partie, ou, plus brièvement, le septième
De même qu'on dit qu'un nombre est sept fois plus grand que son septième, il convient de dire que le septième d'un nombre est sept fois plus petit que ce nombre : on rend donc une fraction sept fois plus petite en multipliant son dénominateur par 7. Mais, après cette multiplication, on peut, s'il y a lieu, simplifier le résultat; si, en particulier, le numérateur de la fraction primitive était divisible par 7, on pourrait, dans la seconde fraction, diviser en haut et en bas par 7, ce qui rétablirait le dénominateur primitif. Ainsi, en général :
On rend une fraction deux y trois, quatre y,., fois plus petite en
multipliant son dénominateur par 2, 3, 4,..., ou^ lorsque l'opération
peut se faire exactement, en divisant son numérateur par 2, 3, 4,...
Soit encore à multiplier -par-; le produit est^^ — 7jy il ''^t égal
au résultat que l'on obtient en répétant 4 fois la fraction - — -, ou
en répétant 4 fois la septième partie de-; c'est ce qu'on exprime en
disant : muUiplief* un nombre par -, c'est prendre 4 fois le septième
f/e ce nombre. Dans cette façon de parler, *n regarde - comme
le multiplicateur et - comme le multiplicande.
198. Pour multiplier plusieurs fractions rangées dans un certain ordre, on fait le produit des deux premières, on multiplie le résultat par la troisième, puis le résultat par la quatrième, etc.. On voit de suite que le numérateur et le dénominateur du produit sont les produits respectifs des numérateurs et des dénominateurs des fractions.
Les théorèmes démontrés aux n®» 75, 77, 78 s'étendent immédiatement aux produits de fractions. Ainsi :
Dans un produit de fractions, on peul intervertir tordre des facteurs, remplacei* tels facteurs que Von veut par leur produit effectué.
Ces propositions, en efifet, s'appliquent aux produits de nombres entiers qui figurent en numérateur et en dénominateur. Signalons encore cette conséquence : Pour multiplier un produit de plusieurs fadeurs par un nombre, il suffit de multiplier l'un des facteurs par ce nombre.
La notation des puissances s*appliqae aux factions, comme aux nombres entiers; le carré, le cube, la n**^ puissance d'une fraction sont respectivement les produits de deux, de trois, de n facteurs égaux à cette fraction. Pour écrire le carré, le cube, la n**"« puissance d'une fraction, on place cette fraction entre parenthèses, et Ton place Texposant un peu en haut : on écrira ainsi, par exemple,
On a d'ailleurs, en vertu de la définition de la multiplication, /4y 4x4 4* /4y 4»
En général, pour élever une fraction à la puissance n, il suffit d'élevé}* â cette puissance son numérateur et son dénominateur,
199. H nous reste à étendre aux fractions les propositions des no» 74, 76. Ainsi :
Pour multiplier une somme [ou une différence) par un nombre, il suffit de multiplier par ce nombre les termes de la somme {ou de la différence) et d ajouter {ou de retrancher) les résultats.
La démonstration est la même dans les deux cas et consiste essentiellement à supposer que les deux termes de la somme ou de la différence ont le même dénominateur.
Soit, par exemple, à multiplier par = la somme m + r- Cette
3 4-8 somme peut s'écrire — ï— et le produit cherché sera
5 ^7~ 5x7 "^ 5x7 ""5x7 + ux7
3 4 8 4 -gX;^ + gX^;
sous celte dernière forme, on reconnaît bien que le théorème est démontré.
La règle s'étend d'elle-même à la multiplication par une fraction quelconque d'une expression obtenue en ajoutant ou retranchant successivement des nombres quelconques rangés dans un ordre déterminé.
Inversement, puisque Ton peut intervertir l'ordre des facteurs, dans une multiplication, pour multiplier un nombre par une somme,
il suffit de multiplier ce nombre par chacun des deux termes de la somme et d'ajouter les résultats. De même pour multiplier un nombre par une différence, il suffit de multiplier ce nombre par les deux termes de la différence et de retrancher les produits.
Ces théorèmes s'expriment, sous une forme abrégée, par les formules
(b -{- c) a = a {à -^ c) = ab -\- ac, (6 — c)a=:a{b — c) = ab — ac,
dans lesquelles a, ô, c sont des nombres entiers ou fractionnaires. Les formules de la seconde ligne supposent que b est supérieur ou égal à c.
Les formules établies aux n®» 82-87, relatives à la multiplication d'une somme par une somme ou par une différence, ou d'une différence par une différence, s'étendent immédiatement aux fractions, puisqu'elles sont une conséquence immédiate des formules précédentes.
200. Des propositions précédentes résultent encore quelques propositions importantes relatives aux inégalités.
On peut multiplier^ sans en changer le sens, les deux membres d'une inégalité par un même nombre, entier ou fractionnaire ^ différent de zéro.
Soit, par exemple, en désignant par a, b, c des nombres entiers ou fractionnaires, dont le dernier n'est pas nul, l'inégalité
elle signifie qu'il existe un nombre d, différent de 0, tel que Ton ait
a = b-\-d, on en conclura, en multipliant par c,
ac = bc-{- de
et comme le produit de dans lequel aucun des facteurs n'est nul est différent de zéro, on en déduit
ac > bc.
C'est ce qu'il fallait démontrer.
De même, puisque dans un produit on peut intervertir Tordre des facteurs, si on multiplie un même nombre c, autre que 0, par deux nombres différents a, 6, on obtiendra deux résultats différents ca, cb
et Ton aura ca>cb^ ou ca<,cby suivant que Ton aura a > 6, ou b>a.
En particulier, puisque l'on ne change pas un nombre en le multipliant pari, on l'augmentera ou on le diminuera en le multipliant par un nombre plus grand ou plus petit que 1 ; ainsi on augmente un nombre en le multipliant par une fraction dont le numérateur est plus grand que le dénominateur, on le diminue en le multipliant par une fraction dont le dénominateur est plus grand que le numérateur. Plus particulièrement encore, on voit que le produit de deux fractions dans lesquelles le numérateur est plus petit que le dénominateur est plus petit que chacun des facteurs, que le carré d'une telle fraction est plus petit qu'elle, que le cube est plus petit que le carré, que, en général, les puissances d'une telle fraction vont en diminuant quand l'exposant de la puissance augmente : telles sont, par
exemple, les puissances de ,
et l'on a
puisque chaque terme de cette suite s'obtient en multipliant le
précédent par le nombre - plus petit que 1.
Au contraire, le produit de deux fractions dans lesquelles le numérateur dépasse le dénominateur est plus grand que chacune des deux fractions; le carré d'une telle fraction est plus grand qu'elle, son cube est plus grand que son carré, etc.. ; les puissances d'une telle fraction vont en augmentant à mesure que l'exposant de la puissance augmente ; telles sont, par exemple, les puissances de
7, on aura
ou
^<(iy<©'<(i)<
201. On peut multiplier deux inég alités de même i«m, membre à membre.
Ainsi les deux inégalités
où a, b, a\ b' sont des nombres quelconques, différents de 0 entraînent l'inégalité
ad < bb'.
Cette proposition pourrait s'établir comme la précédente; mais on peut aussi Ten déduire.
L'inégalité a < é entraîne en effet Tinégalité ao! < bo! ; de même Tinégalité a' <ib' entraîne a'b<Cbb\ et les deux inégalités aa' <iba\ ba' <ibb' entraînent finalement Tinégalité aa' < bb' ,
Il est clair que la proposition subsiste si quelqu'un des nombres a, a' était nul. Quant aux nombres b, b\ il est absurde de les supposer nuls, puisqu'il n'y a pas de nombres plus petits que 0.
202. Division, — Les mots division, diviser, quotient comportent chacun des sens très différents. Il est regrettable qu'on n'ait pas créé des mots différents pour désigner des choses distinctes, mais il y a là un usage contre lequel il semble difficile de réagir, quelque fâcheux qu'il soit.
La division a été défmie au § 4 du chapitre II avec un sens très précis; c'est une opération qui comporte deux résultats, le quotient et le reste.
Nous allons maintenant déOnir une opération qui s'applique aux nombres entiers ou fractionnaires, qui porte le même nom, mais qui, en général, est entièrement distincte de la division déGnie au chapitre cité.
Étant donnés deux nombres entiers ou fractionnaires, appelés l'un dividende. Vautre diviseur, et dont le second n'est pas nul, on appelh division l'opération consistant à trouver un nombre appelé quotient qui, multiplié par le diviseur, reproduise le dividende. En d'autres termes, on connaît un produit de deux facteurs (le dividende) et l'un de ces facteurs (le diviseur), on demande l'autre (le quotient).
11 est nécessaire de pouvoir distinguer cette opération et son résultat, le quotient, de l'opération du chapitre II. Cette dernière, quand une confusion sera possible, sera dite division dans le sens de la théorie des nombres entiers; le quotient de la division dans le sens de la théorie des nombres entiers sera dit quotient approché
à une unité près par défaut, ou d'une façon abrégée, quotient à une unité près ; cette dénomination sera bientôt justifiée. Le quotient, résultat de la division telle que nous venons de la définir, sera qualifié d'exact.
Si a est le dividende et b le diviseur, on désigne aussi sous le nom de rapport de a à 6 le quotient (exact) de la division de a par ô. Le mot rapport a l'avantage sur le mot quotient de ne pas être ambigu, et il serait peut-être légitime d'en proposer l'emploi à l'exclusion du mot quotient (exact). Je me conformerai à l'usage en employant l'un et l'autre mot.
203. Cas où le diviseur est entxei\ — Supposons d'abord que le dividende et le diviseur soient entiers ; diviser un nombre (entier) par 7, par exemple, c'est trouver un nombre qui, multiplié par 7, reproduise le dividende. Si le dividende est un nombre entier divisible par 7, le nombre cherché s'obtiendra en divisant ce dividende par 7, au sens de la théorie des nombres entiers; ce sera le quotient de cette division (n® 115). Alors les deux sens du mot division coïncident, au moins si l'on fait abstraction de la considération du reste, qui dans ce cas est nul; les deux sens du mot quotient n'en font plus qu'un ; il n'en est plus ainsi quand le dividende, supposé toujours entier, n'est pas un multiple du diviseur. Supposons qu'on veuille diviser 12 par 7 ; nous avons appris au n* 195 à trouver le résultat:
c'est la fraction — , puisque, en multipliant cette fraction par 7, on
obtient 12 comme produit. Ainsi :
Le quotient exact de la division dun nombre entier par un autre nombre entier est une fraction dont le dividende est le numérateur^ et dont le diviseur est le dénominateur.
Cette règle s'applique encore quand le dividende est divisible par le diviseur, et pour le dire en passant, c'est la justification de la notation, toute pareille à celle des fractions, employée pour désigner le quotient d'une division dans le sens de la théorie des nombres entiers, quand cette division peut se faire exactement (n* 116).
Quand la division ne peut pas se faire exactement, au sens de la
théorie des nombres entiers, comme dans l'exemple — » le quotient,
au sens de la théorie des nombres entiers, est le plus grand enlier
contenu dans le quotient exact —; comme on Ta vu au n^ 193, c'est
la valeur approchée à une unité près par défaut de cette fraction,
d'où la dénomination de quotient à une unité près, ou encore, avec la même signification, de parlie entière du quotient.
Il convient peut-être à ce propos de signaler la notation E (-y-)) qui
n'est guère employée que dans l'Arithmétique supérieure, pour désigner cette partie entière du quotient, ou, si l'on veut, le quotient dans le sens de la théorie des nombres entiers. En général, si a est un nombre quelconque, E (a) désigne le plus grand nombre entier inférieur ou égal à a.
Remarquons encore que c'est ici, non dans la théorie des nombres entiers, que le mot diviser est employé dans son vrai sens : diviser en parties égales; la notation des fractions permet de diviser un nombre entier quelconque en autant de parties égales que l'on veut. Le nombre 12 peut être regardé comme la somme de 7 parties dont
chacune est égale à la fraction — : cette fraction, comme on Ta dit
au n*» 195, est la septième partie de 12.
Cette signification du mot diviser se conserve quand, le diviseur
étant entier, le dividende est quelconque.
Soit, par exemple, à diviser - par 7, le résultat est - — =, comme
on Ta vu au n** 197, et il suffit de se reporter aux raisonnements de ce même numéro pour énoncer la règle suivante :
Pour diviser une fraction par un nombre entier, on multiplie son dénominateur par ce nombre , ou^ si l'opération peut se faire exactement, on divise son numérateur par ce nombj*e.
Il est à peine utile de dire que le cas où le dividende est entier rentre dans le cas où il est fractionnaire, en lui donnant un dénominateur égal à un.
204. Cas général, — Supposons que le dividende et le diviseur
soient quelconques.
3 4 Soit, par exemple, à diviser - par -; le quotient cherché sera
car en muIUpIianl ce nombre par = , on trouve
comme on le voit en divisant haut et bas par 7x4 = 4x7, dans la
fraction qui flgure au premier membre. Il n'y a certainement pas
d'autre nombre tel que, en le multipliant par -, on retrouve -,
puisque, en multipliant deux nombres dififérents par un même nombre, on trouve des résultats différents. Cette même observation aurait pu être faite dans les cas particuliers, précédemment
étudiés.
On voit que le résultat a été obtenu en multipliant la fraction -
par 7» c'est-à-dire par une fraction qui se déduit du diviseur - en
mettant le numérateur à la place du dénominateur et le dénomina-
teur à la place du numérateur; comme Ton dit, la fraction 7 est la
fraction -renversée; on dit encore que - est Yinverse de =; en général,
deux nombres sontdits inverses quand leur produit est égal à Tunité ;
7 4 c'est le cas des fractions 7» « *
Règle, — Pour diviser une fraction par une fraction, on multiplie la fraction dividende par la fraction diviseur renversée {ou par C inverse du diviseur).
Cette règlecomprend comme cas particuliers lesrèglesprécédentes.
12 7 Ainsi le quotient de 12 par 7, ou de -r- par -, s'obtient en multi-
pliant — par -, ce qui donne =- = -— ; le quotient de - par 7, ou
par r-, s'obtient en multipliant - par =, ce qui donne j Signalons
encore le cas où le numérateur de la fraction diviseur serait l,lo
quotient de z par -s'obtient en multipliant ^ par 7; c'est — ^— •
