractions composées; la première représente le quotient

de - par-, la seconde celui de - par 4, la troisième celui de 4 par -.

Les parenthèses veulent dire que la fraction qu'elles enferment doit être regardée comme un seul nombre, que ce nombre soit regardé comme dividende ou comme diviseur. Enfin, quand on indique des opérations à effectuer sur de pareilles fractions, il faut prendre soin de placer la barre, qui est spécialement un symbole de division, la grosse barre si l'on veut, sur la même ligne que le signe d'opération ; ainsi on écrira

pour désigner le nombre obtenu en retranchant la seconde fraction de la première et en ajoutant la troisième au résultat.

On appelle valeur d'une fraction composée la fraction ordinaire qui lui est égale ; ainsi les valeurs des fractions composées que l'on a écrites plus haut sont respectivement

En se reportant à la définition de la division, on voit que le numé*