FRACTIONS GÉNÉRALISÉES

permet, quels que soient les nombres A, B, C, pourvu que B ne soit pas nul, de remplacer Tégalilé

AxB = C

par régaliié

ce que la notation des nombres entiers ne pernoet que lorsque C est divisible par B, et ce que la notation des fractions ordinaires ne permet que lorsque B et C sont entiers.

Par exemple, on a démontré au n® 70, que le double de la somme des termes d'une progression arithmétique est égal au produit de la somme des termes extrêmes par le nombre de termes de la progression : la démonstration faite dans le cas des nombres entiers s étend de suite au cas des nombres fractionnaires. Maintenant nous pouvons dire : la somme des termes d'une progression arithmétique est égale à la moitié du produit de la somme des termes extrêmes par le nombre de termes de cette progression.

De même, en supposant toujours que B ne soit pas nul, Tune quelconque des deux inégalités

AXB>C, A>^,

pourra remplacer l'autre et ce simple énoncé contient les propositions suivantes : on peut diviser ou multiplier par un même nombre, sans en changer le sens, les deux membres d'une inégalité. Appliquons cette remarque aux propositions qui suivent.

211. Ëtant donnés un nombre a, aussi petit qu'on le veut, et un nombre A, aussi grand qu'on le veut, on peut trouver un nombre entier m tel que le produit de a par m, ou par un nombre plus grand, soit supérieur à A.

On veut avoir am'^ A, ou, puisque a n'est pas nul,

La plus petite valeur de m, qui satisfait à cette inégalité, sera le

nombre entier immédiatement supérieur à la valeur de -, nombre

entier que l'on a appris à déterminer au n^ 193.

Etant donnés un nombre A, aussi grand qu'on le voudra, et un

nombre a, aussi petit qu on lé voudra, mais non nul, on peut trouver un nombre entier m, tel que le quotient (exact) de A par wi, ou par un nombre plus grand, soit inférieur à a.

Cette proposition ne diffère pas de la précédente ; Tune et l'autre sont une conséquence immédiate du n"" 193, sauf pour ce qui concerne les notations.